湖北省棗陽(yáng)市第七中學(xué)高三年級(jí)2015-2016學(xué)年度下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)(理科)試題 ?？荚図樌?時(shí)間：120分鐘 分值150分_第I卷（選擇題共60分） 一、選擇題（本大題12小題，每小題5分，共60分）1采用系統(tǒng)抽樣方法從1000人中抽取50人做問(wèn)卷調(diào)查，為此將他們隨機(jī)編號(hào)為1，2，1000，適當(dāng)分組后在第一組采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法抽到的號(hào)碼為8抽到的50人中，編號(hào)落入?yún)^(qū)間1，400的人做問(wèn)卷A，編號(hào)落入?yún)^(qū)間401，750的人做問(wèn)卷B，其余的人做問(wèn)卷C則抽到的人中，做問(wèn)卷C的人數(shù)為（ ）A12 B13 C14 D152已知，則（ ）A. B. C. D. 3在中，若 點(diǎn)滿足，則（ ）A B C D4已知，則（ ）A B C D5在各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列an中，a12，a6a1a2a3，則公比q的值為()A. B. C2 D36如圖是一個(gè)無(wú)蓋器皿的三視圖，正視圖、側(cè)視圖和俯視圖中的正方形邊長(zhǎng)為2，正視圖、側(cè)視圖中的虛線都是半圓，則該器皿的表面積是A B C D7如果函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，那么的最小值為（ ）A B C D8已知雙曲線的離心率為，一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)相同，則雙曲線的漸近線方程為（ ）A B C D9函數(shù)f（x）xlnx的零點(diǎn)所在的區(qū)間為（ ）A.（1，0） B.（，1） C.（1，2） D.（1，e）10已知函數(shù)則不等式的解集為（ ）A B C D11拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為（ ）A2 B4 C D12把四個(gè)半徑都是1的球中的三個(gè)放在桌面上，使它兩兩外切，然后在它們上面放上第四個(gè)球，使它與前三個(gè)都相切，求第四個(gè)球的最高點(diǎn)與桌面的距離（    ）ABCD3第II卷（非選擇題）二、填空題（本大題共4個(gè)小題，每題5分，滿分20分）13在的邊上隨機(jī)取一點(diǎn), 記和的面積分別為和，則的概率是 14已知，則二項(xiàng)式的展開(kāi)式中的系數(shù)為 15已知命題，則命題P的否定是 16已知銳角ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c設(shè)向量m= （cosA，-sinA），n= （cosA, sinA），且 ，若，則 _三、解答題：本大題共6小題，滿分70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟17（本小題滿分12分）設(shè)是公比不為1的等比數(shù)列，其前項(xiàng)和為，且成等差數(shù)列。（1）求數(shù)列的公比；（2）證明：對(duì)任意成等差數(shù)列 18（本題12分）有一種密碼，明文由三個(gè)字母組成，密碼由明文的這三個(gè)字母對(duì)應(yīng)的五個(gè)數(shù)字組成編碼規(guī)則如下表明文由表中每一排取一個(gè)字母組成，且第一排取的字母放在第一位，第二排取的字母放在第二位，第三排取的字母放在第三位，對(duì)應(yīng)的密碼由明文所取的三個(gè)字母對(duì)應(yīng)的數(shù)字按相同的次序排成一組組成（如：明文取的三個(gè)字母為AFP，則與它對(duì)應(yīng)的五個(gè)數(shù)字（密碼）就為11223）第一排明文字母ABC密碼數(shù)字111213第二排明文字母EFG密碼數(shù)字212223第三排明文字母MNP密碼數(shù)字123（1）假設(shè)密碼是11211，求這個(gè)密碼對(duì)應(yīng)的明文；（2）設(shè)隨機(jī)變量表示密碼中所含不同數(shù)字的個(gè)數(shù)求；求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望19（本小題滿分12分）如圖，在四棱錐中，平面平面，是線段上一點(diǎn)，MSDCBA（）證明：；（）設(shè)三棱錐與四棱錐的體積分別為與，求的值20（本題12分）橢圓E：+=1（ab0）的左焦點(diǎn)為F1，右焦點(diǎn)為F2，離心率e=過(guò)F1的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，且ABF2的周長(zhǎng)為8（1）求橢圓E的方程（2）在橢圓E上，是否存在點(diǎn)M（m，n）使得直線l：mx+ny=1與圓O：x2+y2=1相交于不同的兩點(diǎn)P，Q，且POQ的面積最大？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)及相對(duì)應(yīng)的POQ的面積；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由21（本題12分）已知函數(shù)，其中.（1）當(dāng)時(shí)判斷的單調(diào)性；（2）若在其定義域?yàn)樵龊瘮?shù)，求正實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）設(shè)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，若，總有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.四、選做題：請(qǐng)考生在第22、23、24三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.解答時(shí)請(qǐng)寫(xiě)清題號(hào).22（本題10分）如圖，是上的兩點(diǎn)，為外一點(diǎn)，連結(jié)，分別交于點(diǎn)，且，連結(jié)并延長(zhǎng)至，使（1）求證：；（2）若，且，求23（本題10分）（本小題滿分10分）選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的參數(shù)方程為參數(shù)）以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系（1）求圓C的極坐標(biāo)方程；（2）直線的極坐標(biāo)方程是，射線與圓C的交點(diǎn)為O、P，與直線的交點(diǎn)為Q，求線段PQ的長(zhǎng)24（本題10分）已知，若是的充分而不必要條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍參考答案1A【解析】試題分析：抽到的所有的號(hào)碼構(gòu)成等差數(shù)列，首項(xiàng)為8，公差為20，所以所有的數(shù)為8+20n，問(wèn)卷C位于區(qū)間751，1000，令751<8+20n<1000，所以解不等式可知n值有12個(gè)，做問(wèn)卷C的人數(shù)為12考點(diǎn)：系統(tǒng)抽樣2B【解析】試題分析：因?yàn)?，所以，故選B.考點(diǎn)：集合的補(bǔ)集運(yùn)算.3A【解析】試題分析：由，可得，故選擇A考點(diǎn)：平面向量基本定理4D【解析】試題分析：由條件概率的公式得故選D.考點(diǎn)：條件概率的公式.5C【解析】a1q5(a1q)3，q2，因?yàn)楦黜?xiàng)均為正數(shù)，所以qa12.6A【解析】試題分析：由三視圖可知，該幾何體是一個(gè)正方體挖去一個(gè)直徑等于正方體棱長(zhǎng)的球所得的組合體，所以該幾何體的表面積 ,故選A考點(diǎn)：1、三視圖；2、空間幾何體的表面積7C【解析】試題分析：因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，所以，根據(jù)誘導(dǎo)公式可得，所以，即，令得故選C.考點(diǎn)：正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì).8B【解析】試題分析：由于拋物線的焦點(diǎn)為，又因?yàn)殡p曲線的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)相同，所以雙曲線的半焦距；從而，所以雙曲線的漸近線方程為；故選B考點(diǎn)：雙曲線與拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)9B【解析】試題分析：由于f（x）是增函數(shù)，且定義域?yàn)椋?，）f（）10，f（1）10，故零點(diǎn)在（，1）內(nèi)，選B考點(diǎn)：函數(shù)的零點(diǎn)10C【解析】試題分析：當(dāng)時(shí)，即為解得當(dāng)時(shí)，即為解得，所以不等式的解集為.考點(diǎn)：分段函數(shù)與不等式.11C【解析】試題分析：拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，而因此選C.考點(diǎn)：拋物線性質(zhì)12A【解析】由題意，四球心組成棱長(zhǎng)為2的正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)，則正四面體的高而第四個(gè)球的最高點(diǎn)到第四個(gè)球的球心距離為求的半徑1，且三個(gè)球心到桌面的距離都為1，故第四個(gè)球的最高點(diǎn)與桌面的距離為，選A13【解析】試題分析：求幾何概型概率問(wèn)題，首先要明確測(cè)度是什么，本題是在邊上隨機(jī)取一點(diǎn)，所以測(cè)度是長(zhǎng)度，當(dāng)時(shí)，,所以的概率為.考點(diǎn)：幾何概型概率14-80【解析】試題分析：因?yàn)?，所以展開(kāi)式中的系數(shù)為考點(diǎn)：定積分，二項(xiàng)式定理15，【解析】試題分析：因?yàn)樗o命題P是一個(gè)全稱命題，其命題的否定就是特稱命題，即，考點(diǎn)：命題的否定；特稱命題與全稱命題163【解析】試題分析：運(yùn)用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示和二倍角的余弦公式，求得A，再由余弦定理，解方程可得b=3由于A為銳角，則2A=120°，解得A=60°，由余弦定理可得或-1（舍去）考點(diǎn)：利用余弦定理解三角形17（1）；（2）見(jiàn)解析【解析】試題分析：（1）求等比數(shù)列的公比；注意題中限制條件；（2）證明一個(gè)數(shù)列是否為等差數(shù)列的基本方法有兩種：一是定義法：證明；二是等差中項(xiàng)法，證明，若證明一個(gè)數(shù)列不是等差數(shù)列，則只需舉出反例即可試題解析：（1）設(shè)數(shù)列的公比為，由成等差數(shù)列，得，即，由得，解得（舍去），所以；（2）由（1）得：數(shù)列是以-2為公比的等比數(shù)列，所以則，即. 考點(diǎn)：求等比數(shù)列的公比，等差數(shù)列的證明.18（1）AEM；（2），詳見(jiàn)解析【解析】試題分析：（1）根據(jù)題意對(duì)照表格當(dāng)中明文字母和密碼數(shù)字即可求解；（2）：分析表格中數(shù)據(jù)可知只能取表格中第1，2列中的數(shù)字作為密碼，再根據(jù)古典概型即可求解，：窮舉所有可能的的取值及其對(duì)應(yīng)情況，再根據(jù)古典概型計(jì)算其對(duì)應(yīng)概率即可得到概率分布和數(shù)學(xué)期望試題解析：（1）根據(jù)題意對(duì)照表格當(dāng)中明文字母和密碼數(shù)字，從而可知對(duì)應(yīng)明文為AEM；（2）：分析表格中的數(shù)字可知，密碼的第1，2列均由數(shù)字1，2組成，時(shí)，只能取表格中的第1，2列中的數(shù)字作為密碼，；：由題意可知，的取值為2，3兩種情況，的分布列如下所示：考點(diǎn)：1古典概型求概率；2隨機(jī)變量的概率分布及其期望19（）見(jiàn)解析（）【解析】（）證明: 平面平面,平面平面,平面，平面, 1分平面 2分四邊形是直角梯形，,都是等腰直角三角形, 4分平面，平面，,平面又平面所以 6分（）解: 三棱錐與三棱錐的體積相等,由（ 1 ） 知平面,得, 9分設(shè)由,得從而 12分【考點(diǎn)定位】本題考查直線和平面垂直、直線和平面平行、二面角等基礎(chǔ)知識(shí)，意在考察學(xué)生空間向量能力、推理論證能力和基本的運(yùn)算能力20（1）（2）在橢圓E上，不存在點(diǎn)M（m，n）使得直線l：mx+ny=1與圓O：x2+y2=1相交于不同的兩點(diǎn)P，Q，且POQ的面積最大【解析】試題分析：（1）由已知得e=，4a=8，由此能求出橢圓E的方程（2）當(dāng)POQ=90°時(shí)，SPOQ有最大值，求出點(diǎn)O到直線AB的距離，從而得到m2+n2=2，又，兩式聯(lián)立，無(wú)解，故在橢圓E上，不存在點(diǎn)M（m，n）使得直線l：mx+ny=1與圓O：x2+y2=1相交于不同的兩點(diǎn)P，Q，且POQ的面積最大解：（1）橢圓E：+=1（ab0）的左焦點(diǎn)為F1，右焦點(diǎn)為F2，離心率e=，e=，3a2=4b2，ABF2的周長(zhǎng)為8，4a=8，解得a=2，b=，c=1，橢圓E的方程為：（4分）（2）不存在，理由如下：在POQ中，|OP|=|OQ|=1，SPOQ=|OP|×|OQ|×sinPOQ當(dāng)且僅當(dāng)POQ=90°時(shí)，SPOQ有最大值，當(dāng)POQ=90°時(shí)，點(diǎn)O到直線AB的距離為d=，d=，m2+n2=2，又，兩式聯(lián)立，解得：無(wú)解，故在橢圓E上，不存在點(diǎn)M（m，n）使得直線l：mx+ny=1與圓O：x2+y2=1相交于不同的兩點(diǎn)P，Q，且POQ的面積最大（12分）考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)21（1）增函數(shù)；（2）；（3） .【解析】試題分析：(1) 本小題首先求得函數(shù)的定義域，再利用導(dǎo)數(shù)的公式和法則求得函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，發(fā)現(xiàn)其在恒大于零，于是可知函數(shù)在上單調(diào)遞增；(2) 本小題首先求得函數(shù)的定義域，再利用導(dǎo)數(shù)的公式和法則求得函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)函數(shù)在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，所以，然后轉(zhuǎn)化為最值得求解；（3）本小題首先分析“，總有成立”等價(jià)于 “在上的最大值不小于在上的最大值”，于是問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值.試題解析：（1）的定義域?yàn)?且>0所以f(x)為增函數(shù). 3分（2），的定義域?yàn)?5分因?yàn)樵谄涠x域內(nèi)為增函數(shù)，所以，而，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以 9分（3）當(dāng)時(shí)，由得或當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以在上， 11分而“，總有成立”等價(jià)于“在上的最大值不小于在上的最大值”而在上的最大值為所以有所以實(shí)數(shù)的取值范圍是 14分考點(diǎn)：1.導(dǎo)數(shù)公式與法則；2.函數(shù)的單調(diào)性；3.等價(jià)轉(zhuǎn)化.22（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】試題分析：（1）根據(jù)圓的割線性質(zhì)及平面幾何知識(shí)可證明，從而得到；（2）可證，則，由此可得，把已知條件代入整理即可求得.試題解析：（1）連結(jié)，因?yàn)? 又因?yàn)?所以, 所以.由已知, ,所以, 且,所以, 所以.(2) 因?yàn)? 所以, 則,所以又因?yàn)? , 所以, 所以. 所以.考點(diǎn)：三角形相似與全等的證明以及圓的相關(guān)性質(zhì).23（1）；（2）線段的長(zhǎng)為.【解析】試題分析：（1）由圓C的參數(shù)方程為參數(shù)），化為普通方程為，利用，即得圓C的極坐標(biāo)方程；（2）求線段的長(zhǎng)，由于三點(diǎn)共線，故，可設(shè)，則，關(guān)鍵是求出的值，由可求得的值，由可求得的值，從而可解.試題解析：（1）圓的普通方程為，又，所以圓的極坐標(biāo)方程為；（2）設(shè)為點(diǎn)的極坐標(biāo)，則有，解得，設(shè)為點(diǎn)的極坐標(biāo)，解得，由于，所以，所以線段的長(zhǎng)為.考點(diǎn)：參數(shù)方程，普通方程，與極坐標(biāo)方程互化，極坐標(biāo)方程的應(yīng)用.24【解析】試題分析：根據(jù)已知求得，對(duì)應(yīng)的集合因?yàn)槭堑某浞侄槐匾獥l件，所以可得列的等式關(guān)系試題解析：由得，所以：，：或由得，所以：，：或因?yàn)槭堑某浞侄槐匾獥l件，所以， 解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為考點(diǎn)：1解不等式；2利用充分必要條件求參數(shù)