第七節(jié)正弦定理、余弦定理的綜合應(yīng)用最新考綱能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關(guān)的實際問題1仰角和俯角與目標(biāo)線在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標(biāo)視線的夾角，目標(biāo)視線在水平視線上方叫仰角，目標(biāo)視線在水平視線下方叫俯角(如圖)圖圖2方向角相對于某正方向的水平角，如南偏東30°，北偏西45°等3方位角指從正北方向順時針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角，如B點的方位角為(如圖)4坡度(又稱坡比)坡面的垂直高度與水平長度之比一、思考辨析(正確的打“”，錯誤的打“×”)(1)從A處望B處的仰角為，從B處望A處的俯角為，則，的關(guān)系為180°.()(2)俯角是鉛垂線與視線所成的角，其范圍為.()(3)方位角與方向角其實質(zhì)是一樣的，均是確定觀察點與目標(biāo)點之間的位置關(guān)系()(4)方位角大小的范圍是0,2)，方向角大小的范圍一般是.()答案(1)×(2)×(3)(4)二、教材改編1如圖所示，設(shè)A，B兩點在河的兩岸，一測量者在A所在的同側(cè)河岸邊選定一點C，測出AC的距離為50 m，ACB45°，CAB105°后，就可以計算出A，B兩點的距離為_m.50由正弦定理得，又B30°，AB50(m)2.如圖，在山腳A測得山頂P的仰角為30°，沿傾斜角為15°的斜坡向上走a米到B，在B處測得山頂P的仰角為60°，則山高h_米a由題圖可得PAQ30°，BAQ15°，PAB中，PAB15°，又PBC60°，BPA(90°)(90°)30°，PBa，PQPCCQPB·sin asin a×sin 60°asin 15°a.3.如圖所示，D，C，B三點在地面的同一條直線上，DCa，從C，D兩點測得A點的仰角分別為60°，30°，則A點離地面的高度AB_.a由已知得DAC30°，ADC為等腰三角形，ACa，所以在RtACB中，ABAC·sinACBa.考點1解三角形中的實際問題利用正、余弦定理解決實際問題的一般步驟(1)分析理解題意，分清已知與未知，畫出示意圖(2)建模根據(jù)已知條件與求解目標(biāo)，把已知量與求解量盡量集中在相關(guān)的三角形中，建立一個解斜三角形的數(shù)學(xué)模型(3)求解利用正弦定理或余弦定理有序地解三角形，求得數(shù)學(xué)模型的解(4)檢驗檢驗上述所求的解是否符合實際意義，從而得出實際問題的解(1)江岸邊有一炮臺高30 m，江中有兩條船，船與炮臺底部在同一水平面上，由炮臺頂部測得俯角分別為45°和60°，而且兩條船與炮臺底部連線成30°角，則兩條船相距_m.(2)如圖，高山上原有一條筆直的山路BC，現(xiàn)在又新架設(shè)了一條索道AC，小李在山腳 B處看索道AC，發(fā)現(xiàn)張角ABC120°；從B處攀登400米到達D處，回頭看索道AC，發(fā)現(xiàn)張角ADC150°；從D處再攀登800米可到達C處，則索道AC的長為_米(1)10(2)400(1)如圖，OMAOtan 45°30(m)，ONAOtan 30°×3010(m)，在MON中，由余弦定理得，MN10(m)(2)在ABD中，BD400米，ABD120°.因為ADC150°，所以ADB30°.所以DAB180°120°30°30°.由正弦定理，可得，所以，得AD400(米)在ADC中，DC800米，ADC150°，由余弦定理得AC2AD2CD22·AD·CD·cosADC(400)280022×400×800×cos 150°4002×13，解得AC400(米)故索道AC的長為400米(1)實際測量中的常見問題求AB圖形需要測量的元素解法求豎直高度底部可達ACB，BCa解直角三角形ABatan 底部不可達ACB，ADB，CDa解兩個直角三角形AB求水平距離山兩側(cè)ACB，ACb，BCa用余弦定理AB河兩岸ACB，ABC，CBa用正弦定理AB求水平距離河對岸ADC，BDC，BCD，ACD，CDa在ADC中，AC；在BDC中，BC；在ABC中，應(yīng)用余弦定理求AB(2)三角應(yīng)用題求解的關(guān)鍵是正確作圖(平面圖、立體圖)，并且條件對應(yīng)好(仰角、俯角、方向角等)1.一船以每小時15 km的速度向東航行，船在A處看到一個燈塔B在北偏東60°的方向上，行駛4 h后，船到達C處，看到這個燈塔在北偏東15°的方向上，這時船與燈塔的距離為_km.30如圖，由題意知，BAC30°，ACB105°，B45°，AC60，由正弦定理得，BC30(km)2.如圖所示，位于A處的信息中心獲悉：在其正東方向相距40海里的B處有一艘漁船遇險，在原地等待營救信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C處的乙船，現(xiàn)乙船朝北偏東的方向沿直線CB前往B處救援，則cos 的值為_在ABC中，AB40，AC20，BAC120°，由余弦定理得BC2AB2AC22AB·AC·cos 120°2 800，得BC20.由正弦定理，得，即sinACB·sinBAC.由BAC120°，知ACB為銳角，則cosACB.由ACB30°，得cos cos(ACB30°)cosACBcos 30°sinACBsin 30°.考點2平面幾何中的解三角形問題與平面圖形有關(guān)的解三角形問題的關(guān)鍵及思路求解平面圖形中的計算問題，關(guān)鍵是梳理條件和所求問題的類型，然后將數(shù)據(jù)化歸到三角形中，利用正弦定理或余弦定理建立已知和所求的關(guān)系具體解題思路如下：(1)把所提供的平面圖形拆分成若干個三角形，然后在各個三角形內(nèi)利用正弦、余弦定理求解；(2)尋找各個三角形之間的聯(lián)系，交叉使用公共條件，求出結(jié)果如圖，在平面四邊形ABCD中，ABC，ABAD，AB1.(1)若AC，求ABC的面積；(2)若ADC，CD4，求sinCAD.解(1)在ABC中，由余弦定理得，AC2AB2BC22AB·BC·cosABC，即51BC2BC，解得BC，所以ABC的面積SABCAB·BC·sinABC×1××.(2)設(shè)CAD，在ACD中，由正弦定理得，即，在ABC中，BAC，BCA，由正弦定理得，即，兩式相除，得，即4sin ，整理得sin 2cos .又因為sin2cos21，所以sin ，即sinCAD.做題過程中，要用到平面幾何中的一些知識點，如相似三角形的邊角關(guān)系、平行四邊形的一些性質(zhì)，要把這些性質(zhì)與正弦、余弦定理有機結(jié)合，才能順利解決問題 (2019·湖南衡陽第三次聯(lián)考)如圖，在平面四邊形ABCD中，0DAB，AD2，AB3，ABD的面積為，ABBC.(1)求sinABD的值；(2)若BCD，求BC的長解(1)因為ABD的面積SAD×ABsinDAB×2×3sinDAB，所以sinDAB.又0DAB，所以DAB，所以cosDABcos .由余弦定理得BD，由正弦定理得sinABD.(2)因為ABBC，所以ABC，sinDBCsincosABD.在BCD中，由正弦定理可得CD.由余弦定理DC2BC22DC·BCcosDCBBD2，可得3BC24BC50，解得BC或BC(舍去)故BC的長為.考點3與三角形有關(guān)的最值(范圍)問題解三角形問題中，求解某個量(式子)的最值(范圍)的基本思路為：要建立所求量(式子)與已知角或邊的關(guān)系，然后把角或邊作為自變量，所求量(式子)的值作為函數(shù)值，轉(zhuǎn)化為函數(shù)關(guān)系，將原問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問題這里要利用條件中的范圍限制，以及三角形自身范圍限制，要盡量把角或邊的范圍(也就是函數(shù)的定義域)找完善，避免結(jié)果的范圍過大(2019·全國卷)ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知asinbsin A.(1)求B；(2)若ABC為銳角三角形，且c1，求ABC面積的取值范圍解(1)由題設(shè)及正弦定理得sin Asinsin Bsin A.因為sin A0，所以sinsin B.由ABC180°，可得sincos，故cos2sincos.因為cos0，故sin，因此B60°.(2)由題設(shè)及(1)知ABC的面積SABCa.由正弦定理得a.由于ABC為銳角三角形，故0°<A<90°，0°<C<90°.由(1)知AC120°，所以30°C<90°，故a2，從而SABC.因此，ABC面積的取值范圍是.求解三角形中的最值、范圍問題的2個注意點(1)涉及求范圍的問題，一定要搞清已知變量的范圍，利用已知的范圍進行求解，已知邊的范圍求角的范圍時可以利用余弦定理進行轉(zhuǎn)化(2)注意題目中的隱含條件，如本例中銳角三角形的條件，又如ABC，0A，bcabc，三角形中大邊對大角等教師備選例題設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，abtan A，且B為鈍角(1)證明：BA；(2)求sin Asin C的取值范圍解(1)證明：由abtan A及正弦定理，得，所以sin Bcos A，即sinBsin .因為B為鈍角，所以A為銳角，所以A，則BA，即BA.(2)由(1)知，C(AB)2A0，所以A.于是sin Asin Csin Asinsin Acos 2A2sin2Asin A122.因為0A，所以0sin A，因此22.由此可知sin Asin C的取值范圍是.1.在鈍角ABC中 ，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，B為鈍角，若acos Absin A，則sin Asin C的最大值為()A.B.C.1D.Bacos Absin A，由正弦定理可得，sin Acos Asin Bsin A，sin A0，cos Asin B，又B為鈍角，BA，sin Asin Csin Asin(AB)sin Acos 2Asin A12sin2A22，sin Asin C的最大值為.2在ABC中，b，B60°，(1)求ABC周長l的范圍；(2)求ABC面積最大值解(1)lac，b23a2c22accos 60°a2c2ac，(ac)23ac3，(ac)233ac3×2，ac2，當(dāng)僅僅當(dāng)ac時，取“”，又ac，2l3.(2)b23a2c2ac2acac，ac3，當(dāng)且僅當(dāng)ac時，取“”，SABCacsin B×3×sin 60°，ABC面積最大值為.