數(shù) 學(xué)N單元 選修4系列 N1 選修4-1 幾何證明選講15N12015·廣東卷 (幾何證明選講選做題)如圖1­1，已知AB是圓O的直徑，AB4，EC是圓O的切線，切點(diǎn)為C，BC1.過圓心O作BC的平行線，分別交EC和AC于點(diǎn)D和點(diǎn)P，則OD_.圖1­1158解析 連接OC，因?yàn)锳B是圓O的直徑，則ACB，而BCOD，故CPOD，由題知CD是圓O的切線，CP是RtODC斜邊上的高，由射影定理知OC2OP·OD，而OC2，OPBC，OD8.15N12015·湖北卷 (選修4­1：幾何證明選講)如圖1­4，PA是圓的切線，A為切點(diǎn)，PBC是圓的割線，且BC3PB，則_圖1­415.解析 由切割線定理知PA2PB·PC，又BC3PB，所以PA2PB.由弦切角定理知PABPCA，又APCBPA，所以PABPCA，所以.21N12015·江蘇卷 A選修4­1：幾何證明選講如圖1­5，在ABC中，ABAC，ABC的外接圓O的弦AE交BC于點(diǎn)D.求證：ABDAEB.圖1­5N2B.選修4­2：矩陣與變換已知x，yR，向量是矩陣A的屬于特征值2的一個(gè)特征向量，求矩陣A以及它的另一個(gè)特征值N3C.選修4­4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程已知圓C的極坐標(biāo)方程為22sin40，求圓C的半徑N4D.選修4­5：不等式選講解不等式x|2x3|2.21A.證明：因?yàn)锳BAC，所以ABDC.又因?yàn)镃E，所以ABDE，又BAE為公共角，所以ABDAEB.B解：由已知，得A2，即，則即所以矩陣A.從而矩陣A的特征多項(xiàng)式f()(2)(1)，所以矩陣A的另一個(gè)特征值為1.C解：以極坐標(biāo)系的極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O，以極軸為x軸的正半軸，建立直角坐標(biāo)系xOy.圓C的極坐標(biāo)方程為2240，化簡得22sin 2cos 40，則圓C的直角坐標(biāo)方程為x2y22x2y40，即(x1)2(y1)26，所以圓C的半徑為.D解：原不等式可化為或解得x5或x.綜上，原不等式的解集是.22N12015·全國卷 選修4­1：幾何證明選講如圖1­8，O為等腰三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，O與ABC的底邊BC交于M，N兩點(diǎn)，與底邊上的高AD交于點(diǎn)G，且與AB，AC分別相切于E，F(xiàn)兩點(diǎn)(1)證明：EFBC；(2)若AG等于O的半徑，且AEMN2，求四邊形EBCF的面積圖1­822解：(1)證明：由于ABC是等腰三角形，ADBC，所以AD是CAB的平分線又因?yàn)镺分別與AB，AC相切于點(diǎn)E，F(xiàn)，所以AEAF，故ADEF，從而EFBC.(2)由(1)知，AEAF，ADEF，故AD是EF的垂直平分線又EF為O的弦，所以O(shè)在AD上連接OE，OM，則OEAE.由AG等于O的半徑得AO2OE，所以O(shè)AE30°.因此ABC和AEF都是等邊三角形因?yàn)锳E2，所以AO4，OE2.因?yàn)镺MOE2，DMMN，所以O(shè)D1.于是AD5，AB.所以四邊形EBCF的面積為×××(2)2×.22N12015·全國卷 選修4­1：幾何證明選講如圖1­7，AB是O的直徑，AC是O的切線，BC交O于點(diǎn)E.(1)若D為AC的中點(diǎn)，證明：DE是O的切線；(2)若OACE，求ACB的大小圖1­722解：(1)證明：連接AE，由已知得，AEBC，ACAB.在RtAEC中，由已知得，DEDC，故DECDCE.連接OE，則OBEOEB.又ACBABC90°，所以DECOEB90°，故OED90°，即DE是O的切線(2)設(shè)CE1，AEx，由已知得AB2，BE.由射影定理可得，AE2CE·BE，所以x2，即x4x2120，可得x，所以ACB60°.N2 選修4-2 矩陣21N12015·江蘇卷 A選修4­1：幾何證明選講如圖1­5，在ABC中，ABAC，ABC的外接圓O的弦AE交BC于點(diǎn)D.求證：ABDAEB.圖1­5N2B.選修4­2：矩陣與變換已知x，yR，向量是矩陣A的屬于特征值2的一個(gè)特征向量，求矩陣A以及它的另一個(gè)特征值N3C.選修4­4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程已知圓C的極坐標(biāo)方程為22sin40，求圓C的半徑N4D.選修4­5：不等式選講解不等式x|2x3|2.21A.證明：因?yàn)锳BAC，所以ABDC.又因?yàn)镃E，所以ABDE，又BAE為公共角，所以ABDAEB.B解：由已知，得A2，即，則即所以矩陣A.從而矩陣A的特征多項(xiàng)式f()(2)(1)，所以矩陣A的另一個(gè)特征值為1.C解：以極坐標(biāo)系的極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O，以極軸為x軸的正半軸，建立直角坐標(biāo)系xOy.圓C的極坐標(biāo)方程為2240，化簡得22sin 2cos 40，則圓C的直角坐標(biāo)方程為x2y22x2y40，即(x1)2(y1)26，所以圓C的半徑為.D解：原不等式可化為或解得x5或x.綜上，原不等式的解集是.21N2、N3、N42015·福建卷 (1)選修4­2：矩陣與變換已知矩陣A)，B)(i)求A的逆矩陣A1；(ii)求矩陣C，使得ACB.(2)選修4­4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的參數(shù)方程為(t為參數(shù))在極坐標(biāo)系(與平面直角坐標(biāo)系xOy取相同的長度單位，且以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸非負(fù)半軸為極軸)中，直線l的方程為sinm(mR)(i)求圓C的普通方程及直線l的直角坐標(biāo)方程；(ii)設(shè)圓心C到直線l的距離等于2，求m的值(3)選修4­5：不等式選講已知a0，b0，c0，函數(shù)f(x)|xa|xb|c的最小值為4.(i)求abc的值；(ii)求a2b2c2的最小值21解：(1)(i)因?yàn)閨A|2×31×42，所以A1)(ii)由ACB得(A1A)CA1B，故CA1B),),3)(2)(i)消去參數(shù)t，得到圓C的普通方程為(x1)2(y2)29.由sinm，得sin cos m0.所以直線l的直角坐標(biāo)方程為xym0.(ii)依題意，圓心C到直線l的距離等于2，即2，解得m3±2.(3)(i)因?yàn)閒(x)|xa|xb|c|(xa)(xb)|c|ab|c，當(dāng)且僅當(dāng)axb時(shí)，等號(hào)成立，又a0，b0，所以|ab|ab，所以f(x)的最小值為abc.又已知f(x)的最小值為4，所以abc4.(ii)由(i)知abc4，由柯西不等式得(491)(abc)216，即a2b2c2，當(dāng)且僅當(dāng)，即a，b，c時(shí)等號(hào)成立故a2b2c2的最小值為.N3 選修4-4 參數(shù)與參數(shù)方程12N32015·安徽卷 在極坐標(biāo)系中，圓8sin 上的點(diǎn)到直線(R)距離的最大值是_126解析 依題意得圓的直角坐標(biāo)方程為x2y28y0，即x2(y4)216，直線的直角坐標(biāo)方程為xy0，故圓心到直線的距離d2，因此圓上的點(diǎn)到直線的最大距離為dr6.14N32015·廣東卷 (坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題)已知直線l的極坐標(biāo)方程為2sin，點(diǎn)A的極坐標(biāo)為A，則點(diǎn)A到直線l的距離為_14.解析 直線l的極坐標(biāo)方程2sin化為直角坐標(biāo)方程為xy10，A在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為，即A(2，2)，故點(diǎn)A到直線的距離為.16N32015·湖北卷 (選修4­4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程)在直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系已知直線l的極坐標(biāo)方程為(sin 3cos )0，曲線C的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，l與C相交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|_162解析 將直線l的極坐標(biāo)方程(sin 3cos )0化為直角坐標(biāo)方程為3xy0，將曲線C的參數(shù)方程(t為參數(shù))化為普通方程為y2x24.聯(lián)立解得或不妨設(shè)點(diǎn)A，B，所以2.21N12015·江蘇卷 A選修4­1：幾何證明選講如圖1­5，在ABC中，ABAC，ABC的外接圓O的弦AE交BC于點(diǎn)D.求證：ABDAEB.圖1­5N2B.選修4­2：矩陣與變換已知x，yR，向量是矩陣A的屬于特征值2的一個(gè)特征向量，求矩陣A以及它的另一個(gè)特征值N3C.選修4­4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程已知圓C的極坐標(biāo)方程為22sin40，求圓C的半徑N4D.選修4­5：不等式選講解不等式x|2x3|2.21A.證明：因?yàn)锳BAC，所以ABDC.又因?yàn)镃E，所以ABDE，又BAE為公共角，所以ABDAEB.B解：由已知，得A2，即，則即所以矩陣A.從而矩陣A的特征多項(xiàng)式f()(2)(1)，所以矩陣A的另一個(gè)特征值為1.C解：以極坐標(biāo)系的極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O，以極軸為x軸的正半軸，建立直角坐標(biāo)系xOy.圓C的極坐標(biāo)方程為2240，化簡得22sin 2cos 40，則圓C的直角坐標(biāo)方程為x2y22x2y40，即(x1)2(y1)26，所以圓C的半徑為.D解：原不等式可化為或解得x5或x.綜上，原不等式的解集是.23N32015·全國卷 選修4­4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1：(t為參數(shù)，t0)，其中0<.在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C2：2sin ，C3：2cos .(1)求C2與C3交點(diǎn)的直角坐標(biāo)；(2)若C1與C2相交于點(diǎn)A，C1與C3相交于點(diǎn)B，求|AB|的最大值23解：(1)曲線C2的直角坐標(biāo)方程為x2y22y0，曲線C3的直角坐標(biāo)方程為x2y22x0.聯(lián)立解得或所以C2與C3交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(0，0)和.(2)曲線C1的極坐標(biāo)方程為(R，0)，其中0<.因此A的極坐標(biāo)為(2sin ，)，B的極坐標(biāo)為(2cos ，)，所以|AB|2sin 2cos |4sin.故當(dāng)時(shí)，|AB|取得最大值，最大值為4.23N32015·全國卷 選修4­4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系xOy中，直線C1：x2，圓C2：(x1)2(y2)21，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系(1)求C1，C2的極坐標(biāo)方程；(2)若直線C3的極坐標(biāo)方程為(R)，設(shè)C2與C3的交點(diǎn)為M，N，求C2MN的面積23解：(1)因?yàn)閤cos ，ysin ，所以C1的極坐標(biāo)方程為cos 2，C2的極坐標(biāo)方程為22cos 4sin 40.(2)將代入22cos 4sin 40，得2340，解得12，2.故12，即|MN|.又C2的半徑為1，所以C2MN的面積為.11N32015·北京卷 在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)到直線(cos sin )6的距離為_111解析 利用公式把極坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為平面直角坐標(biāo)(1，)，把直線方程(cos sin )6轉(zhuǎn)化為xy60.利用點(diǎn)到直線的距離公式可知，d1.21N2、N3、N42015·福建卷 (1)選修4­2：矩陣與變換已知矩陣A)，B)(i)求A的逆矩陣A1；(ii)求矩陣C，使得ACB.(2)選修4­4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的參數(shù)方程為(t為參數(shù))在極坐標(biāo)系(與平面直角坐標(biāo)系xOy取相同的長度單位，且以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸非負(fù)半軸為極軸)中，直線l的方程為sinm(mR)(i)求圓C的普通方程及直線l的直角坐標(biāo)方程；(ii)設(shè)圓心C到直線l的距離等于2，求m的值(3)選修4­5：不等式選講已知a0，b0，c0，函數(shù)f(x)|xa|xb|c的最小值為4.(i)求abc的值；(ii)求a2b2c2的最小值21解：(1)(i)因?yàn)閨A|2×31×42，所以A1)(ii)由ACB得(A1A)CA1B，故CA1B),),3)(2)(i)消去參數(shù)t，得到圓C的普通方程為(x1)2(y2)29.由sinm，得sin cos m0.所以直線l的直角坐標(biāo)方程為xym0.(ii)依題意，圓心C到直線l的距離等于2，即2，解得m3±2.(3)(i)因?yàn)閒(x)|xa|xb|c|(xa)(xb)|c|ab|c，當(dāng)且僅當(dāng)axb時(shí)，等號(hào)成立，又a0，b0，所以|ab|ab，所以f(x)的最小值為abc.又已知f(x)的最小值為4，所以abc4.(ii)由(i)知abc4，由柯西不等式得(491)(abc)216，即a2b2c2，當(dāng)且僅當(dāng)，即a，b，c時(shí)等號(hào)成立故a2b2c2的最小值為.N4 選修4-5 不等式選講5A2、N4、D32015·湖北卷 設(shè)a1，a2，anR，n3.若p：a1，a2，an成等比數(shù)列；q：(aaa)(aaa)(a1a2a2a3an1an)2，則()Ap是q的充分條件，但不是q的必要條件Bp是q的必要條件，但不是q的充分條件Cp是q的充分必要條件Dp既不是q的充分條件，也不是q的必要條件5A解析 當(dāng)p成立，即a1，a2，an成等比數(shù)列時(shí)，滿足柯西不等式(aaa)(aaa)(a1a2a2a3an1an)2等號(hào)成立的條件，故(aaa)(aaa)(a1a2a2a3 an1an)2，即q成立；但當(dāng)q成立時(shí)，不一定非要a1，a2，an成等比數(shù)列，如：當(dāng)a11，a2a3an0時(shí)，q成立，但不滿足a1，a2，an成等比數(shù)列所以p是q的充分條件，但不是q的必要條件故選A.21N12015·江蘇卷 A選修4­1：幾何證明選講如圖1­5，在ABC中，ABAC，ABC的外接圓O的弦AE交BC于點(diǎn)D.求證：ABDAEB.圖1­5N2B.選修4­2：矩陣與變換已知x，yR，向量是矩陣A的屬于特征值2的一個(gè)特征向量，求矩陣A以及它的另一個(gè)特征值N3C.選修4­4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程已知圓C的極坐標(biāo)方程為22sin40，求圓C的半徑N4D.選修4­5：不等式選講解不等式x|2x3|2.21A.證明：因?yàn)锳BAC，所以ABDC.又因?yàn)镃E，所以ABDE，又BAE為公共角，所以ABDAEB.B解：由已知，得A2，即，則即所以矩陣A.從而矩陣A的特征多項(xiàng)式f()(2)(1)，所以矩陣A的另一個(gè)特征值為1.C解：以極坐標(biāo)系的極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O，以極軸為x軸的正半軸，建立直角坐標(biāo)系xOy.圓C的極坐標(biāo)方程為2240，化簡得22sin 2cos 40，則圓C的直角坐標(biāo)方程為x2y22x2y40，即(x1)2(y1)26，所以圓C的半徑為.D解：原不等式可化為或解得x5或x.綜上，原不等式的解集是.24N42015·全國卷 選修4­5：不等式選講設(shè)a，b，c，d均為正數(shù)，且abcd，證明：(1)若ab>cd，則>；(2)>是|ab|<|cd|的充要條件24證明：(1)()2ab2，()2cd2，由題設(shè)abcd，ab>cd，得()2>()2，因此>.(2)(i)若|ab|<|cd|，則(ab)2<(cd)2，即(ab)24ab<(cd)24cd.因?yàn)閍bcd，所以ab>cd.由(1)得>.(ii)若>，則()2>()2，即ab2>cd2.因?yàn)閍bcd，所以ab>cd.于是(ab)2(ab)24ab<(cd)24cd(cd)2，因此|ab|<|cd|.綜上，>是|ab|<|cd|的充要條件24N42015·全國卷 選修4­5：不等式選講已知函數(shù)f(x)|x1|2|xa|，a>0.(1)當(dāng)a1時(shí)，求不等式f(x)>1的解集；(2)若f(x)的圖像與x軸圍成的三角形面積大于6，求a的取值范圍24解：(1)當(dāng)a1時(shí)，f(x)>1化為|x1|2|x1|1>0.當(dāng)x1時(shí)，不等式化為x4>0，無解；當(dāng)1<x<1時(shí)，不等式化為3x2>0，解得<x<1；當(dāng)x1時(shí)，不等式化為x2>0，解得1x<2.所以f(x)>1的解集為.(2)由題設(shè)可得，f(x)所以函數(shù)f(x)的圖像與x軸圍成的三角形的三個(gè)頂點(diǎn)分別為A，B(2a1，0)，C(a，a1)，ABC的面積為(a1)2.由題設(shè)得(a1)2>6，故a>2.所以a的取值范圍為(2，)21N2、N3、N42015·福建卷 (1)選修4­2：矩陣與變換已知矩陣A)，B)(i)求A的逆矩陣A1；(ii)求矩陣C，使得ACB.(2)選修4­4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的參數(shù)方程為(t為參數(shù))在極坐標(biāo)系(與平面直角坐標(biāo)系xOy取相同的長度單位，且以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸非負(fù)半軸為極軸)中，直線l的方程為sinm(mR)(i)求圓C的普通方程及直線l的直角坐標(biāo)方程；(ii)設(shè)圓心C到直線l的距離等于2，求m的值(3)選修4­5：不等式選講已知a0，b0，c0，函數(shù)f(x)|xa|xb|c的最小值為4.(i)求abc的值；(ii)求a2b2c2的最小值21解：(1)(i)因?yàn)閨A|2×31×42，所以A1)(ii)由ACB得(A1A)CA1B，故CA1B),),3)(2)(i)消去參數(shù)t，得到圓C的普通方程為(x1)2(y2)29.由sinm，得sin cos m0.所以直線l的直角坐標(biāo)方程為xym0.(ii)依題意，圓心C到直線l的距離等于2，即2，解得m3±2.(3)(i)因?yàn)閒(x)|xa|xb|c|(xa)(xb)|c|ab|c，當(dāng)且僅當(dāng)axb時(shí)，等號(hào)成立，又a0，b0，所以|ab|ab，所以f(x)的最小值為abc.又已知f(x)的最小值為4，所以abc4.(ii)由(i)知abc4，由柯西不等式得(491)(abc)216，即a2b2c2，當(dāng)且僅當(dāng)，即a，b，c時(shí)等號(hào)成立故a2b2c2的最小值為.N5 優(yōu)選法與試驗(yàn)設(shè)計(jì)