第三章 導(dǎo)數(shù)第2節(jié) 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用題型40 方程解(零點(diǎn))的個(gè)數(shù)問題1.（2014江蘇19（2）已知函數(shù)若（實(shí)數(shù)是與無(wú)關(guān)的常數(shù)），當(dāng)函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)時(shí)，的取值范圍恰好是，求的值1.解析 解法一：因，故，由（1）得：當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，若函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則恒成立，從而對(duì)恒成立，構(gòu)造，則對(duì)恒成立，故單調(diào)遞減，從而，故當(dāng)時(shí)，若函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則恒成立，從而對(duì)恒成立，構(gòu)造，則，令，則，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，從而，即綜上得解法二：因，故，由（1）得：當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，若函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則只需保證，又實(shí)數(shù)的解集為，因此，是方程的三個(gè)實(shí)數(shù)根，易知該方程必有一根，從而若時(shí)，則，驗(yàn)證知不為其根，故舍；若時(shí)，則，驗(yàn)證知，是其根，驗(yàn)證不等式，即，即，其解集為，滿足題意；若時(shí)，則，驗(yàn)證知不為其根，故舍綜上得解法三：因，故，由（1）得： 當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，若函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則，從而，根據(jù)的取值范圍可知：是方程的根，因此當(dāng)時(shí)，若，則根據(jù)函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則必有，即因此解得或或，符合題意綜上得評(píng)注 （2）的解法一將該問題轉(zhuǎn)化到恒成立解決；解法二將問題統(tǒng)一歸類轉(zhuǎn)化到不等式的解集，進(jìn)而轉(zhuǎn)化到等式（方程）的根；解法三亦是將問題轉(zhuǎn)化到不等式的解集問題進(jìn)行解決2.（2015北京文19（2）設(shè)函數(shù).證明：若存在零點(diǎn)，則在區(qū)間上僅有一個(gè)零點(diǎn).2. 解析 若存在零點(diǎn)，則即，解得.又，且函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以在區(qū)間上僅有一個(gè)零點(diǎn).3.（2015廣東文21（3）設(shè)為實(shí)數(shù)，函數(shù)當(dāng)時(shí)，討論在區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)3.解析 由（2）得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以.(i)當(dāng)時(shí)，.令=0，即.因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以.而在上單調(diào)遞增，.所以在上，故與在無(wú)交點(diǎn).當(dāng)時(shí)，即.所以，所以.因?yàn)椋?故當(dāng)時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn).(ii)當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)， ，而在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，.下面比較與的大?。阂?yàn)椋?結(jié)合圖像可知當(dāng)時(shí)，與有兩個(gè)交點(diǎn). 綜上，當(dāng)時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，與有兩個(gè)零點(diǎn).4.（2015新課標(biāo)卷文21（1）設(shè)函數(shù).討論的導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；4. 解析 由題意可得，.顯然當(dāng)時(shí)，恒成立，無(wú)零點(diǎn)； 當(dāng)時(shí)，取，則，即單調(diào)遞增.令，即.畫出與的圖像，如圖所示.由圖可知，必有零點(diǎn)，所以導(dǎo)函數(shù)存在唯一零點(diǎn).5.（2015山東文20(2)）設(shè)函數(shù)，. 已知曲線在點(diǎn)處的切線與直線平行.是否存在自然數(shù)，使得方程在內(nèi)存在唯一的根？如果存在，求出；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；5. 解析 時(shí)，方程在內(nèi)存在唯一的根.設(shè)，當(dāng)時(shí)，.又，所以存在，使.因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.所以時(shí)，方程在內(nèi)存在唯一的根.6.（2015陜西文21（2）設(shè)證明：在內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)（記為），且.6. 解析 因?yàn)?，所以在?nèi)至少存在一個(gè)零點(diǎn)，又，所以在內(nèi)單調(diào)遞增，因此，在內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，由于，所以，由此可得，故，所以.7.（2015四川文21（2）已知函數(shù)，其中.求證：存在，使得恒成立，并且在區(qū)間內(nèi)有唯一解.7. 解析 由，解得，令.則，所以存在，使得.令，其中.由，可知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.故，即.當(dāng)時(shí)，有，再由（1）可知，在區(qū)間上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，所以；當(dāng)時(shí)，所以.又當(dāng)時(shí)，故時(shí)，.綜上所述，存在，使得恒成立，且在區(qū)間內(nèi)有唯一解.8.（2016北京文20）設(shè)函數(shù).（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）設(shè)，若函數(shù)有三個(gè)不同零點(diǎn)，求的取值范圍；（3）求證：是有三個(gè)不同零點(diǎn)的必要而不充分條件. 8.解析 （1）由，得.因?yàn)椋郧€在點(diǎn)處的切線方程為.（2）當(dāng)時(shí)，所以.令，得，解得或.與在區(qū)間上的變化情況如下表所示.所以當(dāng)且時(shí)，存在，使得.由的單調(diào)性，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，函數(shù)有三個(gè)不同零點(diǎn).（3）證法一：分兩步證明.必要性： 若函數(shù)有三個(gè)不同零點(diǎn)，那么的單調(diào)性必然變化次，因此其導(dǎo)函數(shù)必然有2個(gè)不同的零點(diǎn)，從而的判別式，即.非充分性：取，則函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù).所以其極大值為，其極小值為，因此函數(shù)只有1個(gè)零點(diǎn).綜上所述，是有三個(gè)不同零點(diǎn)的必要而不充分條件.證法二：分兩步證明.必要性（反證法） 若，則恒成立，所以單調(diào)遞增，于是最多只有1個(gè)零點(diǎn)，與條件不符，所以.以下證明同證法一.9.（2016山東文15）已知函數(shù)，其中，若存在實(shí)數(shù)，使得關(guān)于的方程有三個(gè)不同的根，則的取值范圍是_.9. 解析 因?yàn)榈膶?duì)稱軸為，所以時(shí)單調(diào)遞增，只要大于的最小值時(shí)，關(guān)于的方程在時(shí)有一根；又在，時(shí)，存在實(shí)數(shù)，使方程在時(shí)有兩個(gè)根，只需； 故只需即可，又，所以解得，即的取值范圍是.10.（2016江蘇19）已知函數(shù).（1）設(shè)，.求方程的根；若對(duì)于任意，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值；（2）若，函數(shù)有且只有個(gè)零點(diǎn)，求的值.10.解析 （1），由可得，則，即，則，解得；由題意得恒成立，即恒成立.令，則由，可得，此時(shí)恒成立，即恒成立，因?yàn)闀r(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，因此實(shí)數(shù)的最大值為.（2），由，可得，令，則單調(diào)遞增，而，因此時(shí).因此時(shí)，則；時(shí)，則.則在遞減，遞增.解法一：下證.若，則，于是，又且， 因此連續(xù)函數(shù)在以與為端點(diǎn)的區(qū)間上存在零點(diǎn)，不妨記為.由且可知，這與“是函數(shù)的唯一零點(diǎn)”相矛盾.若，仿照可得到，連續(xù)函數(shù)在以與為端點(diǎn)的區(qū)間上存在大于的零點(diǎn)，也相矛盾.綜合可知，即，即，即，因此，則.評(píng)注 解法二：（也可以作為研究對(duì)象）因此最小值為.若，時(shí)，則；時(shí)，則；因此且時(shí)，因此在有零點(diǎn)，且時(shí)，因此在有零點(diǎn)，則至少有兩個(gè)零點(diǎn)，與條件矛盾；若，由函數(shù)有且只有個(gè)零點(diǎn)，最小值為，可得，由，因此，所以，即，亦即，因此，則.11.（2016全國(guó)乙文21）已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性； （2）若有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.11.解析 （1）由題意.當(dāng)，即時(shí)，恒成立.令，則，所以的單調(diào)增區(qū)間為.同理可得的單調(diào)減區(qū)間為.當(dāng)，即時(shí)，令，則或.（）當(dāng)，即時(shí)，令，則或，所以的單調(diào)增區(qū)間為和.同理的單調(diào)減區(qū)間為；（）當(dāng)，即時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以.同理時(shí)，.故的單調(diào)增區(qū)間為；（）當(dāng)，即時(shí).令，則或，所以的單調(diào)增區(qū)間為和，同理的單調(diào)減區(qū)間為.綜上所述，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為； 當(dāng)時(shí)，的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為.（2）解法一（直接討論法）：易見，如（1）中討論，下面先研究（）（）（）三種情況.當(dāng)時(shí)，由單調(diào)性可知，故不滿足題意；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，顯然不滿足題意；當(dāng)時(shí)，由的單調(diào)性，可知，且，故不滿足題意；下面研究，當(dāng)時(shí)，令，則，因此只有個(gè)零點(diǎn)，故舍去；當(dāng)時(shí)，所以在上有個(gè)零點(diǎn)；（i）當(dāng)時(shí)，由，而，所以在上有個(gè)零點(diǎn)；（i i）當(dāng)時(shí)，由，而，所以在上有個(gè)零點(diǎn)；可見當(dāng)時(shí)有兩個(gè)零點(diǎn).所以所求的取值范圍為.解法二（分離參數(shù)法）：顯然不是的零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，由，得.設(shè)，則問題轉(zhuǎn)化為直線與圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，對(duì)求導(dǎo)得，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，若，直線與圖像沒有交點(diǎn)，若，單調(diào)遞減，直線與圖像不可能有兩個(gè)交點(diǎn)，故不滿足條件；若時(shí)，取 ，則，而，結(jié)合在單調(diào)遞減，可知在區(qū)間上直線與圖像有一個(gè)交點(diǎn)，取，則，結(jié)合在單調(diào)遞增，可知在區(qū)間上直線與圖像有一個(gè)交點(diǎn)，綜上所述，時(shí)直線與圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).評(píng)注 此題與2015年文科卷第（1）問基本一致，都是對(duì)函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的研究，基本形成分離與不分離兩種解答方案，但不管是否分離，都涉及到零點(diǎn)的取值問題.【1】可放一起研究，當(dāng)或，由題意，故不滿足題意.【2】用分離參數(shù)的方法很多時(shí)候只能初步感知結(jié)論，不能替代論證.很多資料上在論證完的單調(diào)性后直接書寫如下過程，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，令，則，所以時(shí)，；時(shí)，.綜上所述：時(shí)函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).這里論述時(shí)是不完備的，這里涉及到極限的知識(shí)，僅僅用是不夠的，可能會(huì)有值的趨向性，因此這種解析不完備是會(huì)扣除步驟分.【3】考試院提供的參考答案與去年提供的參考相仿：（i）設(shè)，則由（1）可知，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，取滿足且，則，所以函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).（ii）設(shè)，則，令，則，因此只有個(gè)零點(diǎn)，故舍去；（iii）設(shè)，若，則由（1）知，在上單調(diào)遞增，又當(dāng)時(shí)，故不存在兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，則由（1）知，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又當(dāng)時(shí)，故不存在兩個(gè)零點(diǎn).綜上，的取值范圍為.12.（2017全國(guó)3文12）已知函數(shù)有唯一零點(diǎn)，則（ ）.ABCD112.解析 (對(duì)稱性解法) 因?yàn)殛P(guān)于直線對(duì)稱，所以要有唯一零點(diǎn)，只有，由此解得.故選C.評(píng)注 難度中偏上，主要考查函數(shù)的性質(zhì)與函數(shù)的零點(diǎn)結(jié)論，本題的難點(diǎn)在于對(duì)函數(shù)的對(duì)稱性不夠了解，一般學(xué)生很難看出后面函數(shù)的對(duì)稱性，導(dǎo)致做題缺乏思路.本題與2016年的高考全國(guó)卷2文科數(shù)學(xué)的選擇壓軸題（第12題）類似，都是圍繞函數(shù)的性質(zhì)來(lái)考查，需要學(xué)生有較強(qiáng)的基本功底并具有較強(qiáng)的運(yùn)用能力.13.（2017江蘇14）設(shè)是定義在且周期為的函數(shù)，在區(qū)間上，其中集合，則方程的解的個(gè)數(shù)是 13.解析 由題意，所以只需要研究?jī)?nèi)的根的情況在此范圍內(nèi)，且時(shí)，設(shè)，且互質(zhì)，若，則由，可設(shè)，且互質(zhì).從而，則，此時(shí)左邊為整數(shù)，右邊為非整數(shù)，矛盾，因此，于是不可能與內(nèi)的部分對(duì)應(yīng)相等，所以只需要考慮與每個(gè)周期內(nèi)部分的交點(diǎn).如圖所示，通過函數(shù)的草圖分析，圖中交點(diǎn)除外，其它交點(diǎn)均為的部分且當(dāng)時(shí)，所以在附近只有一個(gè)交點(diǎn)，因而方程解的個(gè)數(shù)為個(gè)故填題型41 利用導(dǎo)數(shù)證明不等式1.（2015福建文22（2）已知函數(shù)求證：當(dāng)時(shí)，；1. 分析 構(gòu)造函數(shù)，欲證明，只需證明的最大值小于等于即可.解析 令，則有，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，2.（2015湖北文21）設(shè)函數(shù)，的定義域均為，且是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).(1)求，的解析式，并證明：當(dāng)時(shí)，；(2)設(shè)，證明：當(dāng)時(shí)，.2. 解析 (1)由，的奇偶性及條件 得 聯(lián)立式式解得，.當(dāng)時(shí)，故. 又由基本不等式，有，即. (2)由(1)得 ， ， 當(dāng)時(shí)，等價(jià)于， 等價(jià)于 設(shè)函數(shù) ，由式式，有 當(dāng)時(shí)，（a）若，由式式，得，故在上為增函數(shù)，從而，即，故式成立.（b）若，由，得，故在上為減函數(shù)，從而，即，故式成立.綜合式式，得. 3.（2015新課標(biāo)卷文21（2）設(shè)函數(shù).求證：當(dāng)時(shí)，.3. 解析 由（1）可知有唯一零點(diǎn)，設(shè)零點(diǎn)為，由圖可知，則當(dāng)時(shí)，即單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，即單調(diào)遞增.所以在處取得極小值，即.又，解得.兩邊分別取自然對(duì)數(shù)，得，即.所以（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)）.4.（2015天津文20） 已知函數(shù)其中，且.（2）設(shè)曲線與軸正半軸的交點(diǎn)為，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，求證：對(duì)于任意的正實(shí)數(shù)，都有；（3）若方程（為實(shí)數(shù)）有兩個(gè)正實(shí)數(shù)根，且，求證：.4. 分析（2） ，證明在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以對(duì)任意的實(shí)數(shù)，對(duì)于任意的正實(shí)數(shù)，都有；（3）設(shè)方程 的根為，可得，由在上單調(diào)遞減，得，所以 .設(shè)曲線在原點(diǎn)處的切線為，方程的根為，可得，由在上單調(diào)遞增，且，可得，所以.解析（2）設(shè) ，則 ，且，得，曲線 在點(diǎn)處的切線方程為 ，即，令 ，即 .則.由于在 單調(diào)遞減，故在 單調(diào)遞減，又因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，.所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以對(duì)任意的實(shí)數(shù)， ，對(duì)于任意的正實(shí)數(shù)，都有.（3）由（2）知，設(shè)方程的根為，可得，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，又由（2）知，所以 .設(shè)曲線在原點(diǎn)處的切線為，可得，對(duì)任意的，有，即.設(shè)方程 的根為，可得，因?yàn)樵趩握{(diào)遞增，且，因此，所以.5.（2017全國(guó)3文21）已知函數(shù)（1）討論 的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，證明5.解析 (1)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，單調(diào)遞減.（2）當(dāng)時(shí)，要證，即證.令，.當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以，即.評(píng)注 本題難度中偏上，第（1）問考查導(dǎo)函數(shù)含參的函數(shù)單調(diào)性的討論，第（2）問屬于構(gòu)造函數(shù)證明不等式類問題，有一定難度.題型42 導(dǎo)數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用1. (2013重慶文20）某村莊擬修建一個(gè)無(wú)蓋的圓柱形儲(chǔ)水池（不計(jì)厚度）.設(shè)該儲(chǔ)水池的底 面半徑為米，高為米，體積為立方米.假設(shè)建造成本僅與表面積有關(guān)，側(cè)面的建造成本 為元/平方米.底面的建造成本為元/平方米，該儲(chǔ)水池的總建造成本為元（ 為圓周率）（1）將表示成的函數(shù)，并求該函數(shù)的定義域；（2）討論函數(shù)的單調(diào)性，并確定和為何值時(shí)該儲(chǔ)水池的體積最大.1.分析 根據(jù)數(shù)量關(guān)系列出函數(shù)關(guān)系式，并利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值. 解析 （1）因?yàn)樾钏貍?cè)面的總成本為（元），底面的總成本為元，所以蓄水池的總成本為元.又根據(jù)題意，所以，從而.因?yàn)?，又由可得，故函?shù)的定義域?yàn)?（2）因?yàn)?，所?令，解得（因?yàn)椴辉诙x域內(nèi)，舍去）.當(dāng)時(shí)，故在上為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，故在上為減函數(shù)；由此可知，在處取得最大值，此時(shí).即當(dāng)，時(shí)，該蓄水池的體積最大.