4.5三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)A組基礎(chǔ)題組1.函數(shù)y=3-2sin2x的最小正周期為() A.2B.C.2D.4答案By=3-2sin2x=2+cos 2x,最小正周期T=,故選B.2.函數(shù)f(x)=sin xcos x+32cos 2x的最小正周期和振幅分別是() A.,1B.,2C.2,1D.2,2答案Af(x)=sin xcos x+32cos 2x=12sin 2x+32cos 2x=sin2x+3,最小正周期和振幅分別是,1.故選A.3.(2019臺(tái)州中學(xué)月考)定義在R上的函數(shù)f(x)既是偶函數(shù)又是周期函數(shù).若f(x)的最小正周期是,且當(dāng)x0,2時(shí),f(x)=sin x,則f53的值為()A.-12B.12C.-32D.32答案Df(x)的最小正周期是,f53=f53-2=f-3,f(x)是偶函數(shù),f-3=f3=sin3=32,f53=32,故選D.4.(2017浙江金華十校聯(lián)考)設(shè)函數(shù)f(x)=sin(x+)( >0),則f(x)的奇偶性()A.與有關(guān),且與有關(guān)B.與有關(guān),但與無(wú)關(guān)C.與無(wú)關(guān),且與無(wú)關(guān)D.與無(wú)關(guān),但與有關(guān)答案D因?yàn)閒(x)=sin xcos +cos xsin ,所以f(-x)=-sin xcos +cos xsin .若f(x)為奇函數(shù),則f(-x)=-f(x)恒成立,故cos xsin =0恒成立,所以sin =0,故=k,kZ;若f(x)為偶函數(shù),則f(-x)=f(x)恒成立,故sin xcos =0恒成立,所以cos =0,故=k+2,kZ.綜上, f(x)的奇偶性僅與有關(guān),故選D.5.(2017課標(biāo)全國(guó)理,6,5分)設(shè)函數(shù)f(x)=cosx+3,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()A.f(x)的一個(gè)周期為-2B.y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=83對(duì)稱C.f(x+)的一個(gè)零點(diǎn)為x=6D.f(x)在2,單調(diào)遞減答案Df(x)的最小正周期為2,易知A正確;f83=cos83+3=cos 3=-1,為f(x)的最小值,故B正確;f(x+)=cosx+3=-cosx+3,f6+=-cos6+3=-cos2=0,故C正確;由于f23=cos23+3=cos =-1,為f(x)的最小值,故f(x)在2,上不單調(diào),故D錯(cuò)誤.6.函數(shù)f(x)=sin2x-4+1的最小正周期為;單調(diào)遞增區(qū)間是;對(duì)稱軸方程為.答案;k-8,k+38(kZ);x=k2+38(kZ)解析根據(jù)函數(shù)性質(zhì)知,最小正周期T=22=.令2k-22x-42k+2(kZ),解得k-8xk+38(kZ),所以單調(diào)遞增區(qū)間是k-8,k+38(kZ).再令2x-4=k+2(kZ),解得x=k2+38(kZ),即對(duì)稱軸方程為x=k2+38(kZ).7.(2018溫州高中模擬)設(shè)=N*且15,則使函數(shù)y=sin x在區(qū)間4,3上不單調(diào)的的個(gè)數(shù)是.答案8解析當(dāng)x4,3時(shí),x4,3,由題意知4<k+2<3,kZ,則4<k+12<3,kZ,則=5,8,9,11,12,13,14,15時(shí)符合題意,共8個(gè).8.(2017金麗衢十二校一聯(lián))若函數(shù)f(x)=2sin2x+23sin xsinx+2-1(>0)的最小正周期為1,則=,函數(shù)f(x)在區(qū)間-16,14上的值域?yàn)?答案;-2,3解析f(x)=2sin2x+23sin xsinx+2-1=3sin(2x)-cos(2x)=2sin2x-6,22=1=,f(x)=2sin2x-6,當(dāng)x-16,14時(shí),2x-6-2,3,2sin2x-6-2,3,f(x)=2sin2x-6在-16,14上的值域?yàn)?2,3.9.(2019杭州學(xué)軍中學(xué)質(zhì)檢)已知f(x)=sin 2x-3cos 2x,若對(duì)任意實(shí)數(shù)x0,4,都有|f(x)|<m,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.答案3,+)解析因?yàn)閒(x)=sin 2x-3cos 2x=2sin2x-3,x0,4,所以2x-3-3,6,所以2sin2x-3(-3,1,所以|f(x)|=2sin2x-3<3,所以m3.10.已知0<,函數(shù)f(x)=32cos(2x+)+sin2x.(1)若=6,求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;(2)若f(x)的最大值是32,求的值.解析(1)由題意得f(x)=14cos 2x-34sin 2x+12=12cos2x+3+12,由2k-2x+32k(kZ),得k-23xk-6(kZ).所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為k-23,k-6,kZ.(2)由題意f(x)=32cos-12cos 2x-32sin sin 2x+12,由于函數(shù)f(x)的最大值為32,即32cos-122+32sin2=1,從而cos =0,又0<,故=2.11.(2018臺(tái)州高三期末)已知函數(shù)f(x)=sin(x+)>0,|2的最小正周期為,且x=12為函數(shù)f(x)的圖象的一條對(duì)稱軸.(1)求和的值;(2)設(shè)函數(shù)g(x)=f(x)+fx-6,求g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間.解析(1)因?yàn)閒(x)=sin(x+)>0,|2的最小正周期為,所以=2,又2x+=k+2,kZ,所以f(x)的圖象的對(duì)稱軸為x=k2+4-2,kZ.由12=k2+4-2,得=k+3(kZ).又|2,則=3.(2)函數(shù)g(x)=f(x)+fx-6=sin2x+3+sin 2x=12sin 2x+32cos 2x+sin 2x=3sin2x+6.令2k+22x+62k+32,kZ,得k+6xk+23,kZ,所以g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為k+6,k+23,kZ.B組提升題組1.(2018武漢武昌調(diào)研)若f(x)=cos 2x+acos2+x在區(qū)間6,2上是增函數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是() A.-2,+)B.(-2,+)C.(-,-4)D.(-,-4答案Df(x)=1-2sin2x-asin x,令sin x=t,t12,1,則g(t)=-2t2-at+1,t12,1,因?yàn)閒(x)在6,2上單調(diào)遞增,所以-a41,即a-4,故選D.2.已知0<x<y,2<x2+y<52,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是() A.sin x2<sin52-yB.sin x2>sin(2-y)C.sin(2-x2)<sin yD.sin x2<cos(y-1)答案C因?yàn)?<x<y,所以x2+x<x2+y<52,所以0<x<11-12<1.2.由2<x2+y<y2+y,得y>1,又y<52,所以1<y<52,由x2+y<52得0<x2<52-y<32<2,所以sin x2<sin52-y,故A正確;由2<x2+y得2>1.44>x2>2-y>-12>-2,所以sin x2>sin(2-y),故B正確;對(duì)于C,當(dāng)2-x2=2,2<y<1+2時(shí),顯然不成立,故C不正確;由x2+y<52得0<x2<52-y<2+1-y<2,所以sin x2<sin2+1-y=cos(1-y)=cos(y-1),故D正確.故選C.3.已知函數(shù)f(x)=sin(x+)>0,|<2的圖象過(guò)點(diǎn)0,32,若f(x)f6對(duì)xR恒成立,則的值為;當(dāng)最小時(shí),函數(shù)g(x)=fx-3-22在區(qū)間0,22的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為.答案1+12k(kN);8解析由題意得=3,且當(dāng)x=6時(shí),函數(shù)f(x)取到最大值,故6+3=2+2k,kZ,解得=1+12k,kZ,又因?yàn)?gt;0,所以的最小值為1,因此,g(x)=fx-3-22=sin x-22在區(qū)間0,22的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是8.4.(2017浙江鎮(zhèn)海中學(xué)第一學(xué)期期中)已知f(x)=cos x(sin x-cos x)+cos22-x+1(>0)的最大值為3.(1)求函數(shù)f(x)的圖象的對(duì)稱軸方程;(2)在ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若f(C)=3,c=7,ABC的面積為332,求ABC的周長(zhǎng).解析(1)f(x)=2sin 2x-cos2x+sin2x+1=2sin 2x-cos 2x+1,故f(x)=24+1sin(2x-)+1tan=2的最大值為3,所以24+1=2,又>0,得=23.從而f(x)=3sin 2x-cos 2x+1=2sin2x-6+1,令2x-6=k+2,kZ,得x=k2+3,kZ.故函數(shù)f(x)的圖象的對(duì)稱軸方程為x=k2+3,kZ.(2)由f(C)=3,得sin2C-6=1,又0<C<,所以-6<2C-6<116,故2C-6=2,即C=3.由12absin C=332,得ab=6.又c2=a2+b2-2abcos3=a2+b2-ab,即(a+b)2=25,所以a+b=5,故ABC的周長(zhǎng)為5+7.