選修4-2 矩陣與變換1已知矩陣A，B，C，求滿足AXBC的矩陣X.解 AXBC，所以(A1A)XB·B1A1CB1而A1AXB·B1EXBB1X(BB1)X，所以XA1CB1因?yàn)锳1，B1，所以XA1CB1.2設(shè)圓F：x2y21在(x，y)(x，y)(x2y，y)對應(yīng)的變換下變換成另一圖形F，試求變換矩陣M及圖形F的方程解 ，M.圓上任意一點(diǎn)(x，y)變換為(x，y)(x2y，y)，來源:Z#xx#k.Com，即.x2y21，(x2y)2(y)21.即F的方程為(x2y)2y21.(1)求實(shí)數(shù)a、b、c、d的值；(2)求直線y3x在矩陣M所對應(yīng)的線性變換作用下的像的方程解(1)由題設(shè)得：解得(2)矩陣M對應(yīng)的線性變換將直線變成直線(或點(diǎn))，可取直線y3x上的兩點(diǎn)(0，0)，(1，3)，得點(diǎn)(0，0)，(1，3)在矩陣M所對應(yīng)的線性變換作用下的像是點(diǎn)(0，0)，(2，2)從而，直線y3x在矩陣M所對應(yīng)的線性變換作用下的像的方程為yx.4已知二階矩陣A，矩陣A屬于特征值11的一個特征向量為a1，屬于特征值24的一個特征向量為a2，求矩陣A.解由特征值、特征向量定義可知，Aa11a1，即 1×，得同理可得解得a2，b3，c2，d1.因此矩陣A.5設(shè)矩陣M(其中a>0，b>0)(1)若a2，b3，求矩陣M的逆矩陣M1；(2)若曲線C：x2y21在矩陣M所對應(yīng)的線性變換作用下得到曲線C：y21，求a、b的值解(1)設(shè)矩陣M的逆矩陣M1，則MM1.又M. .2x11，2y10，3x20，3y21，即x1，y10，x20，y2，故所求的逆矩陣M1.(2)設(shè)曲線C上任意一點(diǎn)P(x，y)，它在矩陣M所對應(yīng)的線性變換作用下得到點(diǎn)P(x，y)，則，即又點(diǎn)P(x，y)在曲線C上，y21.則b2y21為曲線C的方程又已知曲線C的方程為x2y21，故又a>0，b>0，6給定矩陣M，N，向量.(1)求證：M和N互為逆矩陣；(2)求證：向量同時是M和N的特征向量；(3)指出矩陣M和N的一個公共特征值解 (1)證明：因MN，且NM，所以M和N互為逆矩陣(2)證明：因?yàn)镸，所以是N的特征向量因?yàn)镹，所以是N的特征向量(3)由(2)知，M對應(yīng)于特征向量的特征值為1，N對應(yīng)于特征向量的特征值也為1，故1是矩陣M和N的一個公共特征值