一 平面彎曲的概念及梁的種類二 梁的內力及其求法三 剪力方程與彎矩方程、剪力圖與彎矩圖四 彎矩、剪力和分布荷載之間的關系五 平面剛架與曲桿的內力圖六 關于內力圖的進一步討論一 平面彎曲的概念及梁的種類1、平面彎曲的概念討論桿的彎曲暫時限制在如下的范圍:（1）桿的橫截面至少有一根對稱軸（一個對稱面）對稱軸對稱軸對稱軸對稱軸對稱軸對稱軸對稱軸對稱軸軸線軸線縱向對稱面FqM彎曲后梁的軸線（撓曲線）(3)桿件軸線在載荷作用平面內彎成一條曲線(變形特點)。1、平面彎曲的概念墻梁樓板ql2、凡是以彎曲為主要變形的桿件，通常稱為梁。PaAB陽臺梁陽臺梁欄桿欄桿PABPaMeq上海長江大橋第53號至54號橋墩間，將架起“百米長梁”。這一箱梁長105米、寬16米、高5米，重2300噸，為世界第一。百米長梁超越東海大橋梁式大橋70米的跨度，實現(xiàn)了橋梁史上的一大突破。上海長江大橋跨江段長10公里，全橋長16.5公里，雙向6車道，設計時速100公里。整個隧橋工程將在2010年完工。上海長江大橋架起世界第一梁3、梁的種類：靜定梁支座反力可由靜力平衡方程確定的梁。（a）簡支梁（b）懸臂梁（c）外伸梁（d）靜定組合梁中間鉸中間鉸 超靜定梁支座反力不能由靜力平衡方程完全 確定的梁。二 梁的內力及其求法x解：解：(1)(1)、根據(jù)平衡條件求支座反力、根據(jù)平衡條件求支座反力,LFbFAyLFaFBy(2)(2)、截取、截取m-mm-m截面左段。截面左段。AxAyFmmQFMQF剪力剪力 使截面不產生移動使截面不產生移動, 0yF由彎矩彎矩M 使截面不產生轉動使截面不產生轉動得到：得到：LFbFFAyQoALBFabmmAyFByF1、梁的內力剪力與彎矩, 0oM由得到：得到：xLFbxFMAy2、剪力、彎矩的正、負號規(guī)定：Q（）（）QMM（）例題 一簡支梁受力如圖所示。試求C截面（跨中截面）上的內力。解：1、根據(jù)平衡條件求支座反力qaFBy30AMqaFAy0BMqAB212qaM 222qaM 4aaaCAyFByF3、求指定截面上的剪力和彎矩2、求C截面（跨中截面）上的內力qA212qaM aCAyFQcF, 0yF由得到：得到：02QcAyFaqFcMaqFFAyQc2qaQF（剪力（剪力 的實際方向與假設方的實際方向與假設方向相反，為負剪力）向相反，為負剪力）, 0CM由得到：得到：0221MaqaaFMAyC122MaqaaFMAyC22qa（彎矩（彎矩M的實際方向與假設方向相同，為正彎矩）的實際方向與假設方向相同，為正彎矩）222qaM 如以右側梁作為研究對象，則：cMByQcFaqF2qa222MaqaaFMByC22qa為了計算方便，通常取外力比較簡單的一段梁作為研究對象。為了計算方便，通常取外力比較簡單的一段梁作為研究對象。qBaCQcFByFqAB212qaM 222qaM 4aaaCAyFByFaqFFAyQc2qa取左段梁為研究對象取左段梁為研究對象:取右段梁為研究對象取右段梁為研究對象:ByQcFaqF2qa)(一側yQFF截面左側（或右側）梁上的所有外力截面左側（或右側）梁上的所有外力向截面形心簡化所得到的主矢。向截面形心簡化所得到的主矢。)(一側oMM截面左側（或右側）梁上的所有外力（力和截面左側（或右側）梁上的所有外力（力和力偶）向截面形心簡化所得到的主矩。力偶）向截面形心簡化所得到的主矩。122MaqaaFMAyC22qa222MaqaaFMByC22qaqAB212qaM 222qaM 4aaaCAyFByF取左段梁為研究對象取左段梁為研究對象:取右段梁為研究對象取右段梁為研究對象:)(一側yQFF截面左側（或右側）梁上的所有外力截面左側（或右側）梁上的所有外力向截面形心簡化所得到的主矢。向截面形心簡化所得到的主矢。)(一側oMM截面左側（或右側）梁上的所有外力截面左側（或右側）梁上的所有外力（力和力偶）向截面形心簡化所得（力和力偶）向截面形心簡化所得到的主矩。到的主矩。解：解：1、根據(jù)平衡條件求支座反力、根據(jù)平衡條件求支座反力0AMKNFAy3KNFBy70BM例題例題 一外伸梁受力如圖所示。試求一外伸梁受力如圖所示。試求D、B截面上的內力。截面上的內力。AyFABmKNM.801m1m1m1m2mq=2KN/mP=2KND CByF2、求、求B、D截面上的內力截面上的內力?解：解：1、根據(jù)平衡條件已求出支座反力、根據(jù)平衡條件已求出支座反力KNFAy3KNFBy7例例題題 一外伸梁受力如圖所示。試求一外伸梁受力如圖所示。試求D左左、D右右、B左左、B右右截面截面上的內力。上的內力。AyFABmKNM.801m1m1m1m2mq=2KN/mP=2KND CByF2、求、求D D左左、D D右右、B B左左、B B右右截面上的內力截面上的內力?AyFABmKNM.801m1m1m1m2mq=2KN/mP=2KNDCByF截面：截面：左D)(左側左yQDFFAyFKN3)(左側左DDMM1AyFmKN.3AyFABmKNM.801m1m1m1m2mq=2KN/mP=2KNDCByF截面：截面：右D)(右側右yQDFFAyFKN3)(右側右DDMM831oAyMFmKN 5截面：截面：左B)(左側左yQBFF3qFAyKN3)(左側左BBMM23340qMFAymKN.5AyFABmKNM.801m1m1m1m2mq=2KN/mP=2KNDCByF右B截面：截面：與與 截面相比，該截面的內力只增加了約束反力截面相比，該截面的內力只增加了約束反力 ，故有：，故有：左BByFByQBQBFFF左右KN4730ByBBFMM左右左BMmKN.5亦可取梁的右側的外力簡化，但必須注意外力的符號變化。亦可取梁的右側的外力簡化，但必須注意外力的符號變化。AyFABmKNM.801m1m1m1m2mq=2KN/mP=2KNDCByF4、小結(基本規(guī)律) （1）求指定截面上的內力時，既可取梁的左段為脫離體，也可取右段為脫離體，兩者計算結果一致（方向、轉向相反）。一般取外力比較簡單的一段進行分析。 （2）在解題時，一般在需要內力的截面上把內力（FQ 、M）假設為正號。最后計算結果是正，則表示假設的內力方向（轉向）是正確的，解得的FQ、M即為正的剪力和彎矩。若計算結果為負，則表示該截面上的剪力和彎矩均是負的，其方向（轉向）應與所假設的相反（但不必再把脫離體圖上假設的內力方向改過來）。 （3）梁內任一截面上的剪力FQ的大小，等于這截面左邊（或右邊）所有與截面平行的各外力的代數(shù)和。 若考慮左段為脫離體時，在此段梁上所有向上的外力會使該截面上產生正號的剪力，而所有向下的外力會使該截面上產生負號的剪力。 （4）梁內任一截面上的彎矩的大小，等于這截面左邊（或右邊）所有外力（包括力偶）對于這個截面形心的力矩的代數(shù)和。 niiniiQFFF11)()(niiniiniiniiMMMMM1111)()()()(若考慮左段為脫離體時，在此段梁上所有向上的力使該截面上產生正號的彎矩，而所有向下的力會使該截面上產生負號的彎矩;在此段梁上所有順時針轉向的外力偶會使該截面上產生正號的彎矩，而所有逆時針轉向的外力偶會使該截面上產生負號的彎矩。(5)集中力作用的截面上剪力有“跳躍“（突變），其跳躍的值就是這個集中力的大??；集中力偶作用的截面上彎矩有”跳躍”，其跳躍的值就是這個集中力偶的大小三 剪力方程與彎矩方程、剪力圖與彎矩圖在一般情況下，梁橫截面上的剪力和彎矩隨截面的位置而變化。因此，剪力和彎矩均可表示為截面位置因此，剪力和彎矩均可表示為截面位置x的函數(shù)，即的函數(shù)，即)(),(xMMxFFQQ稱為剪力方程和彎矩方程稱為剪力方程和彎矩方程ABmKNM.801m1m1m1m2mq=2KN/mP=2KNECDF1 剪力方程與彎矩方程AyFABmKNM.801m1m1m1m2mq=2KN/mP=2KNEDFByF因此，必須分段列出梁的剪力方程和彎矩方程，各段的分界點為各段梁的控制截面。 所謂控制截面,即外力規(guī)律發(fā)生變化的截面集中力、集中力偶作用點、分布載荷的起點和終點處的橫截面。3 控制截面的概念xQFxM(+)(+)(-)(-)剪力圖和彎矩圖用圖示方法形象地表示剪力和彎矩沿梁軸線的變化情況。注意：必須標明控制截面上的內力值4 剪力圖和彎矩圖例題 懸臂梁受力如圖所示。試列出梁的剪力方程和彎矩方程，作出梁的剪力圖和彎矩圖，并求出梁的 和 及其所在截面位置。maxQFmaxMPm=PaACBaa取參考坐標系Axy。解：xy1、列出梁的剪力方程和彎矩方程AB段段:0)(xFQ)0(axPamxM)()0(axxBC段段:Pm=PaACBaaxxPxFQ)()2(axa)()(axPmxM)2(axaPxPa22、作梁的剪力圖和彎矩圖、作梁的剪力圖和彎矩圖-P圖QFPa圖M(+)(-)maxQFmaxM3、求、求 和和PFQmaxPaMmax（在（在BC段的各截面）段的各截面）（在（在AB段的各截面）段的各截面）注意：注意：1、在列梁的剪力方程和彎矩方程時，參數(shù)x可以從坐標原點算 起，也可從另外的點算起，僅需要寫清楚方程的適用范圍 （x的區(qū)間）即可。2、剪力、彎矩方程的適用范圍，在集中力（包括支座反力）作 用處， 應為開區(qū)間，因在該處剪力圖有突變；而在集中 力偶作用處，M(x)應為開區(qū)間，因在該處彎矩圖有突變。)(xFQ3、若所得方程為x的二次或二次以上方程時，則在作圖時除計 算控制截面的值外，應注意曲線的凹凸向及其極值。例題 外伸簡支梁受力如圖所示。試列出梁的剪力方程和彎矩方程，作出梁的剪力圖和彎矩圖。ABqF=qaCa2a解：xy1、取參考坐標系Cxy。根據(jù)平衡條件求支座反力0AMqaFBy210BMqaFAy25AyFByF2、列出梁的剪力方程和彎矩方程、列出梁的剪力方程和彎矩方程yABqF=qaCa2axAyFByFqaxFQ)(CA段段:)0 (axqaxxM)(x)()(axqFqaxFAyQAB段段 :)3(axaqxqa25x)(25)(axqaqaxxM2)(21axq)3(axa)0 (axyABqF=qaCa2axAyFByF3、作梁的剪力圖和彎矩圖、作梁的剪力圖和彎矩圖-qa圖QF(-)qaaxFQ23)(qaaxFQ21)3(qa21qa23(-)(+)2qa(-)EaxE23)(25axaqaqadxdM0ax25281)25(qaaxM281qa(+)(xFQyxaaapapACBDFAyFByxxx 3203, 0PFaRpapamByBA 30,0PFRPFFAyBAyy323233220pppFaxaaxaaxDBCDACxQxapaxpxpxpMaxaaxaaxx332333220yxaaapapACBDFAyFByxxxP32P3QxPa/32Pa/3 xapaxpxpxpMaxaaxaaxpppFaxaaxaaxDBCDACxxQ332333220323233220,32:,32:,3:)()()(constPFDBconstPFCDconstPFACxQxQxQ.0,3;32,2:;3,2;3,:;3,; 0, 0:MaxPaMaxDBPaMaxPaMaxCDPaMaxMxACMxoPa/3yxaaqa2ACBqFAyFByxx qaFqaqaaFmAyAyB432121,022 qaFaqaqaaFmByByA412321, 02axaaxqqaaxqaFCBACxQ243043:)( axaaxqqaqaxaxqaxMx22143043:22qaaxq(x-a)(x-a)/2axaaxqqaaxqaFCBACxQ243043)( axaaxqqaqaxaxqaxMx2214304322yxaaqa2ACBqFAyFByxx .,2,:;43:4143qaQaxqaQaxCBconstqaxQAC.0,2,:;,0,0:241243MaxqaMaxCBqaMaxMxAC qaFAy43 qaFBy41yxaaqa2ACBqFAyFByxxQx3qa/4qa/4M3qa2/4qa2/4qa2/32xx=7a/4xxa2474732104743qaMaaqqaFaaQaxaxqqaaxqqaqaxdxddxxdM470221432143)(22axxaqaxqa43:4:43.,2,:;43:4143qaFaxqaFaxCBconstqaFACQQxQ.0,2,:;,0,0:241243MaxqaMaxCBqaMaxMxAC例例3. 復合靜定梁，試作剪力圖和彎矩圖。復合靜定梁，試作剪力圖和彎矩圖。 特點特點:中間鉸不能傳遞彎矩，中間鉸不能傳遞彎矩，只能傳遞力的作用。求解時先只能傳遞力的作用。求解時先由中間鉸處拆開，化為兩個單由中間鉸處拆開，化為兩個單跨梁?？缌?。 AD、DC和和CB三段剪力三段剪力方程和彎矩方程如下：方程和彎矩方程如下：1. 支座反力支座反力a/2ACBqa/2aDxxxBAqccFCyFAyRC由由AC跨的平衡條件求得?？绲钠胶鈼l件求得。2)()(218383qxqaxMqxqaFxxQAD:)(81)4(2183812183)()(axqaaxqaqaxMqaqaqaFxxQDC:qaFAy83qaFcy81axqxqadxdM83, 083得22max1289)83(218383qaaqaqaMCB：2. 剪力圖和彎矩圖剪力圖和彎矩圖OQ3qa/3qa/8MO9qa2/128qa2/16qa2/183a/8a/2ACBqa/2aDxxxcBqcAFCyFAy)2()(81)()(81)()2()(81)4(2183)(812183)()20(2183)(83)(2axaaxqaaxRxMqaRxQaxaaxqaaxqaqaxxMqaqaqaxQaxqxqaxxMqxqaxQCC:AD AD段的彎矩圖為一條二段的彎矩圖為一條二次拋物線，作圖時須求出彎次拋物線，作圖時須求出彎矩的極值和所在截面的位置，矩的極值和所在截面的位置，才能大致繪出其圖形。才能大致繪出其圖形。)(81)(81)()(axqaaxFMqaFFCyxCyxQ四 彎矩、剪力和分布荷載之間的關系考察受任意載荷作用的梁。建立xy坐標系。坐標系。規(guī)定向上的規(guī)定向上的q(x)為正。為正。yxABq(x) 考察考察dx微段的受力與平衡微段的受力與平衡Q(x)Q(x)+dQ(x)M(x)M(x)+dM(x)xyxdxoq(x)0yF0)()()(QQQdFxFdxxqxF)()(xqdxxdFQ上式的物理意義：梁上任一橫截面上的剪力對x的一階導數(shù)，等于該截面處作用在梁上的分布荷載集度。上式的幾何意義：任一橫截面上的分布荷載集度，就是剪力圖上相關點處的斜率。)(xFQdxxdFQ)()(xq)(xqFQ(x)FQ(x)+dFQ(x)M(x)M(x)+dM(x)xyxdxoq(x)()(xqdxxdFQ由此式知：剪力圖曲線上一點處的斜率等于梁上相應點處的載荷集度q。ABqF=qaCa2a圖QF2qa(-)-qa(-)qa21qa23(-)(+)E281qa(+)0oM0)()(2)()()(xdMxMdxdxxqdxxFxMQ)()(xFdxxdMs略去二階微量略去二階微量 ，得：，得：2)(2dxxq上式的物理意義：梁上任一橫截面上的彎矩對x的一階導數(shù)，等于該截面上的剪力。上式的幾何意義：任一橫截面處的剪力，就是彎矩圖上相關點處的斜率。)(xMdxxdM)()(xFQ)(xFQFQ(x)FQ(x)+dFQ(x)M(x)M(x)+dM(x)xyxdxoq(x)c)()(xFdxxdMQ 由此式知：彎矩圖曲由此式知：彎矩圖曲線上一點的斜率等于梁線上一點的斜率等于梁上相應截面處的剪力上相應截面處的剪力FQ 。ABqF=qaCa2a圖QF2qa(-)-qa(-)qa21qa23(-)(+)E281qa(+)()(xFdxxdMQ)()(xqdxxdFQ)()(22xqdxxMd)(xM上式的物理意義：梁上任一橫截面上的彎矩對x的二階導數(shù)，等于同一截面處作用在梁上的分布荷載集度數(shù)學上：二階導數(shù)可用來判定曲線的凹向，因此：上式的幾何意義：可以根據(jù)對x的二階導數(shù)的正、負來定出 圖的凹向。)(xM)(xq22)(dxxMd)(xM內力內力FQ 、M 的變化規(guī)律的變化規(guī)律, ,歸納如下：歸納如下：載荷載荷圖QF圖M0)(xq0Cq0CqFoM水平直線水平直線+-oror上斜直線上斜直線上凸上凸拋物線拋物線下凸下凸拋物線拋物線下斜直線下斜直線F(剪力圖剪力圖無突變無突變)F處有尖角處有尖角oM斜直線斜直線1當梁上某段當梁上某段q=0時，該段剪力為常數(shù)，故剪力圖為時，該段剪力為常數(shù)，故剪力圖為水平直線。相應的彎矩為水平直線。相應的彎矩為x的一次函數(shù)，彎矩圖為斜直的一次函數(shù)，彎矩圖為斜直線。當線。當FQ0時，彎矩圖為上升斜直線；時，彎矩圖為上升斜直線；FQ0時，彎時，彎矩圖為下降斜直線。矩圖為下降斜直線。2當梁上某段當梁上某段q=常數(shù)常數(shù)時，該段剪力為時，該段剪力為x的一次函數(shù)，的一次函數(shù)，剪力圖為斜直線。相應的彎矩為剪力圖為斜直線。相應的彎矩為x的二次函數(shù)，彎矩圖的二次函數(shù)，彎矩圖為二次拋物線。為二次拋物線。 若若q0，則剪力圖為上升斜直線，彎矩圖為凹口則剪力圖為上升斜直線，彎矩圖為凹口向上的曲線（凹孤）；向上的曲線（凹孤）； 若若q0，則剪力圖為下降斜直線，彎矩圖為凹則剪力圖為下降斜直線，彎矩圖為凹口向下的曲線（凸孤）。口向下的曲線（凸孤）。 3在在集中力集中力作用處（包括支承處），剪力圖將作用處（包括支承處），剪力圖將發(fā)生突變，其突變值等于該處集中力之大小。發(fā)生突變，其突變值等于該處集中力之大小。當集中力向上時，剪力圖向上突變當集中力向上時，剪力圖向上突變（沿（沿x正向），正向），反之，向下突變；反之，向下突變；而彎矩圖將因該處兩側斜率而彎矩圖將因該處兩側斜率不等出現(xiàn)拐點。不等出現(xiàn)拐點。 在在集中力偶集中力偶作用處，彎矩圖將發(fā)生突變，作用處，彎矩圖將發(fā)生突變，突變值等于集中力偶矩的大小。突變值等于集中力偶矩的大小。當集中力偶為當集中力偶為順時針方向作用時，彎矩圖向上突變順時針方向作用時，彎矩圖向上突變（沿（沿x正正向），向），反之則向下突變，反之則向下突變，但剪力圖在該處無變但剪力圖在該處無變化?；?。 例題 一外伸梁受力如圖所示。試作梁的剪力圖、彎矩圖。解：解：1、根據(jù)平衡條件求支座反力、根據(jù)平衡條件求支座反力0AMKNFAy2 .7KNFBy8 . 30BMABmKNM.601m1m4mF=3KNCDq=2KN/mAyFByF校核無誤。由0yFABmKNM.601m1m4mF=3KNCDq=2KN/m2、由微分關系判斷各段的、由微分關系判斷各段的 形狀。形狀。MFQ,載荷載荷圖QF圖MCADBAD0q0Cq0q斜直線斜直線斜直線斜直線KNFAy2 .7KNFBy8 . 3AyFByFABmKNM.601m1m4mF=3KNCDq=2KN/m3、作、作 -圖。圖。QF4、作、作M-圖。圖。mx1 . 3CA段：段：KNFQC3右圖QF(-)DA段：段：AyQAQAFFF左右KN2 . 4-3KN4.2KNKNFFByQD8 . 3左-3.8KN(+)(-)DB段：段：KNFFQDQD8 . 3左右-3KN.m(-)Ex0) 1(2 . 73xqFQE21 . 2211 . 21 . 3qFFMAyEmKN.41. 1mKNMD.2 . 2左-2.2KN.m(-)3.8KN.m(+)(+)mKN.41. 1AyFByFCADBmkNq20kNmm20m1m1m1RARB解：解：1. 1. 求支座反力求支座反力 kNRaRmqamBBA15022, 022015MkNmOxQKNxo1015515CA段段：dQdxq（x）0，kndxxqQQACCA201200A點：RA35kn（ ），發(fā)生跳躍，knRQQAAA153520AB段： knQdxxqQQconstxQxqABAAB15, 0B點： RB15kn（ ），發(fā)生跳躍，01515BBBRQQCA段： , 00,222xQdxdMxqdxMdxMM mkndxxQMMACCA1012021AD段： , 0,xQdxdMxMM mkndxxQMMDAAD511510 kNRRRqayABA350, 02. 2. 作剪力圖、彎矩圖作剪力圖、彎矩圖D點：MD20kn.m，發(fā)生跳躍（ ）。 mknMMMDDD15205DB段： , 0,xQdxdMxMM 011515dxxQMMBDDBCA DBmkNq101kNmm60m2m1m3m3EmkNq202RARB解：解：1. 1. 求支座反力求支座反力 kNRRmBBA3506203214601210,0kNRRRyABA25020321210,02. 2. 作剪力圖、彎矩圖作剪力圖、彎矩圖Q/knox20530M/knmxo20154560q(x)q(x)例題q(x)q(x)QF例題五 平面剛架與曲桿的內力圖剛架：由兩根或兩根以上的桿件組成的并在連接處采用剛性連接的結構。橫梁立柱當桿件變形時，兩桿連接處保持剛性，即角度（一般為直角）保持不變。在平面載荷作用下，組成剛架的桿件橫截面上一般存在軸力、剪力和彎矩三個內力分量。求做圖示剛架的內力圖qLLABCqLqL/2qL/2qL2qL)(kNFs2qL)(kNFN22qL22qL)(kNmM求做圖示剛架的內力圖2kN/m4m4mABC2kN2kN8kN24kNm82)(kNFs2)(kNFN2488)(kNmM 等截面折桿ABC的A端固定在墻上,自由端承受集中力F=20kN.設L1=2m,L2=1m,1=450,2=900,試作折桿的剪力和彎矩圖1 2 AL1L2FkN14.14kN14.14)(kNFs14.1414.14)(kNmM14.1414.1414.14C2rrABF 圖示桿ABC由直桿和半圓組成,試作該桿的內力圖.AB:FrM2FFN0SFBC: cos1 FrM cosFFN sinFFSFr2Fr)(kNmM)(kNFsF)(kNFNFF六 關于內力圖的進一步討論例1：圖示是一簡支梁的剪力圖與彎矩圖，試根據(jù)此圖求出與其相應的荷載圖。2m2m20kn20kn20kn20knm1020203020knq20knmqmkNm2020knmkNm20例2：圖示是一梁的剪力圖，假設無集中力偶作用，試根據(jù)此圖求出與其相應的荷載圖和彎矩圖。1m 1m2m2mQ50KN5050mkNq25qkn5010050Mknm5050