第九節(jié)圓錐曲線中的定點與定值問題(對應(yīng)學(xué)生用書第167頁)考點1定點問題圓錐曲線中的定點問題一般是指與解析幾何有關(guān)的直線或圓過定點的問題(其他曲線過定點太復(fù)雜，高中階段一般不涉及)，其實質(zhì)是：當(dāng)動直線或動圓變化時，這些直線和圓相交于一點，即這些直線或圓繞著定點在轉(zhuǎn)動這類問題的求解一般可分為以下三步：一選：選擇變量，定點問題中的定點，隨某一個量的變化而固定，可選擇這個量為變量(有時可選擇兩個變量，如點的坐標(biāo)、斜率、截距等，然后利用其他輔助條件消去其中之一)二求：求出定點所滿足的方程，即把需要證明為定點的問題表示成關(guān)于上述變量的方程三定點：對上述方程進行必要的化簡，即可得到定點坐標(biāo)(2019·開封模擬)已知橢圓C：1(ab0)的右焦點F(，0)，長半軸的長與短半軸的長的比值為2.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)不經(jīng)過點B(0,1)的直線l與橢圓C相交于不同的兩點M，N，若點B在以線段MN為直徑的圓上，證明直線l過定點，并求出該定點的坐標(biāo)解(1)由題意得，c，2，a2b2c2，a2，b1.橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為y21.(2)當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為ykxm(m1)，M(x1，y1)，N(x2，y2)聯(lián)立消去y，可得(4k21)x28kmx4m240.16(4k21m2)0，x1x2，x1x2.點B在以線段MN為直徑的圓上，·0.·(x1，kx1m1)·(x2，kx2m1)(k21)x1x2k(m1)(x1x2)(m1)20，(k21)k(m1)(m1)20，整理，得5m22m30，解得m或m1(舍去)直線l的方程為ykx.易知當(dāng)直線l的斜率不存在時，不符合題意故直線l過定點，且該定點的坐標(biāo)為.對于直線ykxm，當(dāng)m為定值或mf(k)時，便可確定直線過定點，因此根據(jù)條件求出m的值或m與k的關(guān)系便可求出定點教師備選例題已知橢圓E：1(ab0)經(jīng)過點P(2,1)，且離心率為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點，在橢圓的短軸上有兩點M，N滿足，直線PM，PN分別交橢圓于A，B兩點，試證明直線AB過定點解(1)由橢圓的離心率e，得a24b2，將P(2,1)代入橢圓方程1，得1，解得b22，則a28，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)證明：當(dāng)M，N分別是短軸的端點時，顯然直線AB為y軸，所以若直線AB過定點，則這個定點一定在y軸上，當(dāng)M，N不是短軸的端點時，設(shè)直線AB的方程為ykxt，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，易知x12，x22，聯(lián)立消去y，得(14k2)x28ktx4t280，則16(8k2t22)0，x1x2，x1x2.又直線PA的方程為y1(x2)，即y1(x2)，所以點M的坐標(biāo)為，同理可知N，由，得0，化簡整理得，(24k)x1x2(24k2t)(x1x2)8t0，則(24k)×(24k2t)·8t0，整理得(2t4)k(t2t2)0，當(dāng)且僅當(dāng)t2時，上式對任意的k都成立，所以直線AB過定點(0，2)(2019·濟南模擬)已知拋物線C1：y22px(p0)與橢圓C2：1有一個相同的焦點，過點A(2,0)且與x軸不垂直的直線l與拋物線C1交于P，Q兩點，P關(guān)于x軸的對稱點為M.(1)求拋物線C1的方程(2)試問直線MQ是否過定點？若是，求出該定點的坐標(biāo)；若不是，請說明理由解(1)由題意可知，拋物線的焦點為橢圓的右焦點，坐標(biāo)為(1,0)，所以p2，所以拋物線C1的方程為y24x.(2)法一：因為點P與點M關(guān)于x軸對稱，所以設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則M(x1，y1)，設(shè)直線PQ的方程為yk(x2)，代入y24x得，k2x24(k21)x4k20，所以x1x24，設(shè)直線MQ的方程為ymxn，代入y24x得，m2x2(2mn4)xn20，所以x1x24，因為x10，x20，y1y20，所以2，即n2m，所以直線MQ的方程為ym(x2)，必過定點(2,0)法二：設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x3，y3)，因為點P與點M關(guān)于x軸對稱，所以y3y1，設(shè)直線PQ的方程為xty2，代入y24x得，y24ty80，所以y1y28，設(shè)直線MQ的方程為xmyn，代入y24x得，y24my4n0，所以y2y34n，因為y3y1，所以y2(y1)y1y24n8，即n2，所以直線MQ的方程為xmy2，必過定點(2,0)考點2定值問題圓錐曲線中的定值問題一般是指在求解解析幾何問題的過程中，探究某些幾何量(斜率、距離、面積、比值等)與變量(斜率、點的坐標(biāo)等)無關(guān)的問題其求解步驟一般為：一選：選擇變量，一般為點的坐標(biāo)、直線的斜率等二化：把要求解的定值表示成含上述變量的式子，并利用其他輔助條件來減少變量的個數(shù)，使其只含有一個變量(或者有多個變量，但是能整體約分也可以)三定值：化簡式子得到定值由題目的結(jié)論可知要證明為定值的量必與變量的值無關(guān)，故求出的式子必能化為一個常數(shù)，所以只須對上述式子進行必要的化簡即可得到定值(2018·北京高考)已知拋物線C：y22px經(jīng)過點P(1,2)，過點Q(0,1)的直線l與拋物線C有兩個不同的交點A，B，且直線PA交y軸于M，直線PB交y軸于N.(1)求直線l的斜率的取值范圍；(2)設(shè)O為原點，求證：為定值解(1)因為拋物線y22px過點(1,2)，所以2p4，即p2.故拋物線C的方程為y24x.由題意知，直線l的斜率存在且不為0.設(shè)直線l的方程為ykx1(k0)，由得k2x2(2k4)x10.依題意(2k4)24×k2×1>0，解得k<0或0<k<1.又PA，PB與y軸相交，故直線l不過點(1，2)從而k3.所以直線l的斜率的取值范圍是(，3)(3,0)(0,1)(2)證明：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)由(1)知x1x2，x1x2.直線PA的方程為y2(x1)令x0，得點M的縱坐標(biāo)為yM22.同理得點N的縱坐標(biāo)為yN2.由 ，得1yM，1yN.所以··2.所以為定值根據(jù)，得到，與yM，yN的關(guān)系，這是解題的關(guān)鍵教師備選例題(2019·沈陽模擬)已知橢圓C：1(ab0)的焦點為F1，F(xiàn)2，離心率為，點P為其上一動點，且三角形PF1F2的面積最大值為，O為坐標(biāo)原點(1)求橢圓C的方程；(2)若點M，N為C上的兩個動點，求常數(shù)m，使·m時，點O到直線MN的距離為定值，求這個定值解(1)依題意知解得所以橢圓C的方程為1.(2)設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，則x1x2y1y2m，當(dāng)直線MN的斜率存在時，設(shè)其方程為ykxn，則點O到直線MN的距離d，聯(lián)立消去y，得(4k23)x28knx4n2120，由0得4k2n230，則x1x2，x1x2，所以x1x2(kx1n)(kx2n)(k21)x1x2kn(x1x2)n2m，整理得12.因為d為常數(shù)，則m0，d，此時12滿足0.當(dāng)MNx軸時，由m0得kOM±1，聯(lián)立消去y，得x2，點O到直線MN的距離d|x|亦成立綜上，當(dāng)m0時，點O到直線MN的距離為定值，這個定值是.(2019·成都模擬)直線l與橢圓1(ab0)交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，已知m(ax1，by1)，n(ax2，by2)，若橢圓的離心率e，且經(jīng)過點，O為坐標(biāo)原點(1)求橢圓的方程(2)當(dāng)mn時，AOB的面積是否為定值？如果是，請給予證明；如果不是，請說明理由解(1)由題意得解得橢圓的方程為x21.(2)當(dāng)直線AB斜率不存在時，即x1x2，y1y2，由已知m·n0，得4xy0，y4x.又A(x1，y1)在橢圓上，x1，|x1|，|y1|，三角形的面積S|x1|y1y2|x1|·2|y1|1，三角形的面積為定值當(dāng)直線AB斜率存在時，設(shè)直線AB的方程為ykxt，聯(lián)立得(k24)x22ktxt240.則0，即4k2t24(k24)(t24)0，x1x2，x1x2.mn，4x1x2y1y20，4x1x2(kx1t)(kx2t)0，代入整理得2t2k24.而SAOB··|AB|t|·1，AOB的面積為定值