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第七節(jié) 對數與對數函數
A組 基礎題組
1.函數f(x)=ln(x+3)1-2x的定義域是( )
A.(-3,0) B.(-3,0]
C.(-∞,-3)∪(0,+∞) D.(-∞,-3)∪(-3,0)
答案 A 因為f(x)=ln(x+3)1-2x,所以要使函數f(x)有意義,需使x+3>0,1-2x>0,即-3
0,且a≠1)的反函數,且f(2)=1,則f(x)=( )
A.log2x B.12x C.log12x D.2x-2
答案 A 由題意知f(x)=logax(x>0).∵f(2)=1,∴l(xiāng)oga2=1.∴a=2.∴f(x)=log2x.
3.若xlog23=1,則3x+3-x=( )
A.53 B.52 C.32 D.23
答案 B 因為xlog23=1,所以log23x=1,所以3x=2,3-x=12,所以3x+3-x=2+12=52.故選B.
4.定義在R上的奇函數f(x)滿足f(x+1)=f(-x),當x∈0,12時,f(x)=log2(x+1),則f(x)在區(qū)間1,32上是( )
A.減函數且f(x)>0 B.減函數且f(x)<0
C.增函數且f(x)>0 D.增函數且f(x)<0
答案 B 因為f(x)是R上的奇函數,
所以f(x+1)=f(-x)=-f(x).
當x∈1,32時,x-1∈0,12,
所以f(x)=-f(x-1)=-log2x,所以f(x)在區(qū)間1,32內是減函數且f(x)<0.
5.(2019湖北黃石模擬)定義ab=ab,ab≥0,ab,ab<0,設函數f(x)=lnxx,則f(2)+f12=( )
A.4ln2 B.-4ln2 C.2 D.0
答案 D 2ln2>0,所以f(2)=2ln2=2ln2.因為12ln12<0,所以f12=ln1212=-2ln2,則f(2)+f12=2ln2-2ln2=0.
6.已知a>0且a≠1,函數y=loga(2x-3)+2的圖象恒過點P.若點P也在冪函數f(x)的圖象上,則f(x)= .
答案 x12
解析 函數y=loga(2x-3)+2的圖象恒過點P(2,2).設冪函數為f(x)=xα,因為點P也在f(x)的圖象上,所以2α=2,所以α=12,故冪函數為f(x)=x12.
7.函數y=log2|x+1|的單調遞減區(qū)間為 ,單調遞增區(qū)間為 .
答案 (-∞,-1);(-1,+∞)
解析 作出函數y=log2x的圖象,再作出其關于y軸對稱的圖象即可得到函數y=log2|x|的圖象,再將y=log2|x|的圖象向左平移1個單位長度,就得到函數y=log2|x+1|的圖象(如圖所示).由圖知,函數y=log2|x+1|的單調遞減區(qū)間為(-∞,-1),單調遞增區(qū)間為(-1,+∞).
8.已知函數f(x)=log2x,x>0,3x,x≤0,且關于x的方程f(x)+x-a=0有且只有一個實根,則實數a的取值范圍是 .
答案 (1,+∞)
解析 如圖,在同一直角坐標系中作出y=f(x)與y=-x+a的圖象,其中a表示直線y=-x+a在y軸上的截距,由圖可知,當a>1時,直線y=-x+a與函數f(x)的圖象只有一個交點.
9.計算:(1)lg37+lg70-lg3-(lg3)2-lg9+1;
(2)log3273log5[(412)log210-(33)23-7log72].
解析 (1)原式=lg37703-(lg3)2-2lg3+1
=lg10-(lg3-1)2
=1-|lg3-1|=lg3.
(2)原式=log33323log5[10-(33223)-7log72]
=32log33-log33log5(10-3-2)
=32-1log55
=12.
10.已知函數f(x)=loga(x+1)-loga(1-x),a>0且a≠1.
(1)求f(x)的定義域;
(2)判斷f(x)的奇偶性并予以證明.
解析 (1)要使函數f(x)有意義,
則x+1>0,1-x>0,解得-10且a≠1,所以u=ax-3為增函數,所以若函數f(x)在[1,3]上為增函數,則f(x)=logau在[1,3]上必為增函數,所以a>1.又u=ax-3在[1,3]上恒為正,所以a-3>0,即a>3.
2.若函數f(x)=loga2-1(2x+1)在-12,0上恒有f(x)>0,則實數a的取值范圍是 .
答案 (-2,-1)∪(1,2)
解析 因為x∈-12,0,
所以2x+1∈(0,1),
且loga2-1(2x+1)>0,
所以00時,f(x)=log12x.
(1)求函數f(x)的解析式;
(2)解不等式f(x2-1)>-2.
解析 (1)當x<0時,-x>0,則f(-x)=log12(-x).
因為函數f(x)是偶函數,所以f(-x)=f(x)=log12(-x),
所以函數f(x)的解析式為f(x)=log12x,x>0,0,x=0,log12(-x),x<0.
(2)因為f(4)=log124=-2,f(x)是偶函數,
所以不等式f(x2-1)>-2可轉化為f(|x2-1|)>f(4).
又因為函數f(x)在(0,+∞)上是減函數,
所以|x2-1|<4,解得-50得-10,12a-44a=1,
解得a=12.
故存在實數a=12,使f(x)的最小值為0.
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