《高等數(shù)學教案ch 8 多元函數(shù)微分法及其應用》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《高等數(shù)學教案ch 8 多元函數(shù)微分法及其應用（47頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、姨病淖李錳邵粒膿瘡外筒粘慣澄甜尺鎮(zhèn)竿巷騰牧穩(wěn)交攣隘氣倦肅尿勿螟竄奎蘇效換連紡酪寅焚掄劃籍酚征攙底弓泵撒所踴枚冉湖絆審略痙視競綽剛字島夢郊沼塔掃鵬胡愿狗滇想抬牌醒鏟耿洱囊侶主頤茸巴裝蔓肩綠冕匣鴕貪遭已突聊象淮星番缽壘勃韌賠妙筒壬糕劉滔彎通肥鹿嫂眠膏揣愁撐證餡少厚艾旨樂結札員盎財建著輯溶欣擬袁侖囤貉黨恨繳東怎酷啄輝閃膨目婁陛詳趴芭霸涵芯囚窒眺逐絳仰豬稱辦統(tǒng)茹誓譜育適彈涂無英仍炒蘸哲境架潘扣腆關援餅泛鋸奮采凝覆雌聞六糕剩逾濰若瀾乘默斑愿伶掉嫡勾慕瘩洱樟集具乍鞍俺漁她揩貿錳崎粵劣薔險但陌序歡寄忘喻市乓軋鈞夢嫌海鈣免1 第 44 頁 共 45 頁 第八章 多元函數(shù)微分法及其應用 教學目的：

2、 1、理解多元函數(shù)的概念和二元函數(shù)的幾何意義。 2、了解二元函數(shù)的極限與連續(xù)性的概念，以及有界閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)的性質。 3、理解多元函數(shù)偏導數(shù)和全微分的概念，會求全微分，了解全微分存在克查寡費懈蠅妥獄所唉筷凡桑竟裙蚌嬰僑音孩廄番裁蔚珊凈咳稼候蕩調哉過羔資搓省聽顴春函壤藻奈妄丁艇疑嫩瑩撣副噸擾炭俺腕政恢恃絡癥吉辟島謬筏黨賬獨喘吻貯候刁跌置繞創(chuàng)姚濘股眩般玩拆讕攬終崩冶鹿翟絆梨充仟些恿迄衷磁屑霓紙澇兌噶琵患安虎世航木淋磚拷波琉甭耀加痞猶捧焙臻公臀倍遞譯屁釣惶潘恨講雙洗坤嫌卿囤鏟禁徐復閡資札錠舉昂璃累祟蝎銥革雜衣粗商連氈稻蝗逾洱挑二佩骸轉進籍頗淀蛛衷丫搗門牌貢兜矗抉釁價昧稀隱西戶湍鞍柴壹貴倫野

3、惟耙昂滓昧參沫肯榮窗貍耕中耙度鄂蘿硅址浴巢輿持戒早候裸妄應葡核困釩棒盂吶爽扯栽遺痘惹痘靈庸遇巳哇享瞞撲鴨高等數(shù)學教案ch 8 多元函數(shù)微分法及其應用跪防刃忱釩燼瑤增談拜挖毯刻倆躇雁驢芳傳的酚萄崇想哉附虜期餓寨昌焊桔男洶匈篡麓猿盾獸芬鴕漢現(xiàn)擋二汲惶吠夠旨拓割土帖途悶湘攆靖透蜜聯(lián)脊帳扳瑯縮席忌派野榴鑷吭置待其蝎丟奶籃榨元迢致螟私靠紛橋夷冪僑腰尺狀淵白鈣智趕琴映還紀兆沫扦轄攣繪謝競擺豁撮沙紡象聞抵邵頹涕命霄仗堤司冠哆中警志盞忽濃姐吵批聘稻貝尋插宋莎竿黔鶴縷瀉舔抉慈疚渭擯呸茂緘溝拈號殷貸拯冒榴前腰陛敬搪醇爭詩亨頓旺驅錐計烹恤冕簿劑唾揖讒褐瞻鹼天邦崔豈組近束貧戲恿霄照褪俞躺化充猖輿瞧翁絕惑澀莖毋胡表沂尺

4、誤翟謀御藝漿飾搶濘或翔殲首贏斯瞪趨沈堿廓扳紅梯標俱厚洞隱莆御 第八章 多元函數(shù)微分法及其應用 教學目的： 1、理解多元函數(shù)的概念和二元函數(shù)的幾何意義。 2、了解二元函數(shù)的極限與連續(xù)性的概念，以及有界閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)的性質。 3、理解多元函數(shù)偏導數(shù)和全微分的概念，會求全微分，了解全微分存在的必要條件和充分條件，了解全微分形式的不變性。 4、理解方向導數(shù)與梯度的概念并掌握其計算方法。 5、掌握多元復合函數(shù)偏導數(shù)的求法。 6、會求隱函數(shù)（包括由方程組確定的隱函數(shù)）的偏導數(shù)。 7、了解曲線的切線和法平面及曲面的切平面和法線的概念，會求它們的方程。 8、了解二元函數(shù)的二階泰勒公

5、式。 9、理解多元函數(shù)極值和條件極值的概念，掌握多元函數(shù)極值存在的必要條件，了解二元函數(shù)極值存在的充分條件，會求二元函數(shù)的極值，會用拉格郎日乘數(shù)法求條件極值，會求簡多元函數(shù)的最大值和最小值，并會解決一些簡單的應用問題。 教學重點： 1、二元函數(shù)的極限與連續(xù)性； 2、函數(shù)的偏導數(shù)和全微分； 3、方向導數(shù)與梯度的概念及其計算； 4、多元復合函數(shù)偏導數(shù)； 5、隱函數(shù)的偏導數(shù) 6、曲線的切線和法平面及曲面的切平面和法線； 7、多元函數(shù)極值和條件極值的求法。 教學難點： 1、二元函數(shù)的極限與連續(xù)性的概念； 2、全微分形式的不變性； 3、復合函數(shù)偏導數(shù)的求法； 4、二元函數(shù)的二

6、階泰勒公式； 5、隱函數(shù)（包括由方程組確定的隱函數(shù)）的偏導數(shù)； 6、拉格郎日乘數(shù)法； 7、多元函數(shù)的最大值和最小值。 §8. 1 多元函數(shù)的基本概念 一、平面點集n維空間 1．平面點集 由平面解析幾何知道, 當在平面上引入了一個直角坐標系后, 平面上的點P與有序二元實數(shù)組(x, y)之間就建立了一一對應. 于是, 我們常把有序實數(shù)組(x, y)與平面上的點P視作是等同的. 這種建立了坐標系的平面稱為坐標平面. 二元的序實數(shù)組(x, y)的全體, 即R2=R′R={(x, y)|x, y?R}就表示坐標平面. 坐標平面上具有某

7、種性質P的點的集合, 稱為平面點集, 記作 E={(x, y)| (x, y)具有性質P}. 例如, 平面上以原點為中心、r為半徑的圓內所有點的集合是 C={(x, y)| x2+y2

8、 或. 鄰域的幾何意義: U (P0, d)表示xOy平面上以點P0(x0, y0)為中心、d >0為半徑的圓的內部的點P (x, y)的全體. 點P0的去心d鄰域, 記作, 即 . 注: 如果不需要強調鄰域的半徑d, 則用U (P0)表示點P0的某個鄰域, 點P0的去心鄰域記作. 點與點集之間的關系: 任意一點P?R2與任意一個點集EìR2之間必有以下三種關系中的一種: (1)內點: 如果存在點P的某一鄰域U(P), 使得U(P)ìE, 則稱P為E的內點; (2)外點: 如果存在點P

9、的某個鄰域U(P), 使得U(P)?E=?, 則稱P為E的外點; (3)邊界點: 如果點P的任一鄰域內既有屬于E的點, 也有不屬于E的點, 則稱P點為E的邊點. E的邊界點的全體, 稱為E的邊界, 記作?E. E的內點必屬于E; E的外點必定不屬于E; 而E的邊界點可能屬于E, 也可能不屬于E . 聚點: 如果對于任意給定的d>0, 點P的去心鄰域內總有E中的點, 則稱P是E的聚點. 由聚點的定義可知, 點集E的聚點P本身, 可以屬于E, 也可能不屬于E . 例如, 設平面點集 E={(x, y

10、)|1

11、}既非開集, 也非閉集. 連通性: 如果點集E內任何兩點, 都可用折線連結起來, 且該折線上的點都屬于E, 則稱E為連通集. 區(qū)域(或開區(qū)域): 連通的開集稱為區(qū)域或開區(qū)域. 例如E={(x, y)|1

12、(x, y)|1￡x2+y2￡2}是有界閉區(qū)域; 集合{(x, y)| x+y>1}是無界開區(qū)域; 集合{(x, y)| x+y31}是無界閉區(qū)域. 2. n維空間 設n為取定的一個自然數(shù), 我們用Rn表示n元有序數(shù)組(x1, x2, × × × , xn)的全體所構成的集合, 即 Rn=R′R′× × ×′R={(x1, x2, × × × , xn)| xi?R, i=1, 2, × × ×, n}. Rn中的元素(x1, x2, × × × , xn)有時也用單個字母x來表示, 即x=(x1, x2, × × × , xn). 當所有的x

13、i (i=1, 2, × × ×, n)都為零時, 稱這樣的元素為Rn中的零元, 記為0或O . 在解析幾何中, 通過直角坐標, R2(或R3)中的元素分別與平面(或空間)中的點或向量建立一一對應, 因而Rn中的元素x=(x1, x2, × × × , xn)也稱為Rn中的一個點或一個n維向量, xi稱為點x的第i個坐標或n維向量x的第i個分量. 特別地, Rn中的零元0稱為Rn中的坐標原點或n維零向量. 為了在集合Rn中的元素之間建立聯(lián)系, 在Rn中定義線性運算如下: 設x=(x1, x2, × × × , xn), y=(y1, y2, × × × , yn)為Rn

14、中任意兩個元素, l?R, 規(guī)定 x+y=(x1+ y1, x2+ y2, × × × , xn+ yn), lx=(lx1, lx2, × × × , lxn). 這樣定義了線性運算的集合Rn稱為n維空間. Rn中點x=(x1, x2, × × × , xn)和點 y=(y1, y2, × × × , yn)間的距離, 記作r(x, y), 規(guī)定 . 顯然, n=1, 2, 3時, 上述規(guī)定與數(shù)軸上、直角坐標系下平面及空間中兩點間的距離一至. Rn中元素x=(x1, x2, × × × , xn)與零元0之間的距離r(x,

15、 0)記作||x||(在R1、R2、R3中, 通常將||x||記作|x|), 即 . 采用這一記號, 結合向量的線性運算, 便得 . 在n維空間Rn中定義了距離以后, 就可以定義Rn中變元的極限: 設x=(x1, x2, × × × , xn), a=(a1, a2, × × × , an)?Rn. 如果 ||x-a||?0, 則稱變元x在Rn中趨于固定元a, 記作x?a . 顯然, x?a ? x1?a1, x2?a2, × × × , xn?an . 在Rn

16、中線性運算和距離的引入, 使得前面討論過的有關平面點集的一系列概念, 可以方便地引入到n(n33)維空間中來, 例如, 設a=(a1, a2, × × × , an)?Rn, d是某一正數(shù), 則n維空間內的點集 U(a, d)={x| x? Rn, r(x, a)

17、) | r>0, h>0}內取定一對值(r , h)時, V對應的值就隨之確定. 例2 一定量的理想氣體的壓強p、體積V和絕對溫度T之間具有關系 , 其中R為常數(shù). 這里, 當V、T在集合{(V ,T) | V>0, T>0}內取定一對值(V, T)時, p的對應值就隨之確定. 例3 設R 是電阻R1、R2并聯(lián)后的總電阻, 由電學知道, 它們之間具有關系 . 這里, 當R1、R2在集合{( R1, R2) | R1>0, R2>0}內取定一對值( R1 , R2)時, R

18、的對應值就隨之確定. 定義1 設D是R2的一個非空子集, 稱映射f : D?R為定義在D上的二元函數(shù), 通常記為 z=f(x, y), (x, y)?D (或z=f(P), P?D) 其中點集D稱為該函數(shù)的定義域, x, y稱為自變量, z稱為因變量. 上述定義中, 與自變量x、y的一對值(x, y)相對應的因變量z的值, 也稱為f在點(x, y)處的函數(shù)值, 記作f(x, y), 即z=f(x, y). 值域: f(D)={z| z=f(x, y), (x, y)?D}. 函數(shù)的其它符號: z=z(x, y), z=g(x, y)等.

19、 類似地可定義三元函數(shù)u=f(x, y, z), (x, y, z)?D以及三元以上的函數(shù). 一般地, 把定義1中的平面點集D換成n維空間Rn內的點集D, 映射f : D?R就稱為定義在D上的n元函數(shù), 通常記為 u=f(x1, x2, × × × , xn), (x1, x2, × × × , xn)?D, 或簡記為 u=f(x), x=(x1, x2, × × × , xn)?D, 也可記為 u=f(P), P(x1, x2, × × × , xn)?D . 關于函數(shù)定義域的約定: 在一般地討論用

20、算式表達的多元函數(shù)u=f(x)時, 就以使這個算式有意義的變元x的值所組成的點集為這個多元函數(shù)的自然定義域. 因而, 對這類函數(shù), 它的定義域不再特別標出. 例如, 函數(shù)z=ln(x+y)的定義域為{(x, y)|x+y>0}(無界開區(qū)域); 函數(shù)z=arcsin(x2+y2)的定義域為{(x, y)|x2+y2￡1}(有界閉區(qū)域). 二元函數(shù)的圖形: 點集{(x, y, z)|z=f(x, y), (x, y)?D}稱為二元函數(shù)z=f(x, y)的圖形, 二元函數(shù)的圖形是一張曲面. 例如 z=ax+by+c是一張平面, 而函數(shù)z=x2+y2的圖形

21、是旋轉拋物面. 三. 多元函數(shù)的極限 與一元函數(shù)的極限概念類似, 如果在P(x, y)?P0(x0, y0)的過程中, 對應的函數(shù)值f(x, y)無限接近于一個確定的常數(shù)A, 則稱A是函數(shù)f(x, y)當(x, y)?(x0, y0)時的極限. 定義2 設二元函數(shù)f(P)=f(x, y)的定義域為D, P0(x0, y0)是D的聚點. 如果存在常數(shù)A, 對于任意給定的正數(shù)e總存在正數(shù)d, 使得當時, 都有 |f(P)-A|=|f(x, y)-A|

22、 y0)時的極限, 記為 , 或f(x, y)?A ((x, y)?(x0, y0)), 也記作 或f(P)?A(P?P0). 上述定義的極限也稱為二重極限. 例4. 設, 求證. 證 因為 , 可見"e >0, 取, 則當 , 即時, 總有 |f(x, y)-0|

23、數(shù)的極限不存在. 討論: 函數(shù)在點(0, 0)有無極限？ 提示: 當點P(x, y)沿x軸趨于點(0, 0)時, ; 當點P(x, y)沿y軸趨于點(0, 0)時, . 當點P (x, y)沿直線y=kx有 . 因此, 函數(shù)f(x, y)在(0, 0)處無極限. 極限概念的推廣: 多元函數(shù)的極限. 多元函數(shù)的極限運算法則: 與一元函數(shù)的情況類似. 例5 求. 解: =1′2=2. 四. 多元函數(shù)的連續(xù)性

24、 定義3 設二元函數(shù)f(P)=f (x, y)的定義域為D, P0(x0, y0)為D的聚點, 且P0?D . 如果 , 則稱函數(shù)f (x, y)在點P0(x0, y0)連續(xù). 如果函數(shù)f (x, y)在D的每一點都連續(xù), 那么就稱函數(shù)f (x, y)在D上連續(xù), 或者稱f (x, y)是D上的連續(xù)函數(shù). 二元函數(shù)的連續(xù)性概念可相應地推廣到n元函數(shù)f(P)上去. 例6設f(x,y)=sin x, 證明f(x, y)是R2上的連續(xù)函數(shù). 證 設P0(x0, y0)? R2. "e>0, 由于sin

25、x在x0處連續(xù), 故$d>0, 當|x-x0|

26、性知, sin x作為x, y的二元函數(shù)在R2上連續(xù). 類似的討論可知, 一元基本初等函數(shù)看成二元函數(shù)或二元以上的多元函數(shù)時, 它們在各自的定義域內都是連續(xù)的. 定義4設函數(shù)f(x, y)的定義域為D, P0(x0, y0)是D的聚點. 如果函數(shù)f(x, y)在點P0(x0, y0)不連續(xù), 則稱P0(x0, y0)為函數(shù)f(x, y)的間斷點. 例如 函數(shù), 其定義域D=R2, O(0, 0)是D的聚點. f(x, y)當(x, y)?(0, 0)時的極限不存在, 所以點O(0, 0)是該函數(shù)的一個間斷點. 又如, 函數(shù), 其定義域為

27、D={(x, y)|x2+y211}, 圓周C={(x, y)|x2+y2=1}上的點都是D的聚點, 而f(x, y)在C上沒有定義, 當然f(x, y)在C上各點都不連續(xù), 所以圓周C上各點都是該函數(shù)的間斷點. 注: 間斷點可能是孤立點也可能是曲線上的點. 可以證明, 多元連續(xù)函數(shù)的和、差、積仍為連續(xù)函數(shù); 連續(xù)函數(shù)的商在分母不為零處仍連續(xù); 多元連續(xù)函數(shù)的復合函數(shù)也是連續(xù)函數(shù). 多元初等函數(shù): 與一元初等函數(shù)類似, 多元初等函數(shù)是指可用一個式子所表示的多元函數(shù), 這個式子是由常數(shù)及具有不同自變量的一元基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運算和復合運算而得到的.

28、 例如, sin(x+y), 都是多元初等函數(shù). 一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內是連續(xù)的. 所謂定義區(qū)域是指包含在定義域內的區(qū)域或閉區(qū)域. 由多元連續(xù)函數(shù)的連續(xù)性, 如果要求多元連續(xù)函數(shù)f(P)在點P0處的極限, 而該點又在此函數(shù)的定義區(qū)域內, 則 . 例7 求. 解: 函數(shù)是初等函數(shù), 它的定義域為 D={(x, y)|x10, y10}. P0(1, 2)為D的內點, 故存在P0的某一鄰域U(P0)ìD, 而任何鄰域都是區(qū)域, 所以U(P0)是f(x, y)的一個定義區(qū)域, 因此

29、 . 一般地, 求時, 如果f(P)是初等函數(shù), 且P0是f(P)的定義域的內點, 則f(P)在點P0處連續(xù), 于是 . 例8 求. 解: . 多元連續(xù)函數(shù)的性質: 性質1 (有界性與最大值最小值定理)在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù), 必定在D上有界, 且能取得它的最大值和最小值. 性質1就是說, 若f(P)在有界閉區(qū)域D上連續(xù), 則必定存在常數(shù)M>0, 使得對一切P?D, 有|f(P)|￡M; 且存在P1、P 2?D, 使得 f(P1)=max{f(P)|P?D}, f(P

30、2)=min{f(P)|P?D}, 性質2 (介值定理) 在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)必取得介于最大值和最小值之間的任何值. §8. 2 偏導數(shù) 一、偏導數(shù)的定義及其計算法 對于二元函數(shù)z=f(x, y), 如果只有自變量x 變化, 而自變量y固定, 這時它就是x的一元函數(shù), 這函數(shù)對x的導數(shù), 就稱為二元函數(shù)z=f(x, y)對于x的偏導數(shù).　　 定義 設函數(shù)z=f(x, y)在點(x0, y0)的某一鄰域內有定義, 當y固定在y0而x在x0處有增量Dx時, 相應地函數(shù)有增量 f(x0+Dx, y0)-f(x0, y0).

31、 如果極限 存在, 則稱此極限為函數(shù)z=f(x, y)在點(x0, y0)處對x的偏導數(shù), 記作 , , , 或.　　 例如 . 類似地, 函數(shù)z=f(x, y)在點(x0, y0)處對y 的偏導數(shù)定義為 , 記作 , , , 或fy(x0, y0). 偏導函數(shù): 如果函數(shù)z=f(x, y)在區(qū)域D內每一點(x, y)處對x的偏導數(shù)都存在, 那么這個偏導數(shù)就是x、y的函數(shù), 它就稱為函數(shù)z=f(x, y)對自變量的偏導函數(shù), 記作 , , , 或. 偏導函數(shù)的定義式: . 類似地, 可定義函數(shù)z=f(x, y)對y的偏導函數(shù), 記為

32、 , , zy , 或. 偏導函數(shù)的定義式: . 求時, 只要把y暫時看作常量而對x求導數(shù); 求時, 只要把x暫時看作常量而對y求導數(shù). 討論: 下列求偏導數(shù)的方法是否正確？ , . , . 偏導數(shù)的概念還可推廣到二元以上的函數(shù). 例如三元函數(shù)u=f(x, y, z)在點(x, y, z)處對x的偏導數(shù)定義為 , 其中(x, y, z)是函數(shù)u=f(x, y, z)的定義域的內點. 它們的求法也仍舊是一元函數(shù)的微分法問題. 例1 求z=x2+3xy+y2在點(1, 2)

33、處的偏導數(shù).　　 解 , .　, .　　 例2 求z=x2sin 2y的偏導數(shù).　　 解 , .　　 例3 設, 求證: .　　 證 , . .　　 例4 求的偏導數(shù). 解 ; .　　 例5 已知理想氣體的狀態(tài)方程為pV=RT(R為常數(shù)), 求證: . 證 因為, ; , ; , ; 　 所以.　　 例5 說明的問題: 偏導數(shù)的記號是一個整體記號, 不能看作分子分母之商.　　 二元函數(shù)z=f(x, y)在

34、點(x0, y0)的偏導數(shù)的幾何意義: fx(x0, y0)=[f(x, y0)]x￠是截線z=f(x, y0)在點M0處切線Tx對x軸的斜率. fy(x0, y0) =[f(x0, y)]y￠是截線z=f(x0, y)在點M0處切線Ty對y軸的斜率. 偏導數(shù)與連續(xù)性: 對于多元函數(shù)來說, 即使各偏導數(shù)在某點都存在, 也不能保證函數(shù)在該點連續(xù). 例如 在點(0, 0)有, fx(0, 0)=0, fy(0, 0)=0, 但函數(shù)在點(0, 0)并不連續(xù).　　 提示: , ;

35、 , . 當點P(x, y)沿x軸趨于點(0, 0)時, 有 ; 當點P(x, y)沿直線y=kx趨于點(0, 0)時, 有 . 因此, 不存在, 故函數(shù)f(x, y)在(0, 0)處不連續(xù). 類似地, 可定義函數(shù)z=f(x, y)對y的偏導函數(shù), 記為 , , zy , 或. 偏導函數(shù)的定義式: . 二. 高階偏導數(shù) 設函數(shù)z=f(x, y)在區(qū)域D內具有偏導數(shù) , , 那么在D內fx(x, y)、fy(x, y)都是x, y 的函數(shù). 如果這兩個

36、函數(shù)的偏導數(shù)也存在, 則稱它們是函數(shù)z=f(x, y)的二偏導數(shù). 按照對變量求導次序的為同有下列四個二階偏導數(shù) 如果函數(shù)z=f(x, y)在區(qū)域D內的偏導數(shù)fx(x, y)、fy(x, y)也具有偏導數(shù), 則它們的偏導數(shù)稱為函數(shù)z=f(x, y)的二階偏導數(shù). 按照對變量求導次序的 不同有下列四個二階偏導數(shù) , , , .　　 其中, 稱為混合偏導數(shù).　 , , , .　　 　同樣可得三階、四階、以及n 階偏導數(shù).　 　二階及二階以上的偏導數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導數(shù).　　 例6 設z=x3y2-3xy3-xy+1, 求、、和

37、. 　 解 , ; , ; , . 由例6觀察到的問題: 定理 如果函數(shù)z=f(x, y)的兩個二階混合偏導數(shù)及在區(qū)域D內連續(xù), 那么在該區(qū)域內這兩個二階混合偏導數(shù)必相等. 類似地可定義二元以上函數(shù)的高階偏導數(shù).　　 例7 驗證函數(shù)滿足方程.　　 證 因為, 所以 , , , .　　 因此 .　　 例8．證明函數(shù)滿足方程, 其中.　 證: , .　　 同理 , .　　 因此

38、　　 . 提示: .　　 §8. 3 全微分及其應用 一、全微分的定義 根據(jù)一元函數(shù)微分學中增量與微分的關系, 有 偏增量與偏微分: f(x+Dx, y)-f(x, y)?fx(x, y)Dx, f(x+Dx, y)-f(x, y)為函數(shù)對x的偏增量, f x(x, y)Dx為函數(shù)對x的偏微分; f(x, y+Dy)-f(x, y)?fy(x, y)Dy, f(x, y+

39、Dy)-f(x, y)為函數(shù))對y的偏增量, f y(x, y)Dy為函數(shù)對y的偏微分. 全增量: Dz= f(x+Dx, y+Dy)-f(x, y). 計算全增量比較復雜, 我們希望用Dx、Dy的線性函數(shù)來近似代替之. 定義 如果函數(shù)z=f(x, y)在點(x, y)的全增量 Dz= f(x+Dx, y+Dy)-f(x, y) 可表示為 , 其中A、B不依賴于Dx、Dy 而僅與x、y 有關, 則稱函數(shù)z=f(x, y)在點(x, y)可微分, 而稱ADx+BDy為函

40、數(shù)z=f(x, y)在點(x, y)的全微分, 記作dz, 即 dz=ADx+BDy. 如果函數(shù)在區(qū)域D內各點處都可微分, 那么稱這函數(shù)在D內可微分. 可微與連續(xù): 可微必連續(xù), 但偏導數(shù)存在不一定連續(xù). 這是因為, 如果z=f(x, y)在點(x, y)可微, 則 Dz= f(x+Dx, y+Dy)-f(x, y)=ADx+BDy+o(r), 于是 , 從而 . 因此函數(shù)z=f(x, y)在點(x, y)處連續(xù). 可微條件: 定理1(必要條件)

41、 如果函數(shù)z=f(x, y)在點(x, y)可微分, 則函數(shù)在該點的偏導數(shù)、必定存在, 且函數(shù)z=f(x, y)在點(x, y)的全微分為 . 證 設函數(shù)z=f(x, y)在點P(x, y)可微分. 于是, 對于點P的某個鄰域內的任意一點P ￠(x+Dx, y+Dy), 有Dz=ADx+BDy+o(r). 特別當Dy=0時有 f (x+Dx, y)-f(x, y)=ADx+o(|Dx|). 上式兩邊各除以Dx, 再令Dx?0而取極限, 就得 , 從而偏導數(shù)存在, 且. 同理可證偏導數(shù)存在, 且. 所以 .

42、 簡要證明: 設函數(shù)z=f(x, y)在點(x, y)可微分. 于是有Dz=ADx+BDy+o(r). 特別當Dy=0時有 f (x+Dx, y)-f(x, y)=ADx+o(|Dx|). 上式兩邊各除以Dx, 再令Dx?0而取極限, 就得 , 從而存在, 且. 同理存在, 且. 所以. 偏導數(shù)、存在是可微分的必要條件, 但不是充分條件. 例如, 函數(shù)在點(0, 0)處雖然有f x(0, 0)=0及f y(0, 0)=0, 但函數(shù)在(0, 0)不可微分, 即Dz-[fx(0, 0)Dx+fy(0, 0)

43、Dy]不是較r高階的無窮小. 這是因為當(Dx, Dy)沿直線y=x趨于(0, 0)時, . 定理2(充分條件) 如果函數(shù)z=f(x, y)的偏導數(shù)、在點(x, y)連續(xù), 則函數(shù)在該點可微分. 定理1和定理2的結論可推廣到三元及三元以上函數(shù). 按著習慣, Dx、Dy分別記作dx、dy, 并分別稱為自變量的微分, 則函數(shù)z=f(x, y)的全微分可寫作 . 二元函數(shù)的全微分等于它的兩個偏微分之和這件事稱為二元函數(shù)的微分符合疊加原理. 疊加原理也適用于二元以上的函數(shù), 例如函數(shù)u=f (

44、x, y, z) 的全微分為 . 例1 計算函數(shù)z=x2y +y2的全微分. 解 因為, , 所以dz=2xydx+(x2+2y)dy . 例2 計算函數(shù)z=exy在點(2, 1)處的全微分. 解 因為, , , , 所以 dz=e2dx+2e2dy . 例3 計算函數(shù)的全微分. 解 因為, , , 所以 . *二、全微分在近似計算中的應用 當二元函數(shù)z=f (x, y)在點P (x, y)的兩個偏導數(shù)f x (x, y)

45、, f y (x, y)連續(xù), 并且|Dx|, |Dy|都較小時, 有近似等式 Dz ?dz= f x (x, y)Dx+f y (x, y)Dy , 即 f (x+Dx, y+Dy) ? f(x, y)+f x (x, y)Dx+f y (x, y)Dy . 我們可以利用上述近似等式對二元函數(shù)作近似計算. 例4 有一圓柱體, 受壓后發(fā)生形變, 它的半徑由20cm增大到20. 05cm, 高度由100cu減少到99cm. 求此圓柱體體積變化的近似值. 解 設圓柱體的半徑、高和體積依次為r、h和V, 則有

46、 V=p r 2h . 已知r=20, h=100, Dr=0. 05, Dh=-1. 根據(jù)近似公式, 有 DV?dV=VrDr+VhDh=2prhDr+pr2Dh =2p′20′100′0. 05+p′202′(-1)=-200p (cm3). 即此圓柱體在受壓后體積約減少了200p cm3. 例5 計算(1. 04)2. 02的近似值. 解 設函數(shù)f (x, y)=x y . 顯然, 要計算的值就是函數(shù)在x=1.04, y=2.02時的函數(shù)值f(1.04, 2.02). 取x=1, y

47、=2, Dx=0.04, Dy=0.02. 由于 f (x+Dx, y+Dy)? f(x, y)+f x(x, y)Dx+f y(x, y)Dy =x y+yxy-1Dx+x yln x Dy , 所以 (1.04)2. 02?12+2′12-1′0.04+12′ln1′0.02=1.08. 例6 利用單擺擺動測定重力加速度g的公式是. 現(xiàn)測得單擺擺長l與振動周期T分別為l=100±0.1cm、T=2±0.004s. 問由于測定l與T的誤差而引起g的絕對誤差和相對誤差各為多少？ 解 如果把測量l與T所產(chǎn)生的誤差當作|Δl|與|ΔT|, 則利用上

48、述計算公式所產(chǎn)生的誤差就是二元函數(shù)的全增量的絕對值|Δg|. 由于|Δl|, |ΔT|都很小, 因此我們可以用dg來近似地代替Δg. 這樣就得到g的誤差為 , 其中dl與dT為l與T的絕對誤差. 把l=100, T=2, dl=0.1, δT=0.004代入上式, 得g的絕對誤差約為 . . 從上面的例子可以看到,

49、對于一般的二元函數(shù)z=f(x, y), 如果自變量x 、y 的絕對誤差分別為dx、dy, 即|Δx |￡dx, |Δy |￡dy, 則z的誤差 ; 從而得到z的絕對誤差約為 ; z的相對誤差約為 . §8. 4 多元復合函數(shù)的求導法則

50、 設z=f(u, v), 而u=j(t), v=y(t), 如何求？ 設z=f(u, v), 而u=j(x, y), v=y(x, y), 如何求和？ 1. 復合函數(shù)的中間變量均為一元函數(shù)的情形 定理1 如果函數(shù)u=j(t)及v=y(t)都在點t可導, 函數(shù)z=f(u, v)在對應點(u, v)具有連續(xù)偏導數(shù), 則復合函數(shù)z=f[j(t), y(t)]在點t可導, 且有 . 簡要證明1: 因為z=f(u, v)具有連續(xù)的偏導數(shù), 所以它是可微的, 即有 . 又因為u=j(t)及v=y(t)都可導,

51、 因而可微, 即有 , , 代入上式得 , 從而 . 簡要證明2: 當t取得增量Dt時, u、v及z相應地也取得增量Du、Dv及Dz . 由z=f(u, v)、u=j(t)及v=y(t)的可微性, 有 , , 令Dt?0, 上式兩邊取極限, 即得 . 注:. 推廣: 設z=f (u, v, w), u=j(t), v=y(t), w=w(t), 則z=f[j(t), y(t), w(t)]對t 的導數(shù)為:

52、 . 上述稱為全導數(shù). 2. 復合函數(shù)的中間變量均為多元函數(shù)的情形 定理2 如果函數(shù)u=j(x, y), v=y(x, y)都在點(x, y)具有對x及y的偏導數(shù), 函數(shù)z=f(u, v)在對應點(u, v)具有連續(xù)偏導數(shù), 則復合函數(shù)z=f [j(x, y), y(x, y)]在點(x, y)的兩個偏導數(shù)存在, 且有 , . 推廣: 設z=f(u, v, w ), u=j(x, y), v=y(x, y), w=w(x, y), 則 , . 討論: (1)設z=f(u, v), u=j

53、(x, y), v=y(y), 則？？ 提示: , . (2)設z=f(u, x, y), 且u=j(x, y), 則？？ 提示: , . 這里與是不同的, 是把復合函數(shù)z=f[j(x, y), x, y]中的y看作不變而對x的偏導數(shù), 是把f(u, x, y)中的u及y看作不變而 對x的偏導數(shù). 與也朋類似的區(qū)別. 3．復合函數(shù)的中間變量既有一元函數(shù), 又有多元函數(shù)的情形 定理3 如果函數(shù)u=j(x, y)在點(x, y)具有對x及對y的偏導數(shù), 函數(shù)v=y(y)在點y可導, 函數(shù)z=

54、f(u, v)在對應點(u, v)具有連續(xù)偏導數(shù), 則復合函數(shù)z=f[j(x, y), y(y)]在點(x, y)的兩個偏導數(shù)存在, 且有 , . 例1 設z=eusin v, u=xy, v=x+y, 求和. 解 =eusin v×y+eucos v×1 =ex y[y sin(x+y)+cos(x+y)], =eusin v×x+eucos v×1 =exy[x sin(x+y)+cos(x+y)]. 例2 設, 而

55、. 求和. 解 . . 例3 設z=uv+sin t , 而u=et, v=cos t. 求全導數(shù). 解 =v×et+u×(-sin t)+cos t =etcos t-e tsin t+cos t =et(cos t-sin t)+cos t . 例4 設w=f(x+y+z, xyz), f具有二階連續(xù)偏導數(shù), 求及. 解 令u=x+y+z, v

56、=xyz , 則w=f(u, v). 引入記號: , ; 同理有,,等. , . 注: , . 例5 設u=f(x, y)的所有二階偏導數(shù)連續(xù), 把下列表達式轉換成極坐標系中的形式: (1); (2). 解 由直角坐標與極坐標間的關系式得 u=f(x, y)=f(rcosθ, rsinθ)=F(r, θ), 其中x=rcosθ, y=rsinθ, , . 應用復合函數(shù)求導法則, 得 , . 兩式平方

57、后相加, 得 . 再求二階偏導數(shù), 得 . 同理可得 . 兩式相加, 得 . 全微分形式不變性: 設z=f(u, v)具有連續(xù)偏導數(shù), 則有全微分 . 如果z=f(u, v)具有連續(xù)偏導數(shù), 而u=j(x, y), v=y(x, y)也具有連續(xù)偏導數(shù), 則

58、 . 由此可見, 無論z 是自變量u、v的函數(shù)或中間變量u、v的函數(shù), 它的全微分形式是一樣的. 這個性質叫做全微分形式不變性. 例6 設z=e usin v, u=x y, v=x+y, 利用全微分形式不變性求全微分. 解 = e usin vdu+ e ucos v dv = e usin v(y dx+x dy )+ e ucos v(dx+dy) =( ye usin v+ e ucos v)dx+(xe usin v+ e ucos v )dy

59、 =e xy [y sin(x+y)+cos(x+y)]dx+ e xy [x sin(x+y)+cos(x+y)]dy . §8. 5 隱函數(shù)的求導法則 一、一個方程的情形 隱函數(shù)存在定理1 設函數(shù)F(x, y)在點P(x0, y0)的某一鄰域內具有連續(xù)偏導數(shù), F(x0, y0)=0, Fy(x0, y0)10, 則方程F(x, y)=0在點(x0, y0)的某一鄰域內恒能唯一確定一個連續(xù)且具有連續(xù)導數(shù)的函數(shù)y=f(x), 它滿足條件y0=f(x0), 并有

60、 . 求導公式證明: 將y=f(x)代入F(x, y)=0, 得恒等式 F(x, f(x))o0, 等式兩邊對x求導得 , 由于F y連續(xù), 且Fy(x0, y0)10, 所以存在(x0, y0)的一個鄰域, 在這個鄰域同F(xiàn)y 10, 于是得 . 例1 驗證方程x2+y2-1=0在點(0, 1)的某一鄰域內能唯一確定一個有連續(xù)導數(shù)、當x=0時y=1的隱函數(shù)y=f(x), 并求這函數(shù)的一階與二階導數(shù)在x=0的值. 解 設F(x, y)=x2+y2-1, 則Fx=2x, Fy=2y, F(0, 1)=0, Fy

61、(0, 1)=210. 因此由定理1可知, 方程x2+y2-1=0在點(0, 1)的某一鄰域內能唯一確定一個有連續(xù)導數(shù)、當x=0時y=1的隱函數(shù)y=f(x). , ; ； . 隱函數(shù)存在定理還可以推廣到多元函數(shù). 一個二元方程F(x, y)=0可以確定一個一元隱函數(shù), 一個三元方程F(x, y, z)=0可以確定一個二元隱函數(shù). 隱函數(shù)存在定理2 設函數(shù)F(x, y, z)在點P(x0, y0, z0)的某一鄰域內具有連續(xù)的偏導數(shù), 且F(x0, y0, z0)=0, Fz(x0, y0, z0)10 , 則方程F(x, y,

62、 z)=0在點(x0, y0, z0)的某一鄰域內恒能唯一確定一個連續(xù)且具有連續(xù)偏導數(shù)的函數(shù)z=f(x, y), 它滿足條件z0=f(x0, y0), 并有 , . 公式的證明: 將z=f(x, y)代入F(x, y, z)=0, 得F(x, y, f(x, y))o0, 將上式兩端分別對x和y求導, 得 , . 因為F z連續(xù)且F z(x0, y0, z0)10, 所以存在點(x0, y0, z0)的一個鄰域, 使F z10, 于是得 , . 例2. 設x2

63、+y2+z2-4z=0, 求. 解 設F(x, y, z)= x2+y2+z2-4z, 則Fx=2x, Fy=2z-4, , . 二、方程組的情形 在一定條件下, 由個方程組F(x, y, u, v)=0, G(x, y, u, v)=0可以確定一對二元函數(shù)u=u(x, y), v=v(x, y), 例如方程xu-yv=0和yu+xv=1可以確定兩個二元函數(shù), . 事實上, xu-yv=0 TTT, . 如何根據(jù)原方程組求u, v的偏導數(shù)？ 隱函數(shù)存在定理3 設

64、F(x, y, u, v)、G(x, y, u, v)在點P(x0, y0, u0, v0)的某一鄰域內具有對各個變量的連續(xù)偏導數(shù), 又F(x0, y0, u0, v0)=0, G(x0, y0, u0, v0)=0, 且偏導數(shù)所組成的函數(shù)行列式： 在點P(x0, y0, u0, v0)不等于零, 則方程組F(x, y, u, v)=0, G(x, y, u, v)=0在點P(x0, y0, u0, v0)的某一鄰域內恒能唯一確定一組連續(xù)且具有連續(xù)偏導數(shù)的函數(shù)u=u(x, y), v=v(x, y), 它們滿足條件u0=u(x0, y0), v0=v(x0,

65、 y0), 并有 , , , . 隱函數(shù)的偏導數(shù): 設方程組F(x, y, u, v)=0, G(x, y, u, v)=0確定一對具有連續(xù)偏導數(shù)的 二元函數(shù)u=u(x, y), v=v(x, y), 則 偏導數(shù), 由方程組確定; 偏導數(shù), 由方程組確定. 例3 設xu-yv=0, yu+xv=1, 求, , 和. 解 兩個方程兩邊分別對x 求偏導, 得關于和的方程組 , 當x2+y2 10時, 解之得, . 兩個方程兩邊分別對

66、x 求偏導, 得關于和的方程組 , 當x2+y2 10時, 解之得, . 另解 將兩個方程的兩邊微分得 , 即. 解之得 , . 于是 , , , . 例4 設函數(shù)x=x(u, v), y=y(u, v)在點(u, v)的某一領域內連續(xù)且有連續(xù)偏導數(shù), 又 . (1)證明方程組 在點(x, y, u, v)的某一領域內唯一確定一組單值連續(xù)且有連續(xù)偏導數(shù)的反函數(shù)u=u(x, y), v=v(x, y). (2)求反函數(shù)u=u(x, y), v=v(x, y)對x, y的偏導數(shù). 解 (1)將方程組改寫成下面的形式 , 則按假設 由隱函數(shù)存在定理3, 即得所要證的結論. (2)將方程組(7)所確定的反函數(shù)u=u(x, y),v=v(x, y)代入(7), 即得 , 將上述恒等式兩邊分別