高三數(shù)學(xué)北師大版文一輪教師用書:第9章 第10節(jié) 圓錐曲線中的證明與存在性問題 Word版含解析
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高三數(shù)學(xué)北師大版文一輪教師用書:第9章 第10節(jié) 圓錐曲線中的證明與存在性問題 Word版含解析
第十節(jié)圓錐曲線中的證明與存在性問題(對應(yīng)學(xué)生用書第168頁)考點(diǎn)1證明問題圓錐曲線中證明問題的類型及解題策略(1)圓錐曲線中的證明問題,主要有兩類:一是位置關(guān)系方面的,如證明相切、垂直、過定點(diǎn)等;二是數(shù)量關(guān)系方面的,如存在定值、恒成立、值相等、角相等、三點(diǎn)共線等(2)解決證明問題時,主要根據(jù)直線、圓錐曲線的性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等,通過相關(guān)的性質(zhì)應(yīng)用、代數(shù)式的恒等變形以及必要的數(shù)值計算等進(jìn)行證明,多采用直接法證明,有時也會用到反證法(2018·全國卷)設(shè)拋物線C:y22x,點(diǎn)A(2,0),B(2,0),過點(diǎn)A的直線l與C交于M,N兩點(diǎn)(1)當(dāng)l與x軸垂直時,求直線BM的方程;(2)證明:ABMABN.解(1)當(dāng)l與x軸垂直時,l的方程為x2,可得M的坐標(biāo)為(2,2)或(2,2)所以直線BM的方程為yx1或yx1.(2)當(dāng)l與x軸垂直時,AB為MN的垂直平分線,所以ABMABN.當(dāng)l與x軸不垂直時,設(shè)l的方程為yk(x2)(k0),M(x1,y1),N(x2,y2),則x1>0,x2>0.由得ky22y4k0,可知y1y2,y1y24.直線BM,BN的斜率之和為kBMkBN.將x12,x22及y1y2,y1y2的表達(dá)式代入式分子,可得x2y1x1y22(y1y2)0.所以kBMkBN0,可知BM,BN的傾斜角互補(bǔ),所以ABMABN.綜上,ABMABN.把證明ABMABN轉(zhuǎn)化為證明kBMkBN0是解題的關(guān)鍵(2017·全國卷)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),動點(diǎn)M在橢圓C:y21上,過M作x軸的垂線,垂足為N,點(diǎn)P滿足.(1)求點(diǎn)P的軌跡方程;(2)設(shè)點(diǎn)Q在直線x3上,且·1.證明:過點(diǎn)P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點(diǎn)F.解(1)設(shè)P(x,y),M(x0,y0),則N(x0,0),(xx0,y),(0,y0)由得x0x,y0y.因為M(x0,y0)在C上,所以1.因此點(diǎn)P的軌跡方程為x2y22.(2)證明:由題意知F(1,0)設(shè)Q(3,t),P(m,n),則(3,t),(1m,n),·33mtn,(m,n),(3m,tn)由·1,得3mm2tnn21,又由(1)知m2n22,故33mtn0.所以·0,即.又過點(diǎn)P存在唯一直線垂直于OQ,所以過點(diǎn)P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點(diǎn)F.考點(diǎn)2存在性問題圓錐曲線中存在性問題的求解方法(1)存在性問題通常采用“肯定順推法”,將不確定性問題明朗化其步驟為:假設(shè)滿足條件的元素(點(diǎn)、直線、曲線或參數(shù))存在,用待定系數(shù)法設(shè)出,列出關(guān)于待定系數(shù)的方程組,若方程組有實(shí)數(shù)解,則元素(點(diǎn)、直線、曲線或參數(shù))存在;否則,元素(點(diǎn)、直線、曲線或參數(shù))不存在(2)反證法與驗證法也是求解存在性問題常用的方法(2019·泉州模擬)橢圓1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,右頂點(diǎn)為A,上頂點(diǎn)為B,且滿足向量·0.(1)若A(2,0),求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)設(shè)P為橢圓上異于頂點(diǎn)的點(diǎn),以線段PB為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)F1,問是否存在過點(diǎn)F2的直線與該圓相切?若存在,求出其斜率;若不存在,說明理由解(1)易知a2,因為·0,所以BF1F2為等腰直角三角形所以bc,由a2b2c2可知b,故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)由已知得b2c2,a22c2,設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0,y0)因為F1(c,0),B(0,c),所以(x0c,y0),(c,c),由題意得·0,所以x0cy00.又因為點(diǎn)P在橢圓上,所以1,由以上兩式可得3x4cx00.因為P不是橢圓的頂點(diǎn),所以x0c,y0c,故P.設(shè)圓心為(x1,y1),則x1c,y1c,圓的半徑rc.假設(shè)存在過點(diǎn)F2的直線滿足題設(shè)條件,并設(shè)該直線的方程為yk(xc),由相切可知r,所以c,即20k220k10,解得k±.故存在滿足條件的直線,其斜率為±.本例第(2)問中,涉及直線與圓相切問題,需要求出圓心和半徑,然后利用圓心到直線的距離等于半徑,列等式求解教師備選例題(2019·長沙模擬)已知橢圓C的中心為原點(diǎn)O,焦點(diǎn)在x軸上,左、右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,離心率為,右焦點(diǎn)到右頂點(diǎn)的距離為1.(1)求橢圓C的方程;(2)過點(diǎn)F2的直線與橢圓C分別相交于不同的兩點(diǎn)A,B,則F1AB的面積是否存在最大值?若存在,求出這個最大值及直線l的方程;若不存在,請說明理由解(1)設(shè)橢圓C:1(a>b>0),e,ac1,a2,c1,橢圓C的方程為1.(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),不妨設(shè)y1>0,y2<0.由題知,直線l的斜率不為零,可設(shè)直線l的方程為xmy1.聯(lián)立得(3m24)y26my90,則y1y2,y1y2,SF1AB|F1F2|(y1y2).令t,可知t1,則m2t21,SF1AB.令f(t)3t,則f(t)3,當(dāng)t1時,f(t)>0,即f(t)在區(qū)間1,)上單調(diào)遞增,f(t)f(1)4,SF1AB3,即當(dāng)t1,m0時,F(xiàn)1AB的面積取得最大值3,此時直線l的方程為x1.(2019·哈爾濱模擬)已知橢圓C:1(a>b>0)的離心率為,點(diǎn)F為左焦點(diǎn),過點(diǎn)F作x軸的垂線交橢圓C于A,B兩點(diǎn),且|AB|3.(1)求橢圓C的方程;(2)在圓x2y23上是否存在一點(diǎn)P,使得在點(diǎn)P處的切線l與橢圓C相交于M,N兩點(diǎn),且滿足?若存在,求l的方程;若不存在,請說明理由解(1)e,3a24b2.又|AB|3,a2,b.橢圓C的方程為1.(2)假設(shè)存在點(diǎn)P,使得.當(dāng)直線l的斜率不存在時,l:x或x,與橢圓C:1相交于M,N兩點(diǎn),此時M,N或M,N,·30,當(dāng)直線l的斜率不存在時,不滿足.當(dāng)直線l的斜率存在時,設(shè)ykxm,聯(lián)立得(34k2)x28kmx4m2120.直線l與橢圓C相交于M,N兩點(diǎn),0,化簡得4k2m23.設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),x1x2,x1x2,y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2km(x1x2)m2.·0,0,7m212k2120.又直線l與圓x2y23相切,m233k2,2121k212k2120,解得k21,顯然不成立,在圓上不存在這樣的點(diǎn)P使成立