N單元 選修4系列N1選修4-1 幾何證明選講圖1622N12013·新課標(biāo)全國(guó)卷 選修41：幾何證明選講如圖16所示，直線AB為圓的切線，切點(diǎn)為B，點(diǎn)C在圓上，ABC的角平分線BE交圓于點(diǎn)E，DB垂直BE交圓于點(diǎn)D.(1)證明：DBDC；(2)設(shè)圓的半徑為1，BC，延長(zhǎng)CE交AB于點(diǎn)F，求BCF外接圓的半徑22解：(1)證明：聯(lián)結(jié)DE，交BC于點(diǎn)G.由弦切角定理得，ABEBCE.而ABECBE，故CBEBCE，BECE.又因?yàn)镈BBE，所以DE為直徑，DCE90°，由勾股定理可得DBDC.(2)由(1)知，CDEBDE，DBDC，故DG是BC的中垂線，所以BG.設(shè)DE的中點(diǎn)為O，聯(lián)結(jié)BO，則BOG60°.從而ABEBCECBE30°，所以CFBF，故RtBCF外接圓的半徑等于.15N12013·廣東卷 (幾何證明選講選做題)如圖13所示，AB是圓O的直徑，點(diǎn)C在圓O上，延長(zhǎng)BC到D使BCCD，過C作圓O的切線交AD于E.若AB6，ED2，則BC_圖13152 解析 由題知ACB90°，又BCCD，ADAB6，BACCAE，AEADED4.CE為切線，ACEABC.ACECAEABCBAC90°.在ACD中，ACD90°，CEAD，CD2ED·DA12，解得CD2 ，故BC2 .圖1515N12013·湖北卷 (選修41：幾何證明選講)如圖15所示，圓O上一點(diǎn)C在直徑AB上的射影為D，點(diǎn)D在半徑OC上的射影為E.若AB3AD，則的值為_158解析 設(shè)AB6k，則AD2k，DOk，CO3k，設(shè)EOx，由射影定理：DO2EO·CO，k2x·3k，x，故8.圖1311N12013·湖南卷 如圖12所示，在半徑為的O中，弦AB，CD相交于點(diǎn)P.PAPB2，PD1，則圓心O到弦CD的距離為_11.解析 由相交弦定理可知PA·PBPC·PD，得PC4，故弦CD5，又半徑r，記圓心O到直線CD的距離為d，則d27，即d2，故d.21N12013·江蘇卷 A選修41：幾何證明選講如圖11所示，AB和BC分別與圓O相切于點(diǎn)D，C，AC經(jīng)過圓心O，且BC2OC.求證：AC2AD.圖11證明：聯(lián)結(jié)OD，因?yàn)锳B和BC分別與圓O相切于點(diǎn)D，C，所以ADOACB90°.又因?yàn)锳A，所以RtADORtACB，所以.又BC2OC2OD.故AC2AD.11N12013·北京卷 如圖12，AB為圓O的直徑，PA為圓O的切線，PB與圓O相交于D，若PA3，PDDB916，則PD_，AB_圖1211.4解析 由于PDDB916，設(shè)PD9a，則DB16a，PB25a，根據(jù)切割線定理有PA2PD·PB，a，PD，PB5.又PBA為直角三角形，AB2AP2PB2，AB4.22N12013·遼寧卷 選修41：幾何證明選講如圖，AB為O的直徑，直線CD與O相切于E，AD垂直CD于D，BC垂直CD于C，EF垂直AB于F，聯(lián)結(jié)AE，BE.證明：(1)FEBCEB；(2)EF2AD·BC.圖1822證明：(1)由直線CD與O相切，得CEBEAB.由AB為O的直徑，得AEEB，從而EABEBF.又EFAB，得FEBEBF，從而FEBEAB.故FEBCEB.(2)由BCCE，EFAB，F(xiàn)EBCEB，BE是公共邊，得RtBCERtBFE，所以BCBF.類似可證，RtADERtAFE，得ADAF.又在RtAEB中，EFAB，故EF2AF·BF，所以EF2AD·BC.N12013·陜西卷 B(幾何證明選做題)如圖14，弦AB與CD相交于O內(nèi)一點(diǎn)E，過E作BC的平行線與AD的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)P，已知PD2DA2，則PE_.圖14解析 利用已知可得，BCEPEDBAP，可得PDEPEA，可得，而PD2DA2，則PA3，則PE2PA·PD6，PE.15C8，E8，N12013·四川卷 設(shè)P1，P2，Pn為平面內(nèi)的n個(gè)點(diǎn)，在平面內(nèi)的所有點(diǎn)中，若點(diǎn)P到P1，P2，Pn點(diǎn)的距離之和最小，則稱點(diǎn)P為P1，P2，Pn點(diǎn)的一個(gè)“中位點(diǎn)”例如，線段AB上的任意點(diǎn)都是端點(diǎn)A，B的中位點(diǎn)則有下列命題：若A，B，C三個(gè)點(diǎn)共線，C在線段AB上，則C是A，B，C的中位點(diǎn)；直角三角形斜邊的中點(diǎn)是該直角三角形三個(gè)頂點(diǎn)的中位點(diǎn)；若四個(gè)點(diǎn)A，B，C，D共線，則它們的中位點(diǎn)存在且唯一；梯形對(duì)角線的交點(diǎn)是該梯形四個(gè)頂點(diǎn)的唯一中位點(diǎn)其中的真命題是_(寫出所有真命題的序號(hào))15解析 對(duì)于，如果中位點(diǎn)不在直線AB上，由三角形兩邊之和大于第三邊可知與題意矛盾而當(dāng)中位點(diǎn)在直線AB上時(shí)，如果不與C重合，則|PA|PB|PC|PA|PB|也不符合題意，故C為唯一的中位點(diǎn)，正確；對(duì)于，我們?nèi)⌒边呴L(zhǎng)為4的等腰直角三角形，此時(shí)，斜邊中點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離均為2，和為6；而我們?nèi)⌒边吷现芯€的中點(diǎn)，該點(diǎn)到直角頂點(diǎn)的距離為1，到兩底角頂點(diǎn)的距離均為，顯然2 16，故該直角三角形的斜邊中點(diǎn)不是中位點(diǎn)，錯(cuò)誤；對(duì)于，當(dāng)A，B，C，D四點(diǎn)共線時(shí)，不妨設(shè)他們的順序就是A，B，C，D，則當(dāng)點(diǎn)P在B，C之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)P到A，B，C，D四點(diǎn)的距離之和相等且最小，即這個(gè)時(shí)候的中位點(diǎn)有無窮多個(gè)，錯(cuò)誤；對(duì)于，同樣根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊的性質(zhì)，如果中位點(diǎn)不在對(duì)角線的交點(diǎn)上，則距離之和肯定不是最小的，正確13N12013·天津卷 如圖12所示，ABC為圓的內(nèi)接三角形，BD為圓的弦，且BDAC.過點(diǎn)A作圓的切線與DB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，AD與BC交于點(diǎn)F，若ABAC，AE6，BD5，則線段CF的長(zhǎng)為_圖1213.解析 由切割線定理可得EA2EB·ED，有EB4，ED9.因?yàn)锳BAC，所以ABCCADB，由弦切角定理可得EABADB，所以EABABC，故AEBC.又BDAC，所以四邊形AEBC是平行四邊形，可得BCAE6，又由平行線分線段成比例定理可得，因?yàn)锳E6，所以BF，故CFBCBF.22N12013·新課標(biāo)全國(guó)卷 選修41：幾何證明選講：如圖15，CD為ABC外接圓的切線，AB的延長(zhǎng)線交直線CD于點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別為弦AB與弦AC上的點(diǎn)，且BC·AEDC·AF，B，E，F(xiàn)，C四點(diǎn)共圓(1)證明：CA是ABC外接圓的直徑；(2)若DBBEEA，求過B，E，F(xiàn)，C四點(diǎn)的圓的面積與ABC外接圓面積的比值圖1522解：(1)證明：因?yàn)镃D為ABC外接圓的切線，所以DCBA，由題設(shè)知，故CDBAEF，所以DBCEFA.因?yàn)锽，E，F(xiàn)，C四點(diǎn)共圓，所以CFEDBC，故EFACFE90°.所以CBA90°，因此CA是ABC外接圓的直徑(2)聯(lián)結(jié)CE，因?yàn)镃BE90°，所以過B，E，F(xiàn)，C四點(diǎn)的圓的直徑為CE，由DBBE，有CEDC，又BC2DB·BA2DB2，所以CA24DB2BC26DB2.而DC2DB·DA3DB2，故過B，E，F(xiàn)，C四點(diǎn)的圓的面積與ABC外接圓面積的比值為.1614N12013·重慶卷 如圖16所示，在ABC中，C90°，A60°，AB20，過C作ABC的外接圓的切線CD，BDCD，BD與外接圓交于點(diǎn)E，則DE的長(zhǎng)為_145解析 聯(lián)結(jié)CE.由弦切角定理知BCDA60°，所以在RtBCD中，CBD30°.又在RtABC中，ABC30°，ACAB10，所以CEAC10.在RtCDE中，DCE30°，故DECE5.N2選修4-2 矩陣212013·福建卷 N2()選修42：矩陣與變換已知直線l：axy1在矩陣A)對(duì)應(yīng)的變換作用下變?yōu)橹本€l：xby1.(1)求實(shí)數(shù)a，b的值；(2)若點(diǎn)P(x0，y0)在直線l上，且A)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)()解：(1)設(shè)直線l：axy1上任意點(diǎn)M(x，y)在矩陣A對(duì)應(yīng)的變換作用下的像是M(x，y)由)，得又點(diǎn)M(x，y)在l上，所以xby1，即x(b2)y1.依題意得解得(2)由A)，得解得y00.又點(diǎn)P(x0，y0)在直線l上，所以x01.故點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1，0)N22013·江蘇卷 B選修42：矩陣與變換已知矩陣A1,0)0,2)，B1,0)2,6)，求矩陣A1B.解：設(shè)矩陣A的逆矩陣為a,c)b,d)，則1,0)0,2)a,c)b,d)1,0)0,1)即a,2c)b,2d)1,0)0,1)，故a1，b0，c0，d，從而A的逆矩陣為A10,)所以A1B0,)1,0)2,6)1,0)2,3)2N2，N32013·浙江卷 已知aR“矩陣與變換和坐標(biāo)系與參數(shù)方程”模塊(1)以極坐標(biāo)系Ox的極點(diǎn)O為原點(diǎn)，極軸Ox為x軸正半軸建立平面直角坐標(biāo)系xOy，并在兩種坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位把極坐標(biāo)方程cos 2sin 1化成直角坐標(biāo)方程(2)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C：(為參數(shù))，過點(diǎn)P(2，1)的直線與曲線C交于A，B兩點(diǎn)若|PA|·|PB|，求|AB|的值2解：(1)極坐標(biāo)方程兩邊同乘以得cos 3sin .又在直角坐標(biāo)系下，cos x，sin y，2x2y2，故化成直角坐標(biāo)方程為xy(x2y2).又(0，0)滿足原極坐標(biāo)方程故所求的直角坐標(biāo)方程為xy(x2y2).(2)由題意，曲線C的直角坐標(biāo)方程為x22y22.設(shè)過點(diǎn)P(2，1)，傾斜角為的直線的參數(shù)方程為(t為參數(shù))及點(diǎn)A，B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2.將直線的參數(shù)方程代入x22y22得(2tcos )22(1tsin )220.即(1sin2)t24(sin cos )t40.則16(2sin cos sin2 )>0，且t1t2，t1t2，由|PA|·|PB|得|t1t2|.故sin2 .又由>0得0<tan <2.故t1t2，t1t2.所以|AB|t1t2|.N3選修4-4 參數(shù)與參數(shù)方程23N32013·新課標(biāo)全國(guó)卷 選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程已知曲線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為2sin .(1)把C1的參數(shù)方程化為極坐標(biāo)方程；(2)求C1與C2交點(diǎn)的極坐標(biāo)(0，02)23解：(1)將消去參數(shù)t，化為普通方程(x4)2(y5)225，即C1：x2y28x10y160.將代入x2y28x10y160，得28cos 10sin 160.所以C1的極坐標(biāo)方程為28cos 10sin 160.(2)C2的普通方程為x2y22y0，由解得或所以C1與C2交點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為，.7N32013·安徽卷 在極坐標(biāo)系中，圓2cos 的垂直于極軸的兩條切線方程分別為()A0(R)和cos 2 B(R)和cos 2C(R)和cos 1 D0(R)和cos 17B解析 圓的直角坐標(biāo)方程為x2y22x0，故垂直于極軸的兩條切線的直角坐標(biāo)方程為x0，x2，其極坐標(biāo)方程分別為(R)和cos 2.9N32013·北京卷 在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)到直線sin 2的距離等于_91解析 極坐標(biāo)系中點(diǎn)的對(duì)應(yīng)直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)的坐標(biāo)為(，1)，極坐標(biāo)系中直線sin 2對(duì)應(yīng)直角坐標(biāo)系中直線方程為y2，所以距離為1.N3()選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知點(diǎn)A的極坐標(biāo)為，直線l的極坐標(biāo)方程為cosa，且點(diǎn)A在直線l上(1)求a的值及直線l的直角坐標(biāo)方程；(2)圓C的參數(shù)方程為(為參數(shù))，試判斷直線l與圓C的位置關(guān)系()解：(1)由點(diǎn)A，在直線cosa上，可得a.所以直線l的方程可化為cos sin 2，從而直線l的直角坐標(biāo)方程為xy20.(2)由已知得圓C的直角坐標(biāo)方程為(x1)2y21.所以圓C的圓心為(1，0)，半徑r1，因?yàn)閳A心C到直線l的距離d<1，所以直線l與圓C相交14N32013·廣東卷 (坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題)已知曲線C的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，C在點(diǎn)(1，1)處的切線為l，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)，則l的極坐標(biāo)方程為_14sin解析 曲線C的參數(shù)方程化為普通方程是x2y22，點(diǎn)(1，1)在曲線上，易求得過(1，1)作圓C切線的方程是：xy2，其極坐標(biāo)方程是(cos sin )2，即sin.16N32013·湖北卷 (選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程)在直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C的參數(shù)方程為(為參數(shù)，a>b>0)在極坐標(biāo)系(與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長(zhǎng)度單位，且以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸)中，直線l與圓O的極坐標(biāo)方程分別為sinm(m為非零常數(shù))與b.若直線l經(jīng)過橢圓C的焦點(diǎn)，且與圓O相切，則橢圓C的離心率為_16.解析 直線l的直角坐標(biāo)方程為xym0，圓O的直角坐標(biāo)方程為x2y2b2，由直線與圓相切得：m22b2.又橢圓C的一般方程為1，直線過橢圓焦點(diǎn)，故mc，所以c22b2e.9N32013·湖南卷 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若直線l：(t為參數(shù))過橢圓C：(為參數(shù))的右頂點(diǎn)，則常數(shù)a的值為_93解析 將參數(shù)方程化為普通方程可得，直線l：即yxa，橢圓C：即1，可知其右頂點(diǎn)為(3，0)，代入直線方程可得a3.N32013·江蘇卷 C選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù))，試求直線l和曲線C的普通方程，并求出它們的公共點(diǎn)的坐標(biāo)解：因?yàn)橹本€l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，由xt1得tx1，代入y2t，得到直線l的普通方程為2xy20.同理得到曲線C的普通方程為y22x.聯(lián)立方程組解得公共點(diǎn)的坐標(biāo)為(2，2)，1.152013·江西卷 N3(1)(坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題)設(shè)曲線C的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，若以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，則曲線C的極坐標(biāo)方程為_N42013·江西卷 (2)(不等式選做題)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，不等式|x2|1|1的解集為_15(1)cos2sin 0(2)解析 (1)曲線方程為yx2，將ysin ，xcos 代入得cos2sin 0.(2)1|x2|110|x2|22x22，得0x4.23N32013·遼寧卷 選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系圓C1，直線C2的極坐標(biāo)方程分別為4sin ，cos2 .(1)求C1與C2交點(diǎn)的極坐標(biāo)；(2)設(shè)P為C1的圓心，Q為C1與C2交點(diǎn)連線的中點(diǎn)已知直線PQ的參數(shù)方程為(tR為參數(shù))，求a，b的值23解：(1)圓C1的直角坐標(biāo)方程為x2(y2)24，直線C2的直角坐標(biāo)方程為xy40.解得所以C1與C2交點(diǎn)的極坐標(biāo)為，.注：極坐標(biāo)系下點(diǎn)的表示不唯一(2)由(1)可得，P點(diǎn)與Q點(diǎn)的直角坐標(biāo)分別為(0，2)，(1，3)，故直線PQ的直角坐標(biāo)方程為xy20.由參數(shù)方程可得yx1，所以解得a1，b2.CN32013·陜西卷 (坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題)如圖15，以過原點(diǎn)的直線的傾斜角為參數(shù)，則圓x2y2x0的參數(shù)方程為_圖15(為參數(shù))解析 設(shè)P(x，y)，則隨著取值變化，P可以表示圓上任意一點(diǎn)，由所給的曲線方程x2y2x0x2y2，表示以，0為圓心，半徑為的圓，可得弦OP1×cos，所以可得故已知圓的參數(shù)方程為(為參數(shù))11N32013·天津卷 已知圓的極坐標(biāo)方程為4cos ，圓心為C，點(diǎn)P的極坐標(biāo)為4，則|CP|_.112 解析 圓的極坐標(biāo)方程為4cos ，圓心C的直角坐標(biāo)為(2，0)P點(diǎn)極坐標(biāo)，化為直角坐標(biāo)為(2，2)，|CP|2 .23N32013·新課標(biāo)全國(guó)卷 選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程已知?jiǎng)狱c(diǎn)P，Q都在曲線C：(t為參數(shù))上，對(duì)應(yīng)參數(shù)分別為t與t2(0<<2)，M為PQ的中點(diǎn)(1)求M的軌跡的參數(shù)方程；(2)將M到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離d表示為的函數(shù)，并判斷M的軌跡是否過坐標(biāo)原點(diǎn)23解：(1)依題意有P(2cos ，2sin )，Q(2cos 2，2sin 2)，因此M(cos cos 2，sin sin 2)M的軌跡的參數(shù)方程為(為參數(shù)，0<<2)(2)M點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離d(0<<2)當(dāng)時(shí)，d0，故M的軌跡過坐標(biāo)原點(diǎn)2N2，N32013·浙江卷 已知aR“矩陣與變換和坐標(biāo)系與參數(shù)方程”模塊(1)以極坐標(biāo)系Ox的極點(diǎn)O為原點(diǎn)，極軸Ox為x軸正半軸建立平面直角坐標(biāo)系xOy，并在兩種坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位把極坐標(biāo)方程cos 2sin 1化成直角坐標(biāo)方程(2)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C：(為參數(shù))，過點(diǎn)P(2，1)的直線與曲線C交于A，B兩點(diǎn)若|PA|·|PB|，求|AB|的值2解：(1)極坐標(biāo)方程兩邊同乘以得cos 3sin .又在直角坐標(biāo)系下，cos x，sin y，2x2y2，故化成直角坐標(biāo)方程為xy(x2y2).又(0，0)滿足原極坐標(biāo)方程故所求的直角坐標(biāo)方程為xy(x2y2).(2)由題意，曲線C的直角坐標(biāo)方程為x22y22.設(shè)過點(diǎn)P(2，1)，傾斜角為的直線的參數(shù)方程為(t為參數(shù))及點(diǎn)A，B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2.將直線的參數(shù)方程代入x22y22得(2tcos )22(1tsin )220.即(1sin2)t24(sin cos )t40.則16(2sin cos sin2 )>0，且t1t2，t1t2，由|PA|·|PB|得|t1t2|.故sin2 .又由>0得0<tan <2.故t1t2，t1t2.所以|AB|t1t2|.15N32013·重慶卷 在直角坐標(biāo)系xOy中，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系若極坐標(biāo)方程為cos 4的直線與曲線(t為參數(shù))相交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|_1516解析 直線的普通方程為x4，代入曲線的參數(shù)方程 得t±2，當(dāng)t2時(shí)x4，y8；當(dāng)t2時(shí)x4，y8，即有A(4，8)，B(4，8)，于是|AB|8(8)16. N4()選修45：不等式選講24N42013·新課標(biāo)全國(guó)卷 選修45：不等式選講已知函數(shù)f(x)|2x1|2xa|，g(x)x3.(1)當(dāng)a2時(shí)，求不等式f(x)g(x)的解集；(2)設(shè)a1，且當(dāng)x時(shí)，f(x)g(x)，求a的取值范圍24解：(1)當(dāng)a2時(shí)，不等式f(x)<g(x)化為|2x1|2x2|x3<0.設(shè)函數(shù)y|2x1|2x2|x3，則y其圖像如圖所示，從圖像可知，當(dāng)且僅當(dāng)x(0，2)時(shí)，y<0，所以原不等式的解集是x|0<x<2(2)當(dāng)x時(shí)，f(x)1a.不等式f(x)g(x)化為1ax3.所以xa2對(duì)x都成立，故a2，即a，從而a的取值范圍是設(shè)不等式|x2|<a(aN*)的解集為A，且A，A.(1)求a的值；(2)求函數(shù)f(x)|xa|x2|的最小值()解：(1)因?yàn)锳，且A，所以<a，且a.解得<a.又因?yàn)閍N*，所以a1.(2)因?yàn)閨x1|x2|(x1)(x2)|3，當(dāng)且僅當(dāng)(x1)(x2)0，即1x2時(shí)取到等號(hào)，所以f(x)的最小值為3.13N42013·湖北卷 設(shè)x，y，zR，且滿足：x2y2z21，x2y3z，則xyz_.13.解析 由柯西不等式得(x2y2z2)(149)14(x2y3z)214，當(dāng)時(shí)取“”，故x，y，z，則xyz.10N42013·湖南卷 已知a，b，cR，a2b3c6，則a24b29c2的最小值為_1012解析 因a2b3c6，由柯西不等式可知(a24b29c2)(121212)(a2b3c)2，可知a24b29c212，即最小值為12.N42013·江蘇卷 D選修45：不等式選講已知ab>0，求證：2a3b32ab2a2b.證明：2a3b3(2ab2a2b)2a(a2b2)b(a2b2)(a2b2)(2ab)(ab)(ab)(2ab)因?yàn)閍b>0，所以ab0，ab>0，2ab>0.從而(ab)(ab)(2ab)0，即2a3b32ab2a2b.24.N42013·遼寧卷 選修45：不等式選講已知函數(shù)f(x)|xa|，其中a>1.(1)當(dāng)a2時(shí)，求不等式f(x)4|x4|的解集；(2)已知關(guān)于x的不等式|f(2xa)2f(x)|2的解集為，求a的值24解：(1)當(dāng)a2時(shí)，f(x)|x4|當(dāng)x2時(shí)，由f(x)4|x4|得2x64，解得x1；當(dāng)2x4時(shí)，f(x)4|x4|無解；當(dāng)x4時(shí)，由f(x)4|x4|得2x64，解得x5；所以f(x)4|x4|的解集為x|x1或x5(2)記h(x)f(2xa)2f(x)，則h(x)由|h(x)|2，解得x.又已知|h(x)|2的解集為x|1x2，所以于是a3.15N42013·陜西卷 (考生注意：請(qǐng)?jiān)谙铝腥}中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題評(píng)分)A(不等式選做題)已知a，b，m，n均為正數(shù)，且ab1，mn2，則(ambn)(bman)的最小值為_2解析 利用柯西不等式式可得：(ambn)(bman)()2mn(ab)22.14N42013·天津卷 設(shè)ab2，b>0，則當(dāng)a_時(shí)，取得最小值142解析 2 1，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立聯(lián)立ab2，b>0，a<0.可解得a2.24N42013·新課標(biāo)全國(guó)卷 選修45：不等式選講設(shè)a，b，c均為正數(shù)，且abc1，證明：(1)abbcca；(2)1.24證明：(1)由a2b22ab，b2c22bc，c2a22ca得a2b2c2abbcca.由題設(shè)得(abc)21，即a2b2c22ab2bc2ca1.所以3(abbcca)1，即abbcca.(2)因?yàn)?b2a，c2b，a2c，故(abc)2(abc)，即abc，又abc1，所以1.1N42013·浙江卷 (1)解不等式|x1|x4|5.(2)求函數(shù)y|x1|x4|x24x的最小值1解：(1)當(dāng)x<1時(shí)，1x4x5，得x0，此時(shí)x0；當(dāng)1x4時(shí)，x14x5，得35，此時(shí)x；當(dāng)x>4時(shí)，x1x45，得x5，此時(shí)x5.綜上所述，原不等式的解集是(，05，)(2)因?yàn)閨x1|x4|(x1)(x4)|3，當(dāng)且僅當(dāng)1x4時(shí)取等號(hào)；x24x(x2)244，當(dāng)且僅當(dāng)x2時(shí)取等號(hào)故|x1|x4|x24x341，當(dāng)x2時(shí)取等號(hào)所以y|x1|x4|x24x的最小值為1.16N42013·重慶卷 若關(guān)于實(shí)數(shù)x的不等式|x5|x3|a無解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_16(，8解析 要使不等式無解，則a必須小于或等于|x5|x3|的最小值，而|x5|x3|(x5)(x3)|8，則a8，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(，8N5 選修4-7 優(yōu)選法與試驗(yàn)設(shè)計(jì)