第十節(jié)圓錐曲線中的證明與存在性問題(對應(yīng)學(xué)生用書第168頁)考點(diǎn)1證明問題圓錐曲線中證明問題的類型及解題策略(1)圓錐曲線中的證明問題，主要有兩類：一是位置關(guān)系方面的，如證明相切、垂直、過定點(diǎn)等；二是數(shù)量關(guān)系方面的，如存在定值、恒成立、值相等、角相等、三點(diǎn)共線等(2)解決證明問題時，主要根據(jù)直線、圓錐曲線的性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等，通過相關(guān)的性質(zhì)應(yīng)用、代數(shù)式的恒等變形以及必要的數(shù)值計算等進(jìn)行證明，多采用直接法證明，有時也會用到反證法(2018·全國卷)設(shè)拋物線C：y22x，點(diǎn)A(2,0)，B(2,0)，過點(diǎn)A的直線l與C交于M，N兩點(diǎn)(1)當(dāng)l與x軸垂直時，求直線BM的方程；(2)證明：ABMABN.解(1)當(dāng)l與x軸垂直時，l的方程為x2，可得M的坐標(biāo)為(2,2)或(2，2)所以直線BM的方程為yx1或yx1.(2)當(dāng)l與x軸垂直時，AB為MN的垂直平分線，所以ABMABN.當(dāng)l與x軸不垂直時，設(shè)l的方程為yk(x2)(k0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，則x1>0，x2>0.由得ky22y4k0，可知y1y2，y1y24.直線BM，BN的斜率之和為kBMkBN.將x12，x22及y1y2，y1y2的表達(dá)式代入式分子，可得x2y1x1y22(y1y2)0.所以kBMkBN0，可知BM，BN的傾斜角互補(bǔ)，所以ABMABN.綜上，ABMABN.把證明ABMABN轉(zhuǎn)化為證明kBMkBN0是解題的關(guān)鍵(2017·全國卷)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動點(diǎn)M在橢圓C：y21上，過M作x軸的垂線，垂足為N，點(diǎn)P滿足.(1)求點(diǎn)P的軌跡方程；(2)設(shè)點(diǎn)Q在直線x3上，且·1.證明：過點(diǎn)P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點(diǎn)F.解(1)設(shè)P(x，y)，M(x0，y0)，則N(x0,0)，(xx0，y)，(0，y0)由得x0x，y0y.因為M(x0，y0)在C上，所以1.因此點(diǎn)P的軌跡方程為x2y22.(2)證明：由題意知F(1,0)設(shè)Q(3，t)，P(m，n)，則(3，t)，(1m，n)，·33mtn，(m，n)，(3m，tn)由·1，得3mm2tnn21，又由(1)知m2n22，故33mtn0.所以·0，即.又過點(diǎn)P存在唯一直線垂直于OQ，所以過點(diǎn)P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點(diǎn)F.考點(diǎn)2存在性問題圓錐曲線中存在性問題的求解方法(1)存在性問題通常采用“肯定順推法”，將不確定性問題明朗化其步驟為：假設(shè)滿足條件的元素(點(diǎn)、直線、曲線或參數(shù))存在，用待定系數(shù)法設(shè)出，列出關(guān)于待定系數(shù)的方程組，若方程組有實(shí)數(shù)解，則元素(點(diǎn)、直線、曲線或參數(shù))存在；否則，元素(點(diǎn)、直線、曲線或參數(shù))不存在(2)反證法與驗證法也是求解存在性問題常用的方法(2019·泉州模擬)橢圓1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，右頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B，且滿足向量·0.(1)若A(2,0)，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)P為橢圓上異于頂點(diǎn)的點(diǎn)，以線段PB為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)F1，問是否存在過點(diǎn)F2的直線與該圓相切？若存在，求出其斜率；若不存在，說明理由解(1)易知a2，因為·0，所以BF1F2為等腰直角三角形所以bc，由a2b2c2可知b，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)由已知得b2c2，a22c2，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0，y0)因為F1(c,0)，B(0，c)，所以(x0c，y0)，(c，c)，由題意得·0，所以x0cy00.又因為點(diǎn)P在橢圓上，所以1，由以上兩式可得3x4cx00.因為P不是橢圓的頂點(diǎn)，所以x0c，y0c，故P.設(shè)圓心為(x1，y1)，則x1c，y1c，圓的半徑rc.假設(shè)存在過點(diǎn)F2的直線滿足題設(shè)條件，并設(shè)該直線的方程為yk(xc)，由相切可知r，所以c，即20k220k10，解得k±.故存在滿足條件的直線，其斜率為±.本例第(2)問中，涉及直線與圓相切問題，需要求出圓心和半徑，然后利用圓心到直線的距離等于半徑，列等式求解教師備選例題(2019·長沙模擬)已知橢圓C的中心為原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，離心率為，右焦點(diǎn)到右頂點(diǎn)的距離為1.(1)求橢圓C的方程；(2)過點(diǎn)F2的直線與橢圓C分別相交于不同的兩點(diǎn)A，B，則F1AB的面積是否存在最大值？若存在，求出這個最大值及直線l的方程；若不存在，請說明理由解(1)設(shè)橢圓C：1(a>b>0)，e，ac1，a2，c1，橢圓C的方程為1.(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，不妨設(shè)y1>0，y2<0.由題知，直線l的斜率不為零，可設(shè)直線l的方程為xmy1.聯(lián)立得(3m24)y26my90，則y1y2，y1y2，SF1AB|F1F2|(y1y2).令t，可知t1，則m2t21，SF1AB.令f(t)3t，則f(t)3，當(dāng)t1時，f(t)>0，即f(t)在區(qū)間1，)上單調(diào)遞增，f(t)f(1)4，SF1AB3，即當(dāng)t1，m0時，F(xiàn)1AB的面積取得最大值3，此時直線l的方程為x1.(2019·哈爾濱模擬)已知橢圓C：1(a>b>0)的離心率為，點(diǎn)F為左焦點(diǎn)，過點(diǎn)F作x軸的垂線交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，且|AB|3.(1)求橢圓C的方程；(2)在圓x2y23上是否存在一點(diǎn)P，使得在點(diǎn)P處的切線l與橢圓C相交于M，N兩點(diǎn)，且滿足？若存在，求l的方程；若不存在，請說明理由解(1)e，3a24b2.又|AB|3，a2，b.橢圓C的方程為1.(2)假設(shè)存在點(diǎn)P，使得.當(dāng)直線l的斜率不存在時，l：x或x，與橢圓C：1相交于M，N兩點(diǎn)，此時M，N或M，N，·30，當(dāng)直線l的斜率不存在時，不滿足.當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)ykxm，聯(lián)立得(34k2)x28kmx4m2120.直線l與橢圓C相交于M，N兩點(diǎn)，0，化簡得4k2m23.設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，x1x2，x1x2，y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2km(x1x2)m2.·0，0，7m212k2120.又直線l與圓x2y23相切，m233k2，2121k212k2120，解得k21，顯然不成立，在圓上不存在這樣的點(diǎn)P使成立