專題能力訓(xùn)練9等差數(shù)列與等比數(shù)列(時間:60分鐘滿分:100分)一、選擇題(本大題共8小題,每小題5分,共40分)1.在等比數(shù)列an中,若a12=4,a18=8,則a36為()A.32B.64C.128D.2562.已知數(shù)列an的前n項和為Sn,若Sn=2an-4(nN*),則an=()A.2n+1B.2nC.2n-1D.2n-23.(甘肅蘭州一中高三8月月考)中國古代數(shù)學(xué)著作算法統(tǒng)宗中有這樣一個問題:“三百七十八里關(guān),初行健步不為難,次日腳痛減一半,六朝才得到其關(guān),要見次日行里數(shù),請公仔細算相還.”其意思為:有一個人走378里路,第一天健步行走,從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半,走了6天后到達目的地,則第2天走了()A.192里B.96里C.48里D.24里4.在正項等比數(shù)列an中,a1 008·a1 009=,則lg a1+lg a2+lg a2 016=()A.2 015B.2 016C.-2 015D.-2 0165.已知數(shù)列an的首項a1=1,前n項和為Sn,且滿足2an+1+Sn=2,則滿足的n的最大值是()A.8B.9C.10D.116.若數(shù)列an滿足a1=2,a2=1,并且(n2),則數(shù)列an的第100項為()A.B.C.D.7.已知數(shù)列an是等差數(shù)列,Sn為其前n項和.若正整數(shù)i,j,k,l滿足i+l=j+k(ijkl),則()A.aialajakB.aialajakC.SiSlSjSkD.SiSlSjSk8.已知數(shù)列an的前n項和為Sn,且a1=1,an+1·an=2n(nN*),則S2 016=()A.3·21 008-3B.22 016-1C.22 009-3D.22 008-3二、填空題(本大題共6小題,每小題5分,共30分)9.已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn,若a3=5,a5=3,則an=,S7=. 10.(20xx浙江臺州4月調(diào)研)已知數(shù)列an的前m(m4)項是公差為2的等差數(shù)列,從第m-1項起,am-1,am,an+1,成公比為2的等比數(shù)列.若a1=-2,則m=,an的前6項和S6=. 11.在數(shù)列an中,a1=2,a2=10,且an+2=an+1-an(nN*),則a4=,數(shù)列an的前2 016項和為. 12.已知等差數(shù)列an滿足:a4>0,a5<0,則滿足>2的n的集合是. 13.等比數(shù)列an的前n項和為Sn,公比不為1.若a1=1,且對任意的nN*都有an+2+an+1-2an=0,則S5=. 14.已知a,b,c是遞減的等差數(shù)列,若將其中兩個數(shù)的位置互換,得到一個等比數(shù)列,則=. 三、解答題(本大題共2小題,共30分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)15.(本小題滿分15分)已知數(shù)列an中,a1=1,an+1=(1)求證:數(shù)列是等比數(shù)列;(2)設(shè)Sn是數(shù)列an的前n項和,求滿足Sn>0的所有正整數(shù)n.16.(本小題滿分15分)在數(shù)列an中,a1=1,2anan+1+an+1-an=0(nN*).(1)求證:數(shù)列為等差數(shù)列,并求an的通項公式;(2)若tan+1(an-1)+10對任意n2的整數(shù)恒成立,求實數(shù)t的取值范圍.參考答案專題能力訓(xùn)練9等差數(shù)列與等比數(shù)列1.B解析 由等比數(shù)列的性質(zhì)可知:a12,a18,a24,a30,a36構(gòu)成等比數(shù)列,且=2.故a36=4×24=64.2.A解析 由Sn=2an-4可得Sn-1=2an-1-4(n2),兩式相減可得an=2an-2an-1(n2),即an=2an-1(n2).又a1=2a1-4,a1=4,所以數(shù)列an是以4為首項,2為公比的等比數(shù)列,則an=4×2n-1=2n+1.故選A.3.B解析 由題意可知,此人每天走的步數(shù)構(gòu)成以為公比的等比數(shù)列,S6=378,a1=192,a2=192×=96,第二天走了96里.4.D解析 lg a1+lg a2+lg a2 016=lg a1a2a2 016=lg(a1 008·a1 009)1 008=lg=lg(10-2)1 008=-2 016.故選D.5.B解析 當(dāng)n=1時,2a2+S1=2,得a2=.當(dāng)n2時,有2an+Sn-1=2,兩式相減得an+1=an.再考慮到a2=a1,所以數(shù)列an是等比數(shù)列,故有Sn=2-2·.因此原不等式可化為,化簡得,得n=4,5,6,7,8,9,所以n的最大值為9,選B.6.D解析 條件(n2),即,所以數(shù)列是等差數(shù)列.故+99×+99×=50,a100=.7.A解析 可以令i=1,j=2,k=3,l=4,則aial-ajak=a1a4-a2a3=a1(a1+3d)-(a1+d)(a1+2d)=-2d20,故A正確,同理可以驗證B,C,D選項均不正確.8.A解析 數(shù)列an滿足a1=1,an+1·an=2n(nN*),a2·a1=2,即a2=2.當(dāng)n2時,=2,數(shù)列an的奇數(shù)項與偶數(shù)項分別成等比數(shù)列,公比為2.則S2 016=(a1+a3+a2 015)+(a2+a4+a2 016)=3·21 008-3.9.8-n28解析 設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,則2d=a5-a3=-2,d=-1,所以a1=a3-2d=7,an=a1+(n-1)d=7+(n-1)×(-1)=8-n,S7=7a1+d=7×7+21×(-1)=28.10.428解析 am-1=a1+(m-2) d=2m-6,am=2m-4,而=2,解得m=4,所以數(shù)列an的前6項依次為-2,0,2,4,8,16,所以S6=28.11.-20解析 a1=2,a2=10,且an+2=an+1-an(nN*),a3=a2-a1=10-2=8,同理可得a4=8-10=-2,a5=-10,a6=-8,a7=2,a8=10,.an+6=an.則a4=-2,數(shù)列an的前2 016項和=(a1+a2+a6)×336=(2+10+8-2-10-8)=0.12. 5解析 已知等差數(shù)列an滿足a4>0,a5<0,則d<0,前4項為正數(shù),從第5項開始為負數(shù),由>2得>0,即>0,<0,a1+(n-2)d>0,a1+(n-1)d<0,解得n=5.故答案為5.13.11解析 設(shè)等比數(shù)列an的公比為q,則an+2+an+1-2an=a1·qn+1+a1·qn-2a1·qn-1=0,即q2+q-2=0,解得q=-2,q=1(舍去),所以q=-2.故S5=11.14.20解析 依題意得或或由得a=b=c,這與a,b,c是遞減的等差數(shù)列矛盾;由消去c整理得(a-b)(a+2b)=0.又a>b,因此有a=-2b,c=4b,故=20;由消去a整理得(c-b)( c+2b)=0.又b>c,因此有c=-2b,a=4b,故=20.15.(1)證明 =,所以數(shù)列是以a2-=-為首項,為公比的等比數(shù)列.(2)解 由(1)得a2n-=-=-,則a2n=-,由a2n=a2n-1+(2n-1),得a2n-1=3a2n-3(2n-1)=-6n+,所以a2n-1+a2n=-6n+9=-2×-6n+9,S2n=(a1+a2)+(a3+a4)+(a2n-1+a2n)=-2-6(1+2+3+n)+9n=-2×-6×+9n=-1-3n2+6n=-3(n-1)2+2.顯然,當(dāng)nN*時,數(shù)列S2n單調(diào)遞減;當(dāng)n=1時,S2=>0,當(dāng)n=2時,S4=-<0,則當(dāng)n2時,S2n<0,S2n-1=S2n-a2n=-3n2+6n.同理可得僅當(dāng)n=1時,S2n-1>0.綜上,可得滿足條件Sn>0的n的值為1和2.16.(1)證明 2anan-1+an-an-1=0(n2),=2(n2).又=1,數(shù)列是首項為1,公差為2的等差數(shù)列.=1+2(n-1)=2n-1,即an=.(2)解 tan+1(an-1)+10對任意n2的整數(shù)恒成立,即t+10恒成立.t對任意n2的整數(shù)恒成立.設(shè)cn=(n2),則=1+>1,當(dāng)n2時,數(shù)列cn為遞增數(shù)列,cnc2=.t的取值范圍為.