層級二 專題五 第3講限時60分鐘滿分60分解答題(本大題共5小題，每小題12分，共60分)1已知橢圓C：1(ab0)經(jīng)過點M(2,1)，且離心率e.(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)A，B分別是橢圓C的上頂點、右頂點，點P是橢圓C在第一象限內(nèi)的一點，直線AP，BP分別交x軸，y軸于點M，N，求四邊形ABMN面積的最小值解析：本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、橢圓的基本性質(zhì)以及直線方程，考查考生分析問題、解決問題的能力，考查的核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)運(yùn)算(1)由離心率及c2a2b2得a，b的關(guān)系，再把已知點代入即可求出標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)出點P的坐標(biāo)，得到直線AP，BP的方程，從而表示出點M，N的坐標(biāo)，進(jìn)而得到|AN|·|BM|，最后利用S四邊形ABMNSOMNSOAB及基本不等式求面積的最小值(1)由橢圓的離心率為得，又c2a2b2，a2b.又橢圓C經(jīng)過點(2,1)，1，解得b22，橢圓C的方程為1.(2)由(1)可知，A(0，)，B(2，0)，設(shè)P(x0，y0)(0x02，0y0)，則直線AP：yx，從而M.直線BP：y(x2)，從而N.1，|AN|·|BM|·8.S四邊形ABMNSOMNSOAB(|OM|·|ON|OA|·|OB|)(|BM|2|AN|8)(|BM|2|AN|)44·244(O為坐標(biāo)原點)，當(dāng)且僅當(dāng)|BM|4，|AN|2時取得最小值2已知橢圓C：1(ab0)的離心率為，上頂點M到直線xy40的距離為3.(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)直線l過點(4，2)，且與橢圓C相交于A，B兩點，l不經(jīng)過點M，證明：直線MA的斜率與直線MB的斜率之和為定值解：本題主要考查橢圓與直線的交匯，考查考生的數(shù)形結(jié)合能力、推理論證能力以及運(yùn)算求解能力，考查的核心素養(yǎng)是直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算(1)由題意可得，解得，所以橢圓C的方程為1.(2)易知直線l的斜率恒小于0，設(shè)直線l的方程為y2k(x4)，k0且k1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，聯(lián)立得，得(14k2)x216k(2k1)x64k(k1)0，則x1x2，x1x2，因為kMAkMB，所以kMAkMB2k(4k4)×2k4(k1)×2k(2k1)1(為定值)3(2019·淮南三模)已知橢圓C：1(ab0)的離心率為，直線4x3y50與以坐標(biāo)原點為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓相切(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若A為橢圓C的下頂點，M，N為橢圓C上異于A的兩點，直線AM與AN的斜率之積為1.求證：直線MN恒過定點，并求出該定點的坐標(biāo)；若O為坐標(biāo)原點，求·的取值范圍解析：(1)由題意可得離心率e，又直線4x3y50與圓x2y2b2相切，所以b1，結(jié)合a2b2c2，解得a，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x21.(2)設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，由題意知A(0，)，又直線AM與AN的斜率之積為1，所以·1，即有x1x2y1y2(y1y2)3，由題意可知直線MN的斜率存在且不為0，設(shè)直線MN：ykxt(k0)，代入橢圓方程，消去y可得(3k2)x22ktxt230，所以x1x2，x1x2，y1y2k(x1x2)2t2t，y1y2k2x1x2kt(x1x2)t2k2·ktt2，所以3，化簡得t23t60，解得t2(舍去)，則直線MN的方程為ykx2，即直線MN恒過定點，該定點的坐標(biāo)為(0，2)由可得·x1x2y1y2，由(3k2)x22ktxt230，可得4k2t24(t23)(3k2)48k236(3k2)0，解得k29.令3k2m，則m12，且k2m3，所以3，由m12，可得33.則·的取值范圍是.4(2019·浙江卷)如圖，已知點F(1,0)為拋物線y22px(p0)的焦點過點F的直線交拋物線于A，B兩點，點C在拋物線上，使得ABC的重心G在x軸上，直線AC交x軸于點Q，且Q在點F的右側(cè)記AFG，CQG的面積分別為S1，S2.(1)求p的值及拋物線的準(zhǔn)線方程；(2)求的最小值及此時點G的坐標(biāo)解：(1)由題意得1，即p2.所以，拋物線的準(zhǔn)線方程為x1.(2)設(shè)A(xA，yA)，B(xB，yB)，C(xc，yc)，重心G(xG，yG)令yA2t，t0，則xAt2.由于直線AB過F，故直線AB的方程為xy1，代入y24x，得y2y40，故2tyB4，即yB，所以B.又由于xG(xAxBxC)，yG(yAyByC)及重心G在x軸上，故2tyC0，得C，G.所以，直線AC的方程為y2t2t(xt2)，得Q(t21,0)由于Q在焦點F的右側(cè)，故t22.從而2.令mt22，則m>0，2221.當(dāng)m時，取得最小值1，此時G(2,0)5(2019·北京卷)已知拋物線C：x22py經(jīng)過點(2，1)(1)求拋物線C的方程及其準(zhǔn)線方程；(2)設(shè)O為原點，過拋物線C的焦點作斜率不為0的直線l交拋物線C于兩點M，N，直線y1分別交直線OM，ON于點A和點B.求證：以AB為直徑的圓經(jīng)過y軸上的兩個定點解析：本題主要考查拋物線方程的求解與準(zhǔn)線方程的確定，直線與拋物線的位置關(guān)系，圓的方程的求解及其應(yīng)用等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力(1)將點(2，1)代入拋物線方程：222p×(1)可得：p2，故拋物線方程為：x24y，其準(zhǔn)線方程為：y1.(2)很明顯直線l的斜率存在，焦點坐標(biāo)為(0，1)，設(shè)直線方程為ykx1，與拋物線方程x24y聯(lián)立可得：x24kx40.故：x1x24k，x1x24.設(shè)M，N，則kOM，kON，直線OM的方程為yx，與y1聯(lián)立可得：A，同理可得B，易知以AB為直徑的圓的圓心坐標(biāo)為：，圓的半徑為：，且：2k，2×2，則圓的方程為：(x2k)2(y1)24(k21)，令x0整理可得：y22y30，解得：y13，y21，即以AB為直徑的圓經(jīng)過y軸上的兩個定點(0，3)，(0,1)