第一章計數(shù)原理、隨機變量及其概率分布第57課 分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理最新考綱內(nèi)容要求ABC加法原理與乘法原理1分類計數(shù)原理如果完成一件事，有n類方式，在第1類方式中有m1種不同的方法，在第2類方式中有m2種不同的方法，在第n類方式中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有Nm1m2mn種不同的方法2分步計數(shù)原理如果完成一件事，需要分成n個步驟，做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法，做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有Nm1×m2××mn種不同的方法3分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理，都涉及完成一件事的不同方法的種數(shù)它們的區(qū)別在于：分類計數(shù)原理與分類有關(guān)，各種方法相互獨立，用其中的任一種方法都可以完成這件事；分步計數(shù)原理與分步有關(guān)，各個步驟相互依存，只有各個步驟都完成了，這件事才算完成1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯誤的打“×”)(1)在分類計數(shù)原理中，兩類不同方案中的方法可以相同()(2)在分類計數(shù)原理中，每類方案中的方法都能直接完成這件事()(3)在分步計數(shù)原理中，每個步驟中完成這個步驟的方法是各不相同的()(4)在分步乘法計數(shù)原理中，事情是分兩步完成的，其中任何一個單獨的步驟都能完成這件事()答案(1)×(2)(3)(4)×2(教材改編)從0,1,2,3,4,5這六個數(shù)字中，任取兩個不同數(shù)字相加，其和為偶數(shù)的不同取法的種數(shù)有_6從0,1,2,3,4,5六個數(shù)字中，任取兩數(shù)和為偶數(shù)可分為兩類：取出的兩數(shù)都是偶數(shù)，共有3種方法；取出的兩數(shù)都是奇數(shù)，共有3種方法，故由分類計數(shù)原理得共有N336種3用0,1，9十個數(shù)字，可以組成有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為_個252選放百位共有9種不同放法；再放十位共有10種不同的放法；同樣，個位也有10種不同的放法，由乘法原理可知共有9×10×10900個三位數(shù)，其中無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)有9×9×8648個，故符合題意的共有900648252個4(教材改編)5位同學報名參加兩個課外活動小組，每位同學限報其中一個小組，則不同的報名方法有_種32由于每位同學報哪個小組是等可能的，故對每名同學而言都有2種不同的報名方式，故共有2×2×2×2×232種不同的報名方法5.現(xiàn)有4種不同的顏色要對如圖57­1所示的四個部分進行著色，要求有公共邊界的兩塊不能用同一種顏色，則不同的著色方法共有_種圖57­148按ABCD順序分四步涂色，共4×3×2×248種不同的著色方法分類計數(shù)原理(1)三個人踢毽子，互相傳遞，每人每次只能踢一下，由甲開始踢，經(jīng)過4次傳遞后，毽子又被踢回給甲，則不同的傳遞方式共有_種(2)滿足a，b1,0,1,2，且關(guān)于x的方程ax22xb0有實數(shù)解的有序數(shù)對(a，b)的個數(shù)為_(1)6(2)13(1)分兩類：甲第一次踢給乙時，滿足條件有3種方法(如圖)，同理，甲先傳給丙時，滿足條件有3種方法由分類計數(shù)原理，共有336種傳遞方法(2)當a0時，有x，b1,0,1,2，有4種可能；當a0時，則44ab0，ab1，()當a1時，b1,0,1,2，有4種可能；()當a1時，b1,0,1，有3種可能；()當a2時，b1,0，有2種可能有序數(shù)對(a，b)共有443213個規(guī)律方法1.第(2)題常見的錯誤：(1)想當然認為a0；(2)誤認為ab.2分類標準是運用分類計數(shù)原理的難點所在，應(yīng)抓住題目中的關(guān)鍵詞、關(guān)鍵元素、關(guān)鍵位置(1)根據(jù)題目特點恰當選擇一個分類標準(2)分類時應(yīng)注意完成這件事情的任何一種方法必須屬于某一類，并且分別屬于不同種類的兩種方法是不同的方法，不能重復(fù)變式訓練1從集合1,2,3，10中任意選出三個不同的數(shù)，使這三個數(shù)成等比數(shù)列，這樣的等比數(shù)列的個數(shù)為_個. 【導學號：62172314】8以1為首項的等比數(shù)列為1,2,4；1,3,9.以2為首項的等比數(shù)列為2,4,8.以4為首項的等比數(shù)列為4,6,9.把這4個數(shù)列的順序顛倒，又得到另外的4個數(shù)列，所求的數(shù)列共有2(211)8個分步計數(shù)原理(1)某學校開設(shè)“藍天工程博覽課程”，組織6個年級的學生外出參觀包括甲博物館在內(nèi)的6個博物館，每個年級任選一個博物館參觀，則有且只有兩個年級選擇甲博物館的情況有_種(2)有六名同學報名參加三個智力項目，每項限報一人，且每人至多參加一項，則共有_種不同的報名方法(1)C·54(2)120(1)有兩個年級選擇甲博物館共有C種情況，其余四個年級每個年級各有5種選擇情況，故有且只有兩個年級選擇甲博物館的情況有C×54種(2)每項限報一人，且每人至多參加一項，因此可由項目選人，第一個項目有6種選法，第二個項目有5種選法，第三個項目只有4種選法，由分步計數(shù)原理，得共有報名方法6×5×4120種規(guī)律方法1.利用分步計數(shù)原理應(yīng)注意：(1)要按事件發(fā)生的過程合理分步，即分步是有先后順序的(2)各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各步驟都完成才算完成這件事2在第(1)題中，除僅有兩個年級選擇甲博物館外，其余4個年級易錯誤認為有45種選擇方法變式訓練2(1)設(shè)集合A1,0,1，B0,1,2,3，定義A*B(x，y)|xAB，yAB，則A*B中元素的個數(shù)為_(2)將甲、乙、丙、丁四名學生分到兩個不同的班，每個班至少分到一名學生，且甲、乙兩名學生不能分到同一個班，則不同的分法的種數(shù)為_(用數(shù)字作答)(1)10(2)8(1)易知AB0,1，AB1,0,1,2,3，x有2種取法，y有5種取法，由分步計數(shù)原理，A*B的元素有2×510個(2)第1步把甲、乙分到不同班級有A2種分法第2步分丙、?。罕?、丁分到同一班級有2種分法，丙、丁分到兩個不同的班級有A2種分法由計數(shù)原理，不同的分法為2×(22)8種兩個計數(shù)原理的綜合應(yīng)用(1)已知集合M1,2,3,4，集合A，B為集合M的非空子集，若對xA，yB，x<y恒成立，則稱(A，B)為集合M的一個“子集對”，則集合M的“子集對”共有_個. 【導學號：62172315】(2)如圖57­2，矩形的對角線把矩形分成A，B，C，D四部分，現(xiàn)用5種不同顏色給四部分涂色，每部分涂1種顏色，要求共邊的兩部分顏色互異，則共有_種不同的涂色方法圖57­2(1)17(2)260(1)當A1時，B有231種情況；當A2時，B有221種情況；當A3時，B有1種情況；當A1,2時，B有221種情況；當A1,3，2,3，1,2,3時，B均有1種情況，所以滿足題意的“子集對”共有7313317(個)(2)區(qū)域A有5種涂色方法；區(qū)域B有4種涂色方法；區(qū)域C的涂色方法可分2類：若C與A涂同色，區(qū)域D有4種涂色方法；若C與A涂不同色，此時區(qū)域C有3種涂色方法，區(qū)域D也有3種涂色方法，所以共有5×4×45×4×3×3260種涂色方法規(guī)律方法1.(1)注意在綜合應(yīng)用兩個原理解決問題時，一般是先分類再分步在分步時可能又用到分類計數(shù)原理(2)注意對于較復(fù)雜的兩個原理綜合應(yīng)用的問題，可恰當?shù)禺嫵鍪疽鈭D或列出表格，使問題形象化、直觀化2解決涂色問題，可按顏色的種數(shù)分類，也可按不同的區(qū)域分步完成，第(2)題中，由于共邊的區(qū)域不同色，從而是按區(qū)域A與區(qū)域C是否同色分類處理的變式訓練3回文數(shù)是指從左到右讀與從右到左讀都一樣的正整數(shù)如22,121,3 443,94 249等顯然2位回文數(shù)有9個：11,22,33，99；3位回文數(shù)有90個：101,111,121，191,202，999.則(1)4位回文數(shù)有_個；(2)2n1(nN*)位回文數(shù)有_個(1)90(2)9×10n(1)4位回文數(shù)相當于填4個方格，首尾相同，且不為0，共9種填法；中間兩位一樣，有10種填法，共計9×1090種填法，即4位回文數(shù)有90個(2)根據(jù)回文數(shù)的定義，此問題也可以轉(zhuǎn)化成填方格，由分步計數(shù)原理，共有9×10n種填法思想與方法1分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理，都涉及完成一件事的不同方法的種數(shù)區(qū)別在于：分類加法計數(shù)原理與分類有關(guān)，各種方法相互獨立，用其中的任一種方法都可以完成這件事；分步乘法計數(shù)原理與分步有關(guān)，各個步驟相互依存，只有各個步驟都完成了，這件事才算完成2涉及加法與乘法原理的混合問題一般是先分類再分步3要恰當畫出示意圖或樹狀圖，使問題的分析更直觀、清楚，便于探索規(guī)律易錯與防范1切實理解“完成一件事”的含義，以確定需要分類還是需要分步進行2分類的關(guān)鍵在于要做到“不重不漏”，分步的關(guān)鍵在于要正確設(shè)計分步的程序，即合理分類，準確分步3確定題目中是否有特殊條件限制課時分層訓練(一)A組基礎(chǔ)達標(建議用時：30分鐘)1標號分別為A，B，C的三個口袋，A袋中有1個紅色小球，B袋中有2個白色小球，C袋中有3個黃色小球，現(xiàn)從中取出兩個小球(1)若取出的兩個球顏色不同，有多少種取法？(2)若取出的兩個球顏色相同，有多少種取法？解(1)若兩個球顏色不同，則應(yīng)在A，B袋中各取一個或A，C袋中各取一個或B，C袋中各取一個，所以應(yīng)有1×21×32×311種取法(2)若兩個球顏色相同，則應(yīng)在B或C袋中取出2個，所以應(yīng)有134種取法2已知集合M3，2，1,0,1,2，P(a，b)表示平面上的點(a，bM)，問：(1)P可表示平面上多少個不同的點？(2)P可表示平面上多少個第二象限的點？(3)P可表示多少個不在直線yx上的點？ 【導學號：62172316】解(1)確定平面上的點P(a，b)可分兩步完成：第一步確定a的值，共有6種確定方法；第二步確定b的值，也有6種確定方法根據(jù)分步計數(shù)原理，得到平面上的點的個數(shù)是6×636.(2)確定第二象限的點，可分兩步完成：第一步確定a，由于a<0，所以有3種確定方法；第二步確定b，由于b>0，所以有2種確定方法由分步計數(shù)原理，得到第二象限點的個數(shù)是3×26.(3)點P(a，b)在直線yx上的充要條件是ab.因此a和b必須在集合M中取同一元素，共有6種取法，即在直線yx上的點有6個由(1)得不在直線yx上的點共有36630(個)3在校運動會上，8名男運動員參加100米決賽其中甲、乙、丙三人必須在1,2,3,4,5,6,7,8八條跑道的奇數(shù)號跑道上，則安排這8名運動員比賽的方式共有多少種？解分兩步安排這8名運動員第一步：安排甲、乙、丙三人，共有1,3,5,7四條跑道可安排，所以安排方式有4×3×224(種)第二步：安排另外5人，可在2,4,6,8及余下的一條奇數(shù)號跑道安排，所以安排方式有5×4×3×2×1120(種)所以安排這8人的方式有24×1202 880(種)4如圖57­3所示的五個區(qū)域中，中心區(qū)域是一幅圖畫，現(xiàn)在要求在其余四個區(qū)域中涂色，現(xiàn)有四種顏色可供選擇圖57­3要求每一個區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域所涂顏色不同，則不同的涂色方法種數(shù)共有多少種？解將四種顏色編號為，A有4種涂法，設(shè)涂，B有3種涂法，設(shè)涂，下面分3類：若C涂，則D可涂，共3種方法；若C涂，則D可涂，共2種方法；若C涂，則D可涂，共2種方法；于是， 不同的涂法為4×3×(322)84(種)5(2016·全國卷改編)如圖57­4，小明從街道的E處出發(fā)，先到F處與小紅會合，再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑共有多少條？圖57­4解分兩步，第一步，從EF，有6條可以選擇的最短路徑；第二步，從FG，有3條可以選擇的最短路徑由分步乘法計數(shù)原理可知有6×318條可以選擇的最短路程6某外語組有9人，每人至少會英語和日語中的一門，其中7人會英語，3人會日語，從中選出會英語和日語的各一人，有多少種不同的選法？解由題意得有1人既會英語又會日語，6人只會英語，2人只會日語第一類：從只會英語的6人中選1人說英語，共有6種方法，則說日語的有213種，此時共有6×318種；第二類：不從只會英語的6人中選1人說英語，則只有1種方法，則選會日語的有2種，此時共有1×22種；所以根據(jù)分類計數(shù)原理知共有18220(種)選法B組能力提升(建議用時：15分鐘)1有一項活動需在3名老師，6名男同學和8名女同學中選人參加(1)若只需一人參加，有多少種不同選法？(2)若需一名老師，一名學生參加，有多少種不同選法？(3)若需老師，男同學、女同學各一人參加，有多少種不同選法？ 【導學號：62172317】解(1)只需一人參加，可按老師、男同學、女同學分三類各自有3,6,8種方法，總方法數(shù)為36817(種)(2)分兩步，先選教師共3種選法，再選學生共6814種選法，由分步計數(shù)原理知，總方法數(shù)為3×1442(種)(3)教師、男、女同學各一人可分三步，每步方法依次為3,6,8種由分步計數(shù)原理知方法數(shù)為3×6×8144(種)2為了做好閱兵人員的運輸，從某運輸公司抽調(diào)車輛支援，該運輸公司有7個車隊，每個車隊的車輛均多于4輛現(xiàn)從這個公司中抽調(diào)10輛車，并且每個車隊至少抽調(diào)1輛，那么共有多少種不同的抽調(diào)方法？解在每個車隊抽調(diào)1輛車的基礎(chǔ)上，還需抽調(diào)3輛車可分成三類：一類是從某1個車隊抽調(diào)3輛，有C種抽調(diào)方法；一類是從2個車隊中抽調(diào)，其中1個車隊抽調(diào)1輛，另1個車隊抽調(diào)2輛，有A種抽調(diào)方法；一類是從3個車隊中各抽調(diào)1輛，有C種抽調(diào)方法故共有CAC84種抽調(diào)方法3將一個四棱錐S­ABCD的每個頂點染上一種顏色，并使同一條棱的兩個端點異色，如果只有5種顏色可供使用，那么不同的染色方法的總數(shù)是多少？解設(shè)想染色按SABCD的順序進行，對S，A，B染色，有5×4×360(種)染色方法由于C點的顏色可能與A同色或不同色，這影響到D點顏色的選取方法數(shù)，故分類討論：C與A同色時(此時C對顏色的選取方法唯一)，D應(yīng)與A(C)，S不同色，有3種選擇；C與A不同色時，C有2種可選擇的顏色，D也有2種顏色可供選擇從而對C，D染色有1×32×27(種)染色方法由分步計數(shù)原理，總的染色方法有60×7420(種)4(2016·揚州期末)對于給定的大于1的正整數(shù)n，設(shè)xa0a1na2n2annn，其中ai0,1,2，n1，i0,1,2，n1，n，且an0，記滿足條件的所有x的和為An.(1)求A2；(2)設(shè)Anf(n)，求f(n)解(1)當n2時，xa02a14a2，a00,1，a10,1，a21，故滿足條件的x共有4個，分別為x004，x024，x104，x124，它們的和是22.(2)由題意得，a0，a1，a2，an1各有n種取法；an有n1種取法，由分步計數(shù)原理可得a0，a1，a2，an1，an的不同取法共有n·nn·(n1)nn(n1)，即滿足條件的x共有nn(n1)個當a0分別取i0,1,2，n1時，a1，a2，an1各有n種取法，an有n1種取法，故An中所有含a0項的和為012(n1)nn1(n1)；同理，An中所有含a1項的和為012(n1)nn1(n1)·n·n；An中所有含a2項的和為012(n1)nn1(n1)·n2·n2；An中所有含an1項的和為012(n1)nn1(n1)·nn1·nn1；當an分別取i1,2，n1時，a0，a1，a2，an1各有n種取法，故An中所有含an項的和為12(n1)nn·nn·nn；所以An(1nn2nn1)·nn··nn(nn1nn1)故f(n)nn1nn1.