第三節(jié)平行關(guān)系最新考綱1.以立體幾何的定義、公理和定理為出發(fā)點(diǎn)，認(rèn)識(shí)和理解空間中線面平行的有關(guān)性質(zhì)與判定定理.2.能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些有關(guān)空間圖形的平行關(guān)系的簡單命題1直線與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號(hào)語言判定定理平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行(簡記為“線線平行線面平行”)l性質(zhì)定理一條直線與一個(gè)平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行(簡記為“線面平行線線平行”)ab2.平面與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號(hào)語言判定定理一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行(簡記為“線面平行面面平行”)性質(zhì)定理如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行ab平行關(guān)系中的三個(gè)重要結(jié)論(1)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行，即若a，a，則.(2)垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行，即若a，b，則ab.(3)平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行，即若，則.一、思考辨析(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)若一條直線平行于一個(gè)平面，則這條直線平行于這個(gè)平面內(nèi)的任一條直線()(2)如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行()(3)如果兩個(gè)平面平行，那么分別在這兩個(gè)平面內(nèi)的兩條直線平行或異面()(4)若直線a與平面內(nèi)無數(shù)條直線平行，則a.()答案(1)×(2)×(3)(4)×二、教材改編1已知直線a與直線b平行，直線a與平面平行，則直線b與平面的關(guān)系為()A平行B相交C直線b在平面內(nèi)D平行或直線b在平面內(nèi)D依題意，直線a必與平面內(nèi)的某直線平行，又ab，因此直線b與平面的位置關(guān)系是平行或直線b在平面內(nèi)2下列命題中正確的是()A若a，b是兩條直線，且ab，那么a平行于經(jīng)過b的任何平面B若直線a和平面滿足a，那么a與內(nèi)的任何直線平行C平行于同一條直線的兩個(gè)平面平行D若直線a，b和平面滿足ab，a，b，則bDA錯(cuò)誤，a可能在經(jīng)過b的平面內(nèi)；B錯(cuò)誤，a與內(nèi)的直線平行或異面；C錯(cuò)誤，兩個(gè)平面可能相交3平面平面的一個(gè)充分條件是()A存在一條直線a，a，aB存在一條直線a，a，aC存在兩條平行直線a，b，a，b，a，bD存在兩條異面直線a，b，a，b，a，bD若l，al，a，a，則a，a，故排除A；若l，a，al，則a，故排除B；若l，a，al，b，bl，則a，b，故排除C；故選D.4在正方體ABCD­A1B1C1D1中，E是DD1的中點(diǎn)，則BD1與平面ACE的位置關(guān)系為_平行如圖所示，連接BD交AC于F，連接EF，則EF是BDD1的中位線，EFBD1，又EF平面ACE，BD1平面ACE，BD1平面ACE.考點(diǎn)1與線、面平行相關(guān)命題的判定判斷與平行關(guān)系相關(guān)命題的真假，必須熟悉線、面平行關(guān)系的各個(gè)定義、定理，無論是單項(xiàng)選擇還是含有選擇項(xiàng)的填空題，都可以從中先選出最熟悉最容易判斷的選項(xiàng)先確定或排除，再逐步判斷其余選項(xiàng)1.(2019·全國卷)設(shè)，為兩個(gè)平面，則的充要條件是()A內(nèi)有無數(shù)條直線與平行B內(nèi)有兩條相交直線與平行C，平行于同一條直線D，垂直于同一平面B由面面平行的判定定理知：內(nèi)兩條相交直線都與平行是的充分條件，由面面平行性質(zhì)定理知，若，則內(nèi)任意一條直線都與平行，所以內(nèi)兩條相交直線都與平行是的必要條件，故選B.2(2017·全國卷)如圖，在下列四個(gè)正方體中，A，B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，M，N，Q為所在棱的中點(diǎn)，則在這四個(gè)正方體中，直線AB與平面MNQ不平行的是()AA項(xiàng)，作如圖所示的輔助線，其中D為BC的中點(diǎn)，則QDAB.QD平面MNQQ，QD與平面MNQ相交，直線AB與平面MNQ相交B項(xiàng)，作如圖所示的輔助線，則ABCD，CDMQ，ABMQ.又AB平面MNQ，MQ平面MNQ，AB平面MNQ.C項(xiàng)，作如圖所示的輔助線，則ABCD，CDMQ，ABMQ.又AB平面MNQ，MQ平面MNQ，AB平面MNQ.D項(xiàng)，作如圖所示的輔助線，則ABCD，CDNQ，ABNQ.又AB平面MNQ，NQ平面MNQ，AB平面MNQ.故選A.解答此類問題時(shí)，特別注意定理所要求的條件是否完備，圖形是否有特殊情況，可通過舉反例、否定結(jié)論或用反證法推斷命題是否正確考點(diǎn)2直線與平面平行的判定與性質(zhì)直線與平面平行的判定證明線面平行的常用方法(1)利用線面平行的定義(無公共點(diǎn))(2)利用線面平行的判定定理(a，b，aba)(3)利用面面平行的性質(zhì)定理(，aa)(4)利用面面平行的性質(zhì)(，a，aa)一題多解如圖，在幾何體ABCDE中，四邊形ABCD是矩形，AB平面BEC，BEEC，ABBEEC2，G，F(xiàn)分別是線段BE，DC的中點(diǎn)求證：GF平面ADE.證明法一：(線線平行，則線面平行)如圖，取AE的中點(diǎn)H，連接HG，HD，又G是BE的中點(diǎn)，所以GHAB，且GHAB.又F是CD的中點(diǎn)，所以DFCD.由四邊形ABCD是矩形得ABCD，ABCD，所以GHDF，且GHDF，從而四邊形HGFD是平行四邊形，所以GFDH.又DH平面ADE，GF平面ADE，所以GF平面ADE.法二：(面面平行，則線面平行) 如圖，取AB的中點(diǎn)M，連接MG，MF.又G是BE的中點(diǎn)，可知GMAE.又AE平面ADE，GM平面ADE，所以GM平面ADE.在矩形ABCD中，由M，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)得MFAD.又AD平面ADE，MF平面ADE.所以MF平面ADE.又因?yàn)镚MMFM，GM平面GMF，MF平面GMF，所以平面GMF平面ADE.因?yàn)镚F平面GMF，所以GF平面ADE. 證明直線與平面平行的關(guān)鍵是設(shè)法在平面內(nèi)找到一條與已知直線平行的直線，解題的思路是利用幾何體的特征，合理利用中位線定理、線面平行的性質(zhì)，或者構(gòu)造平行四邊形、尋找比例式證明兩直線平行，注意內(nèi)外平行三條件，缺一不可如圖所示，在四棱錐P­ABCD中，底面ABCD是菱形，PA平面ABCD，PA3，F(xiàn)是棱PA上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，E為PD的中點(diǎn)，O為AC的中點(diǎn)(1)證明：OE平面PAB；(2)若AF1，求證：CE平面BDF；(3)若AF2，M為ABC的重心，證明FM平面PBC.證明(1)由已知四邊形ABCD為菱形，又O為AC的中點(diǎn)，所以O(shè)為BD的中點(diǎn)，又E為PD的中點(diǎn)，所以O(shè)EPB.又OE平面PAB，PB平面PAB，所以O(shè)E平面PAB.(2)過E作EGFD交AP于G，連接CG，F(xiàn)O.因?yàn)镋GFD，EG平面BDF，F(xiàn)D平面BDF，所以EG平面BDF，因?yàn)榈酌鍭BCD是菱形，O是AC的中點(diǎn)，又因?yàn)镋為PD的中點(diǎn)，所以G為PF的中點(diǎn)，因?yàn)锳F1，PA3，所以F為AG的中點(diǎn)，所以O(shè)FCG.因?yàn)镃G平面BDF，OF平面BDF，所以CG平面BDF.又EGCGG，EG，CG平面CGE，所以平面CGE平面BDF，又CE平面CGE，所以CE平面BDF.(3)連接AM，并延長，交BC于點(diǎn)Q，連接PQ，因?yàn)镸為ABC的重心，所以Q為BC中點(diǎn)，且.又AF2，所以.所以，所以MFPQ，又MF平面PBC，PQ平面PBC，所以FM平面PBC.直線與平面平行的性質(zhì)應(yīng)用線面平行的性質(zhì)定理的關(guān)鍵是如何確定交線的位置，有時(shí)需要經(jīng)過已知直線作輔助平面來確定交線如圖所示，四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)P是平面ABCD外一點(diǎn)，M是PC的中點(diǎn)，在DM上取一點(diǎn)G，過G和AP作平面交平面BDM于GH.求證：APGH.證明如圖所示，連接AC交BD于點(diǎn)O，連接MO，四邊形ABCD是平行四邊形，O是AC的中點(diǎn)，又M是PC的中點(diǎn)，APMO.又MO平面BMD，AP平面BMD，AP平面BMD.平面PAHG平面BMDGH，且AP平面PAHG，APGH.要證線線平行，可把它們轉(zhuǎn)化為線面平行即在應(yīng)用性質(zhì)定理時(shí)，一般遵循從“高維”到“低維”的轉(zhuǎn)化，即從“線面平行”到“線線平行”； 而解決線面平行的判定時(shí)其順序恰好相反教師備選例題如圖，在四棱錐P­ABCD中，底面ABCD為正方形，點(diǎn)M在棱PB上，PD平面MAC，求證：M為PB的中點(diǎn)證明連接BD，設(shè)AC與BD的交點(diǎn)為E，連接ME.因?yàn)镻D平面MAC，平面MAC平面PDBME，所以PDME.因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，所以E為BD的中點(diǎn)，所以M為PB的中點(diǎn)如圖，四棱錐P­ABCD中，ADBC，ABBCAD, E，F(xiàn)，H分別是線段AD，PC，CD的中點(diǎn)，AC與BE交于O點(diǎn)，G是線段OF上一點(diǎn)求證：(1)AP平面BEF；(2)GH平面PAD.證明(1)連接EC，ADBC，BCAD，E是AD的中點(diǎn)，BC綊 AE，四邊形ABCE是平行四邊形，O為AC的中點(diǎn)又F是PC的中點(diǎn)，F(xiàn)OAP.FO平面BEF，AP平面BEF，AP平面BEF.(2)連接FH，OH，F(xiàn)，H分別是PC，CD的中點(diǎn)，F(xiàn)HPD.PD平面PAD，F(xiàn)H平面PAD，F(xiàn)H平面PAD.又O是AC的中點(diǎn)，H是CD的中點(diǎn)，OHAD.又AD平面PAD，OH平面PAD，OH平面PAD.又FHOHH，平面OHF平面PAD.又GH平面OHF，GH平面PAD.考點(diǎn)3平面與平面平行的判定與性質(zhì)證明面面平行的常用方法(1)利用面面平行的定義(2)利用面面平行的判定定理：如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行(3)利用“垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行”(4)利用“如果兩個(gè)平面同時(shí)平行于第三個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行”(5)利用“線線平行”“線面平行”“面面平行”的相互轉(zhuǎn)化如圖所示，在三棱柱ABC­A1B1C1中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1的中點(diǎn)，求證：(1)B，C，H，G四點(diǎn)共面；(2)平面EFA1平面BCHG.證明(1)G，H分別是A1B1，A1C1的中點(diǎn)，GH是A1B1C1的中位線，GHB1C1.又B1C1BC，GHBC，B，C，H，G四點(diǎn)共面(2)在ABC中，E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點(diǎn)，EFBC.EF平面BCHG，BC平面BCHG，EF平面BCHG.A1G綊EB，四邊形A1EBG是平行四邊形，則A1EGB.A1E平面BCHG，GB平面BCHG，A1E平面BCHG.A1EEFE，平面EFA1平面BCHG.母題探究1在本例條件下，若點(diǎn)D為BC1的中點(diǎn)，求證：HD平面A1B1BA.證明如圖所示，連接HD，A1B，D為BC1的中點(diǎn)，H為A1C1的中點(diǎn)，HDA1B.又HD平面A1B1BA，A1B平面A1B1BA，HD平面A1B1BA.2在本例條件下，若D1，D分別為B1C1，BC的中點(diǎn)，求證：平面A1BD1平面AC1D.證明如圖所示，連接A1C交AC1于點(diǎn)M，四邊形A1ACC1是平行四邊形，M是A1C的中點(diǎn)，連接MD，D為BC的中點(diǎn)，A1BDM.A1B平面A1BD1，DM平面A1BD1，DM平面A1BD1，又由三棱柱的性質(zhì)知，D1C1綊BD，四邊形BDC1D1為平行四邊形，DC1BD1.又DC1平面A1BD1，BD1平面A1BD1，DC1平面A1BD1.又DC1DMD，DC1，DM平面AC1D，平面A1BD1平面AC1D.本例的證明應(yīng)用了三種平行關(guān)系之間的轉(zhuǎn)化其中線面平行是核心，線線平行是基礎(chǔ)，要注意它們之間的靈活轉(zhuǎn)化如圖所示，四邊形ABCD與四邊形ADEF都為平行四邊形，M，N，G分別是AB，AD，EF的中點(diǎn)求證：(1)BE平面DMF；(2)平面BDE平面MNG.證明(1)如圖所示，設(shè)DF與GN交于點(diǎn)O，連接AE，則AE必過點(diǎn)O，連接MO，則MO為ABE的中位線，所以BEMO.因?yàn)锽E平面DMF，MO平面DMF，所以BE平面DMF.(2)因?yàn)镹，G分別為平行四邊形ADEF的邊AD，EF的中點(diǎn)，所以DEGN.因?yàn)镈E平面MNG，GN平面MNG，所以DE平面MNG.因?yàn)镸為AB的中點(diǎn)，所以MN為ABD的中位線，所以BDMN.因?yàn)锽D平面MNG，MN平面MNG，所以BD平面MNG.因?yàn)镈EBDD，BD，DE平面BDE，所以平面BDE平面MNG.