1.4幾何中的最值問題 典例有一塊邊長為a的正方形鐵板，現(xiàn)從鐵板的四個角各截去一個相同的小正方形，做成一個長方體形的無蓋容器為使其容積最大，截下的小正方形邊長應(yīng)為多少？解設(shè)截下的小正方形邊長為x，容器容積為V(x)，則做成的長方體形無蓋容器底面邊長為a2x，高為x，V(x)(a2x)2x,0<x<.即V(x)4x34ax2a2x,0<x<.實際問題歸結(jié)為求V(x)在區(qū)間上的最大值點為此，先求V(x)的極值點在開區(qū)間內(nèi)，V(x)12x28axa2.令V(x)0，得12x28axa20.解得x1a，x2a(舍去)x1a在區(qū)間內(nèi)，x1可能是極值點且當(dāng)0<x<x1時，V(x)>0；當(dāng)x1<x<時，V(x)<0.因此x1是極大值點，且在區(qū)間內(nèi)，x1是唯一的極值點，所以xa是V(x)的最大值點即當(dāng)截下的小正方形邊長為a時，容積最大1利用導(dǎo)數(shù)解決實際問題中的最值的一般步驟(1)分析實際問題中各量之間的關(guān)系，找出實際問題的數(shù)學(xué)模型，寫出實際問題中變量之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)f(x)；(2)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f(x)，解方程f(x)0；(3)比較函數(shù)在區(qū)間端點和極值點的函數(shù)值大小，最大(小)者為最大(小)值；(4)把所得數(shù)學(xué)結(jié)論回歸到數(shù)學(xué)問題中，看是否符合實際情況并下結(jié)論2幾何中最值問題的求解思路面積、體積(容積)最大，周長最短，距離最小等實際幾何問題，求解時先設(shè)出恰當(dāng)?shù)淖兞?，將待求解最值的問題表示為變量的函數(shù)，再按函數(shù)求最值的方法求解，最后檢驗活學(xué)活用1已知圓柱的表面積為定值S，當(dāng)圓柱的容積V最大時，圓柱的高h的值為_解析：設(shè)圓柱的底面半徑為r，則S圓柱底2r2，S圓柱側(cè)2rh，圓柱的表面積S2r22rh.h，又圓柱的體積Vr2h(S2r2)，V(r)，令V(r)0得S6r2，h2r，因為V(r)只有一個極值點，故當(dāng)h2r時圓柱的容積量大又r，h2.即當(dāng)圓柱的容積V最大時，圓柱的高h為.答案：2將一段長為100 cm的鐵絲截成兩段，一段彎成正方形，一段彎成圓，問如何截可使正方形與圓面積之和最??？解：設(shè)彎成圓的一段長為x(0x100)，另一段長為100x，記正方形與圓的面積之和為S，則S22(0x100)，則S(100x)令S0，則x.由于在(0,100)內(nèi)函數(shù)只有一個導(dǎo)數(shù)為零的點，問題中面積之和最小值顯然存在，故當(dāng)x cm時，面積之和最小故當(dāng)截得彎成圓的一段長為 cm時，兩種圖形面積之和最小用料、費用最少問題典例某地建一座橋，兩端的橋墩已建好，這兩墩相距m米，余下工程只需建兩端橋墩之間的橋面和橋墩經(jīng)測算，一個橋墩的工程費用為256萬元；距離為x米的相鄰兩墩之間的橋面工程費用為(2)x萬元假設(shè)橋墩等距離分布，所有橋墩都視為點，且不考慮其他因素，記余下工程的費用為y萬元(1)試寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)m640米時，需新建多少個橋墩才能使y最??？解 (1)設(shè)需新建n個橋墩，則(n1)xm，即n1.所以yf(x)256n(n1)(2)x256(2)xm2m256.(2)由(1)知，f(x)mx(x512)令f(x)0，得x512，所以x64.當(dāng)0<x<64時，f(x)<0，f(x)在區(qū)間(0,64)內(nèi)為減函數(shù)；當(dāng)64<x<640時，f(x)>0，f(x)在區(qū)間(64,640)內(nèi)為增函數(shù)，所以f(x)在x64處取得最小值此時n119.故需新建9個橋墩才能使y最小費用、用料最省問題是日常生活中常見的問題之一，解決這類問題要明確自變量的意義以及最值問題所研究的對象正確書寫函數(shù)表達式，準(zhǔn)確求導(dǎo)，結(jié)合實際做答活學(xué)活用某工廠要圍建一個面積為128 m2的矩形堆料場，一邊可以用原有的墻壁，其它三邊要砌新的墻壁，要使砌墻所用的材料最省，則堆料場的長、寬應(yīng)分別是多少？解：設(shè)場地寬為x m，則長為 m，因此新墻總長度為y2x(x0)，y2，令y0，x>0，x8.因為當(dāng)0x8時，y0；當(dāng)x8時，y0，所以當(dāng)x8時，y取最小值，此時寬為8 m，長為16 m.即當(dāng)堆料場的長為16 m，寬為8 m時，可使砌墻所用材料最省.利潤最大問題典例某商場銷售某種商品的經(jīng)驗表明，該商品每日的銷售量y(單位：千克)與銷售價格x(單位：元/千克)滿足關(guān)系式y(tǒng)10(x6)2.其中3x6，a為常數(shù)已知銷售價格為5元/千克時，每日可售出該商品11千克(1)求a的值；(2)若該商品的成本為3元/千克，試確定銷售價格x的值，使商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大解 (1)因為x5時，y11，所以1011，a2.(2)由(1)可知，該商品每日的銷售量y10(x6)2，所以商場每日銷售該商品所獲得的利潤f(x)(x3)210(x3)(x6)2,3x6.從而f(x)10(x6)22(x3)(x6)30(x4)(x6)于是，當(dāng)x變化時，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x(3,4)4(4,6)f(x)0f(x)單調(diào)遞增極大值42單調(diào)遞減由上表可得，x4是函數(shù)f(x)在區(qū)間(3,6)內(nèi)的極大值點，也是最大值點所以當(dāng)x4時，函數(shù)f(x)取得最大值，且最大值等于42.即當(dāng)銷售價格為4元/千克時，商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大1經(jīng)濟生活中優(yōu)化問題的解法經(jīng)濟生活中要分析生產(chǎn)的成本與利潤及利潤增減的快慢，以產(chǎn)量或單價為自變量很容易建立函數(shù)關(guān)系，從而可以利用導(dǎo)數(shù)來分析、研究、指導(dǎo)生產(chǎn)活動2關(guān)于利潤問題常用的兩個等量關(guān)系(1)利潤收入成本(2)利潤每件產(chǎn)品的利潤銷售件數(shù) 活學(xué)活用工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，次品率p與日產(chǎn)量x(萬件)間的關(guān)系為p(c為常數(shù)，且0<c<6)已知每生產(chǎn)1件合格產(chǎn)品盈利3元，每出現(xiàn)1件次品虧損1.5元(1)將日盈利額y(萬元)表示為日產(chǎn)量x(萬件)的函數(shù)；(2)為使日盈利額最大，日產(chǎn)量應(yīng)為多少萬件？(注：次品率100%)解：(1)當(dāng)x>c時，p，yx3x0；當(dāng)0<xc時，p，yx3x.日盈利額y(萬元)與日產(chǎn)量x(萬件)的函數(shù)關(guān)系為y(c為常數(shù)，且0<c<6)(2)由(1)知，當(dāng)x>c時，日盈利額為0.當(dāng)0<xc時，y，y，令y0，得x3或x9(舍去)，當(dāng)0<c<3時，y>0，y在區(qū)間(0，c上單調(diào)遞增，y最大值f(c).當(dāng)3c<6時，在(0,3)上，y>0，在(3，c)上，y<0，y在(0,3)上單調(diào)遞增，在(3，c)上單調(diào)遞減y最大值f(3).綜上，若0<c<3，則當(dāng)日產(chǎn)量為c萬件時，日盈利額最大；若3c<6，則當(dāng)日產(chǎn)量為3萬件時，日盈利額最大層級一學(xué)業(yè)水平達標(biāo)1福建煉油廠某分廠將原油精煉為汽油，需對原油進行冷卻和加熱，如果第x小時時，原油溫度(單位：)為f(x)x3x28(0x5)，那么原油溫度的瞬時變化率的最小值是()A8B.C1 D8解析：選C瞬時變化率即為f(x)x22x為二次函數(shù)，且f(x)(x1)21，又x0,5，故x1時，f(x)min1.2把一段長為12 cm的細鐵絲鋸成兩段，各自圍成一個正三角形，那么這兩個正三角形面積之和的最小值是()A. cm2 B4 cm2C3 cm2 D2 cm2解析：選D設(shè)一段為x，則另一段為12x(0x12)，則S(x)22，S(x).令S(x)0，得x6，當(dāng)x(0,6)時，S(x)0，當(dāng)x(6,12)時，S(x)0，當(dāng)x6時，S(x)最小S2(cm2)3某公司生產(chǎn)某種產(chǎn)品，固定成本為20 000元，每生產(chǎn)一單位產(chǎn)品，成本增加100元，已知總收益R與年產(chǎn)量x的關(guān)系是R(x)則總利潤最大時，每年生產(chǎn)的產(chǎn)品是()A100 B150C200 D300解析：選D由題意，總成本為：C20 000100x，所以總利潤為PRCP令P0，當(dāng)0x400時，得x300；當(dāng)x>400時，P<0恒成立，易知當(dāng)x300時，總利潤最大4設(shè)正三棱柱的體積為V，那么其表面積最小時，底面邊長為()A. B2C. D.V解析：選C設(shè)底面邊長為x，則高為h，S表3x2x2x2，S表x，令S表0，得x.經(jīng)檢驗知，當(dāng)x時，S表取得最小值5內(nèi)接于半徑為R的球且體積最大的圓錐的高為()AR B2RC.R D.R解析：選C設(shè)圓錐高為h，底面半徑為r，則R2(hR)2r2，r22Rhh2，Vr2hh(2Rhh2)Rh2h3，VRhh2.令V0得hR. 當(dāng)0<h<時，V>0；當(dāng)<h<2R時，V<0. 因此當(dāng)hR時，圓錐體積最大故應(yīng)選C.6某公司在甲、乙兩地銷售一種品牌車，利潤(單位：萬元)分別為L15.06x0.15x2和L22x，其中x為銷售量(單位：輛)，若該公司在這兩地共銷售15輛車，則能獲得的最大利潤為_萬元解析：設(shè)甲地銷售x輛，則乙地銷售(15x)輛總利潤L5.06x0.15x22(15x)0.15x23.06x30(x0)令L0.3x3.060，得x10.2.當(dāng)x10時，L有最大值45.6.答案：45.67如圖，內(nèi)接于拋物線y1x2的矩形ABCD，其中A，B在拋物線上運動，C，D在x軸上運動，則此矩形的面積的最大值是_解析：設(shè)CDx，則點C坐標(biāo)為，點B坐標(biāo)為，矩形ABCD的面積Sf(x)xx，x(0,2)由f(x)x210，得x1(舍)，x2，x時，f(x)0，f(x)是遞增的，x時，f(x)0，f(x)是遞減的，當(dāng)x時，f(x)取最大值.答案：8某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品x件的總成本：C(x)1 200x3，又產(chǎn)品單價的平方與產(chǎn)品件數(shù)x成反比，生產(chǎn)100件這樣的產(chǎn)品的單價為50元，總利潤最大時，產(chǎn)量應(yīng)定為_件解析：設(shè)產(chǎn)品單價為a元，又產(chǎn)品單價的平方與產(chǎn)品件數(shù)x成反比，即a2xk，由題知a.總利潤y500x31 200(x>0)，yx2，由y0，得x25，x(0,25)時，y>0，x(25，)時，y<0，所以x25時，y取最大值答案：259為了在夏季降溫和冬季供暖時減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元該建筑物每年的能源消耗費用C(單位：萬元)與隔熱層厚度x(單位：cm)滿足關(guān)系：C(x)(0x10)，若不建隔熱層，每年能源消耗費用為8萬元，設(shè)f(x)為隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和(1)求k的值及f(x)的表達式；(2)隔熱層修建多厚時，總費用f(x)達到最小，并求最小值解：(1)設(shè)隔熱層厚度為x cm，由題設(shè)，每年能源消耗費用為C(x)，再由C(0)8，得k40，因此C(x).而建造費用為C1(x)6x.最后得隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和為f(x)20C(x)C1(x)206x6x(0x10)(2)f(x)6，令f(x)0，即6，解得x5，x(舍去)當(dāng)0<x<5時，f(x)<0，當(dāng)5<x<10時，f(x)>0，故x5是f(x)的最小值點，對應(yīng)的最小值為f(5)6570.當(dāng)隔熱層修建5 cm厚時，總費用達到最小值70萬元10某廠生產(chǎn)某種電子元件，如果生產(chǎn)出一件正品，可獲利200元，如果生產(chǎn)出一件次品，則損失100元已知該廠制造電子元件過程中，次品率p與日產(chǎn)量x的函數(shù)關(guān)系是：p(xN*)(1)寫出該廠的日盈利額T(元)用日產(chǎn)量x(件)表示的函數(shù)關(guān)系式；(2)為獲最大日盈利，該廠的日產(chǎn)量應(yīng)定為多少件？解：(1)由題意可知次品率p日產(chǎn)次品數(shù)/日產(chǎn)量，每天生產(chǎn)x件，次品數(shù)為xp，正品數(shù)為x(1p)因為次品率p，當(dāng)每天生產(chǎn)x件時，有x件次品，有x件正品所以T200x100x25(xN*)(2)T25，由T0得x16或x32(舍去)當(dāng)0<x16時，T0；當(dāng)x16時，T0；所以當(dāng)x16時，T最大即該廠的日產(chǎn)量定為16件，能獲得最大日盈利層級二應(yīng)試能力達標(biāo)1已知某生產(chǎn)廠家的年利潤y(單位：萬元)與年產(chǎn)量x(單位：萬件)的函數(shù)關(guān)系式為yx381x234，則使該生產(chǎn)廠家獲得最大年利潤的年產(chǎn)量為()A13萬件B11萬件C9萬件 D7萬件解析：選Cyx281，令y0，解得x9或x9(舍去)，當(dāng)0x9時，y0；當(dāng)x9時，y0. 所以當(dāng)x9時，y取得最大值2若一球的半徑為r，作內(nèi)接于球的圓柱，則圓柱側(cè)面積的最大值為()A2r2 Br2C4r2 D.r2解析：選A設(shè)內(nèi)接圓柱的底面半徑為r1，高為t，則S2r1t2r124r1.S4. 令(r2rr)0得r1r.此時S4r4rr2r2.3某商品一件的成本為30元，在某段時間內(nèi)若以每件x元出售，可賣出(200x)件，要使利潤最大每件定價為()A80元 B85元C90元 D95元解析：選B設(shè)每件商品定價x元，依題意可得利潤為Lx(200x)30xx2170x(0x200)L2x170，令2x1700，解得x85.因為在(0,200)內(nèi)L只有一個極值，所以以每件85元出售時利潤最大4內(nèi)接于半徑為R的半圓的周長最大的矩形的寬和長分別為()A.和R B.R和RC.R和R D以上都不對解析：選B設(shè)矩形的寬為x，則長為2，則l2x4(0<x<R)，l2，令l0，解得x1R，x2R(舍去)當(dāng)0<x<R時，l>0，當(dāng)R<x<R時，l<0，所以當(dāng)xR時，l取最大值，即周長最大的矩形的寬和長分別為R，R.5某公司一年購買某種貨物400噸，每次都購買x噸，運費為4萬元/次，一年的總存儲費為4x萬元，要使一年的總運費與總存儲費用之和最小，則x_噸解析：設(shè)該公司一年內(nèi)總共購買n次貨物，則n，總運費與總存儲費之和f(x)4n4x4x，令f(x)40，解得x20，x20(舍去)，x20是函數(shù)f(x)的最小值點，故當(dāng)x20時，f(x)最小答案：206.一個帳篷，它下部的形狀是高為1 m的正六棱柱，上部的形狀是側(cè)棱長為3 m的正六棱錐(如圖所示)當(dāng)帳篷的頂點O到底面中心O1的距離為_ m時，帳篷的體積最大解析：設(shè)OO1為x m，底面正六邊形的面積為S m2，帳篷的體積為V m3. 則由題設(shè)可得正六棱錐底面邊長為(m)，于是底面正六邊形的面積為S6()2(82xx2)帳篷的體積為V(82xx2)(x1)(82xx2)(82xx2)(1612xx3)，V(123x2)令V0，解得x2或x2(不合題意，舍去)當(dāng)1x2時，V0；當(dāng)2x4時，V0.所以當(dāng)x2時，V最大答案：27某集團為了獲得更大的收益，每年要投入一定的資金用于廣告促銷，經(jīng)調(diào)查，每年投入廣告費t(百萬元)，可增加銷售額約為t25t(百萬元)(0t3)(1)若該公司將當(dāng)年的廣告費控制在3百萬元之內(nèi)，則應(yīng)投入多少廣告費，才能使該公司由此獲得的收益最大？(2)現(xiàn)該公司準(zhǔn)備共投入3百萬元，分別用于廣告促銷和技術(shù)改造，經(jīng)預(yù)測，每投入技術(shù)改造費x百萬元，可增加的銷售額約為x3x23x(百萬元)請設(shè)計一個資金分配方案，使該公司由此獲得的收益最大(收益銷售額投入)解：(1)設(shè)投入t(百萬元)的廣告費后增加的收益為f(t)，則有f(t)(t25t)tt24t(t2)24(0t3)，當(dāng)t2時，f(t)取得最大值4，即投入2百萬元的廣告費時，該公司由此獲得的收益最大(2)設(shè)用于技術(shù)改造的資金為x(百萬元)，則用于廣告促銷的資金為(3x)(百萬元)，又設(shè)由此獲得的收益是g(x)(百萬元)，則g(x)(3x)25(3x)3x34x3(0x3)，g(x)x24，令g(x)0，解得x2(舍去)或x2.又當(dāng)0x<2時，g(x)>0；當(dāng)2<x3時，g(x)<0，當(dāng)x2時，g(x)取得最大值，即將2百萬元用于技術(shù)改造，1百萬元用于廣告促銷，該公司由此獲得的收益最大8統(tǒng)計表明某型號汽車在勻速行駛中每小時的耗油量y(升)關(guān)于行駛速度x(千米/小時)的函數(shù)為yx3x8(0<x<120)(1)當(dāng)x64千米/小時時，行駛100千米耗油量多少升？(2)若油箱有22.5升油，則該型號汽車最多行駛多少千米？解：(1)當(dāng)x64千米/小時時，要行駛100千米需要小時，要耗油11.95(升)(2)設(shè)22.5升油能使該型號汽車行駛a千米，由題意得，22.5，a，設(shè)h(x)x2，則當(dāng)h(x)最小時，a取最大值，h(x)x，令h(x)0x80，當(dāng)x(0,80)時，h(x)<0，當(dāng)x(80,120)時，h(x)>0，故當(dāng)x(0,80)時，函數(shù)h(x)為減函數(shù)，當(dāng)x(80,120)時，函數(shù)h(x)為增函數(shù)，當(dāng)x80時，h(x)取得最小值，此時a取最大值為a200.故若油箱有22.5升油，則該型號汽車最多行駛200千米 (時間： 120分鐘滿分：150分)一、選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1以正弦曲線ysin x上一點P為切點的切線為直線l，則直線l的傾斜角的范圍是()A.B0，)C. D.解析：選Aycos x，cos x1,1，切線的斜率范圍是1,1，傾斜角的范圍是.2函數(shù)f(x)的定義域為開區(qū)間(a，b)，導(dǎo)函數(shù)f(x)在(a，b)內(nèi)的圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)有極小值點( )A1個 B2個C3個 D4個解析：選A設(shè)極值點依次為x1，x2，x3且ax1x2x3b，則f(x)在(a，x1)，(x2，x3)上遞增，在(x1，x2)，(x3，b)上遞減，因此，x1，x3是極大值點，只有x2是極小值點3函數(shù)f(x)x2ln x的單調(diào)遞減區(qū)間是()A. B.C. ，D.，解析：選Af(x)2x，當(dāng)0x時，f(x)0，故f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為.4函數(shù)f(x)3x4x3(x0,1)的最大值是()A1 B.C0 D1解析：選Af(x)312x2，令f(x)0，則x(舍去)或x，f(0)0，f(1)1，f1，f(x)在0,1上的最大值為1.5.已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f(x)a(xb)2c的圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)的圖象可能是()解析：選D由導(dǎo)函數(shù)圖象可知，當(dāng)x<0時，函數(shù)f(x)遞減，排除A、B；當(dāng)0<x<x1時，f(x)>0，函數(shù)f(x)遞增因此，當(dāng)x0時，f(x)取得極小值，故選D.6定義域為R的函數(shù)f(x)滿足f(1)1，且f(x)的導(dǎo)函數(shù)f(x)>，則滿足2f(x)<x1的x的集合為()Ax|1<x<1 Bx|x<1Cx|x<1或x>1 Dx|x>1解析：選B令g(x)2f(x)x1，f(x)>，g(x)2f(x)1>0，g(x)為單調(diào)增函數(shù)，f(1)1，g(1)2f(1)110，當(dāng)x<1時，g(x)<0，即2f(x)<x1，故選B.7某產(chǎn)品的銷售收入y1(萬元)是產(chǎn)量x(千臺)的函數(shù)：y117x2，生產(chǎn)成本y2(萬元)是產(chǎn)量x(千臺)的函數(shù)：y22x3x2(x0)，為使利潤最大，應(yīng)生產(chǎn)()A6千臺 B7千臺C8千臺 D9千臺解析：選A設(shè)利潤為y，則yy1y217x2(2x3x2)18x22x3，y36x6x2，令y0得x6或x0(舍)，f(x)在(0,6)上是增函數(shù)，在(6，)上是減函數(shù)，x6時y取得最大值8已知定義在R上的函數(shù)f(x)，f(x)xf(x)0，若ab，則一定有()Aaf(a)bf(b) Baf(b)bf(a)Caf(a)bf(b) Daf(b)bf(a)解析：選Cxf(x)xf(x)xf(x)f(x)xf(x)0，函數(shù)xf(x)是R上的減函數(shù)，ab，af(a)bf(b)二、填空題(本大題共7小題，多空題每題6分，單空題每題4分，共36分請把正確答案填在題中橫線上)9函數(shù)f(x)x3ax23x9，已知f(x)在x3處取得極值，則a_.解析：f(x)3x22ax3，f(3)0.3(3)22a(3)30，a5.答案：510若f(x)x3f(1)x2x5，則f(1)_，f(2)_.解析：f(x)x22f(1)x1，令x1，得f(1)，f(2)22221.答案：11函數(shù)yln(x2x2)的定義域為_，單調(diào)遞減區(qū)間為_解析：由題意，x2x20，解得x1或x2，故函數(shù)yln(x2x2)的定義域為(，1)(2，)，令f(x)x2x2，f(x)2x10，得x，函數(shù)yln(x2x2)的單調(diào)遞減區(qū)間為(，1)答案：(，1)(2，)(，1)12函數(shù)yx36xa的極大值為_，極小值為_解析：y3x263(x)(x)，令y0，得x或x，令y0，得x，當(dāng)x時取得極大值a4，當(dāng)x時取得極小值a4.答案：a4a413已知函數(shù)yx3ax2bx27在x1處有極大值，在x3處有極小值，則a_，b_.解析：y3x22axb，方程y0有根1及3，由根與系數(shù)的關(guān)系得，答案：3914已知函數(shù)f(x)滿足f(x)f(x)，且當(dāng)x時，f(x)xsin x，設(shè)af(1)，bf(2)，cf(3)，則a，b，c的大小關(guān)系是_解析：f(2)f(2)，f(3)f(3)，因為f(x)1cos x0，故f(x)在上是增函數(shù)，>2>1>3>0，f(2)>f(1)>f(3)，即c<a<b.答案：c<a<b15若函數(shù)f(x)在區(qū)間(m,2m1)上單調(diào)遞增，則實數(shù)m的取值范圍是_解析：f(x)，令f(x)0，得1x1，即函數(shù)f(x)的增區(qū)間為(1,1)又f(x)在(m,2m1)上單調(diào)遞增，所以解得1m0.答案：(1,0三、解答題(本大題共5小題，共74分解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)16(本小題滿分14分)已知函數(shù)f(x)ax3bx23x在x1處取得極值(1)討論f(1)和f(1)是函數(shù)f(x)的極大值還是極小值；(2)過點A(0,16)作曲線yf(x)的切線，求此切線方程解：(1)f(x)3ax22bx3，依題意，f(1)f(1)0，即解得a1，b0.f(x)x33x，f(x)3x233(x1)(x1)令f(x)0，得x1或x1.若x(，1)(1，)，則f(x)0，故f(x)在(，1)上是增函數(shù)，f(x)在(1，)上是增函數(shù)若x(1,1)，則f(x)0，故f(x)在(1,1)上是減函數(shù)f(1)2是極大值；f(1)2是極小值(2)曲線方程為yx33x.點A(0,16)不在曲線上設(shè)切點為M(x0，y0)，則點M的坐標(biāo)滿足y0x3x0.f(x0)3(x1)，故切線的方程為yy03(x1)(xx0)注意到點A(0,16)在切線上，有16(x3x0)3(x1)(0x0)化簡得x8，解得x02.切點為M(2，2)，切線方程為9xy160.17. (本小題滿分15分)設(shè)函數(shù)f(x)xeaxbx，曲線yf(x)在點(2，f(2)處的切線方程為y(e1)x4.(1)求a，b的值；(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間解：(1)因為f(x)xeaxbx，所以f(x)(1x)eaxb.依題設(shè)有即解得(2)由(1)知f(x)xe2xex.由f(x)e2x(1xex1)及e2x>0知，f(x)與1xex1同號令g(x)1xex1，則g(x)1ex1.所以當(dāng)x(，1)時，g(x)<0，g(x)在區(qū)間(，1)上單調(diào)遞減；當(dāng)x(1，)時，g(x)>0，g(x)在區(qū)間(1，)上單調(diào)遞增故g(1)1是g(x)在區(qū)間(，)上的最小值，從而g(x)>0，x(，)綜上可知，f(x)>0，x(，)，故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(，)18(本小題滿分15分)某個體戶計劃經(jīng)銷A，B兩種商品，據(jù)調(diào)查統(tǒng)計，當(dāng)投資額為x(x0)萬元時，在經(jīng)銷A，B商品中所獲得的收益分別為f(x)萬元與g(x)萬元，其中f(x)a(x1)2，g(x)6ln(xb)(a0，b0)已知投資額為零時收益為零(1)求a，b的值；(2)如果該個體戶準(zhǔn)備投入5萬元經(jīng)銷這兩種商品，請你幫他制定一個資金投入方案，使他能獲得最大利潤解：(1)由投資額為零時收益為零，可知f(0)a20，g(0)6ln b0，解得a2，b1.(2)由(1)可得f(x)2x，g(x)6ln(x1)設(shè)投入經(jīng)銷B商品的資金為x萬元(0x5)，則投入經(jīng)銷A商品的資金為(5x)萬元，設(shè)所獲得的收益為S(x)萬元，則S(x)2(5x)6ln(x1)6ln(x1)2x10(0x5)S(x)2，令S(x)0，得x2.當(dāng)0x2時，S(x)0，函數(shù)S(x)單調(diào)遞增；當(dāng)2x5時，S(x)0，函數(shù)S(x)單調(diào)遞減所以當(dāng)x2時，函數(shù)S(x)取得最大值，S(x)maxS(2)6ln 3612.6萬元所以，當(dāng)投入經(jīng)銷A商品3萬元，B商品2萬元時，他可獲得最大收益，收益的最大值約為12.6萬元19(本小題滿分15分)已知函數(shù)f(x)ax22ln(1x)(a為常數(shù))(1)若f(x)在x1處有極值，求a的值并判斷x1是極大值點還是極小值點；(2)若f(x)在3，2上是增函數(shù)，求a的取值范圍解：(1)f(x)2ax，x(，1)，f(1)2a10，所以a.f(x)x.x<1，1x>0，x2<0，因此，當(dāng)x<1時f(x)>0，當(dāng)1<x<1時f(x)<0，x1是f(x)的極大值點(2)由題意f(x)0在x3，2上恒成立，即2ax0在x3，2上恒成立a在x3，2上恒成立，x2x2 12，6，min，a.即a的取值范圍為.20(本小題滿分15分)已知函數(shù)f(x)x(t0)和點P(1,0)，過點P作曲線yf(x)的兩條切線PM，PN，切點分別為M(x1，y1)，N(x2，y2)(1)求證：x1，x2為關(guān)于x的方程x22txt0的兩根；(2)設(shè)|MN|g(t)，求函數(shù)g(t)的表達式；(3)在(2)的條件下，若在區(qū)間2,16內(nèi)總存在m1個實數(shù)a1，a2，am1(可以相同)，使得不等式g(a1)g(a2)g(am)g(am1)成立，求m的最大值解：(1)證明：由題意可知：y1x1，y2x2f(x)1，切線PM的方程為：y(xx1)，又切線PM過點P(1,0)，0(1x1)，即x2tx1t0，同理，由切線PN也過點P(1,0)，得x2tx2t0.由，可得x1，x2是方程x22txt0(*)的兩根(2)由(*)知|MN|，g(t)(t0)(3)易知g(t)在區(qū)間2,16上為增函數(shù)，g(2)g(ai)g(16)(i1,2，m1)，則mg(2)g(a1)g(a2)g(am)g(am1)g(16)即mg(2)g(16)，即m，所以m ，由于m為正整數(shù)，所以m6.又當(dāng)m6時，存在a1a2a62，a716滿足條件，所以m的最大值為6.