第九章 直線與圓的方程第1節(jié) 直線的方程與兩條直線的位置關(guān)系1（2017浙江11）我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽創(chuàng)立的“割圓術(shù)”可以估算圓周率，理論上能把的值計(jì)算到任意精度.祖沖之繼承并發(fā)展了“割圓術(shù)”，將的值精確到小數(shù)點(diǎn)后七位，其結(jié)果領(lǐng)先世界一千多年，“割圓術(shù)”的第一步是計(jì)算單位圓內(nèi)接正六邊形的面積， .1.解析 正六邊形的面積為6個(gè)正三角形的面積和，所以.題型102 傾斜角與斜率的計(jì)算暫無1.（2013江西理9）過點(diǎn)引直線與曲線相交于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e取最大值時(shí)，直線的斜率等于（ ）. A B C D2（2015山東理9）一條光線從點(diǎn)射出，經(jīng)軸反射后與圓相切，則反射光線所在直線的斜率為( ).A或B或C或D或2.解析 由光的反射原理知，反射光線的反向延長(zhǎng)線必過點(diǎn)設(shè)反射光線所在直線的斜率為，則反射光線所在直線的方程為，即由題意，圓心到此直線的距離等于圓的半徑1，即，所以，解得或故選D題型103 直線的方程暫無1.（2013山東理9）過點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，則直線的方程為（ ）.A. B. C. D. 2.（2013江蘇17）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，直線.設(shè)圓的半徑為，圓心在上.（1）若圓心也在直線上，過點(diǎn)作圓的切線，求切線的方程； （2）若圓上存在點(diǎn)，使，求圓心的橫坐標(biāo)的取值范圍. 3（2015廣東理5）平行于直線且與圓相切的直線的方程是（ ）.A或 B或C或 D或3.解析 設(shè)所求切線方程為，依題意有，解得，所以所求切線的方程為或故選A題型104 兩直線位置關(guān)系的判定暫無1（2015廣東理5）平行于直線且與圓相切的直線的方程是（ ）.A或 B或C或 D或1.解析 設(shè)所求切線方程為，依題意有，解得，所以所求切線的方程為或故選A題型105 有關(guān)距離的計(jì)算1.（2014 重慶理 13）已知直線與圓心為的圓相交于兩點(diǎn)，且為等邊三角形，則實(shí)數(shù)_.2.（2014 新課標(biāo)2理16）設(shè)點(diǎn)，若在圓：上存在點(diǎn)，使得，則的取值范圍是 .3.（2014 新課標(biāo)1理 6）如圖，圓的半徑為，是圓上的定點(diǎn)，是圓上的動(dòng)點(diǎn)，角的始邊為射線，終邊為射線，過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，將點(diǎn)到直線的距離表示成的函數(shù)，則在上的圖像大致為（ ）.1A.1B.1C.Error! Reference source not found.1D.4.（2014 福建理 6）直線與圓相交于兩點(diǎn)，則是“的面積為”的（ ）. A. 充分而不必要條件 B. 必要而不充分條件C. 充分必要條件 D. 既不充分又不必要條件5（2015廣東理5）平行于直線且與圓相切的直線的方程是（ ）.A或 B或C或 D或5.解析 設(shè)所求切線方程為，依題意有，解得，所以所求切線的方程為或故選A6（2015江蘇理10）在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)為圓心且與直線相切的所有圓中，半徑最大的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 6.解析 解法一（幾何意義）：動(dòng)直線整理得，則經(jīng)過定點(diǎn)，故滿足題意的圓與切于時(shí)，半徑最大，從而，故標(biāo)準(zhǔn)方程為解法二（代數(shù)法基本不等式）：由題意，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取“”故標(biāo)準(zhǔn)方程為解法三（代數(shù)法判別式）：由題意，設(shè)，則，因?yàn)?，所以，解得，即的最大值?（2015湖北理14）如圖，圓與軸相切于點(diǎn)，與軸正半軸交于兩點(diǎn)（B在A的上方），且(1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ；(2)過點(diǎn)任作一條直線與圓相交于兩點(diǎn)，下列三個(gè)結(jié)論：； ； 其中正確結(jié)論的序號(hào)是 . （寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)）7.解析（1）由條件可設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(為半徑)，因?yàn)椋?，故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）在中令得,因?yàn)樵趫A上，所以由三角函數(shù)的定義可設(shè)從而.同理，故，8（2015全國(guó)II理7）過三點(diǎn)，的圓交于軸于兩點(diǎn)，則（ ）A.2 B. C. 4 D. 8. 解析 由題意得，所以，所以，即為直角三角形，則外接圓的圓心為的中點(diǎn)，半徑為，所以外接圓方程為，令，則有，所以，故選C9（2015廣東理20）已知過原點(diǎn)的動(dòng)直線與圓相交于不同的兩點(diǎn)，.(1) 求圓的圓心坐標(biāo)；(2) 求線段的中點(diǎn)的軌跡的方程；(3) 是否存在實(shí)數(shù),使得直線與曲線只有一個(gè)交點(diǎn)？若存在，求出的取值范圍；若不存在，說明理由.9. 解析 （1）由得，所以圓的圓心坐標(biāo)為；（2）設(shè)因?yàn)辄c(diǎn)為弦中點(diǎn)，即，所以，即，所以線段的中點(diǎn)的軌跡的方程為；（3）由（2）知點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的部分圓?。ú话▋啥它c(diǎn)），且，又直線過定點(diǎn)，當(dāng)直線與圓相切時(shí)，由得又，所以當(dāng)時(shí)，直線與曲線只有一個(gè)交點(diǎn)10（2015四川理10）設(shè)直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，與圓：相切于點(diǎn)，且為線段中點(diǎn)，若這樣的直線恰有條，則的取值范圍是（ ）.A. B. C. D. 10. 解析 設(shè)直線的方程為，代入拋物線方程得，則.又中點(diǎn)，則，即.代入，可得，即.又由圓心到直線的距離等于半徑，可得.由，可得.故選D.11.（2015重慶理8）已知直線是圓的對(duì)稱軸.過點(diǎn)作圓的一條切線，切點(diǎn)為，則（ ）.A. 2 B. C.6 D.11. 解析 易知圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，圓心為. 又因?yàn)橹本€是圓的對(duì)稱軸，則該直線一定經(jīng)過圓心，得知，又因?yàn)橹本€與圓相切，則為直角三角形,12.（2016全國(guó)甲理4）圓的圓心到直線的距離為1，則（ ）.A. B. C. D.212.A 解析 將圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程為：，故圓心為，所以，解得.故選A13.（2016上海理3），則，的距離為 13. 解析 由題意故填14.（2016全國(guó)丙理16）已知直線與圓交于，兩點(diǎn)，過，分別做的垂線與軸交于，兩點(diǎn)，若，則_.14.4 解析 解法一：根據(jù)直線與圓相交弦長(zhǎng)公式有，得，又，得.因此圓心到直線：的距離，解得因此直線的方程為.所以直線的傾斜角為.如圖所示，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則.解法二：直線：，知直線過定點(diǎn)，又，所以為等邊三角形,因?yàn)椋?，又?所以點(diǎn)在軸上（直線的斜率存在）.所以得直線的傾斜角為，則.第2節(jié) 圓的方程題型106 求圓的方程暫無1.（2014 陜西理 12）若圓的半徑為1，其圓心與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_.2（2015江蘇理10）在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)為圓心且與直線相切的所有圓中，半徑最大的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 2.解析 解法一（幾何意義）：動(dòng)直線整理得，則經(jīng)過定點(diǎn)，故滿足題意的圓與切于時(shí)，半徑最大，從而，故標(biāo)準(zhǔn)方程為解法二（代數(shù)法基本不等式）：由題意，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取“”故標(biāo)準(zhǔn)方程為解法三（代數(shù)法判別式）：由題意，設(shè)，則，因?yàn)?，所以，解得，即的最大值?（2015湖北理14）如圖，圓與軸相切于點(diǎn)，與軸正半軸交于兩點(diǎn)（B在A的上方），且(1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ；(2)過點(diǎn)任作一條直線與圓相交于兩點(diǎn)，下列三個(gè)結(jié)論：； ； 其中正確結(jié)論的序號(hào)是 . （寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)）3.解析（1）由條件可設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(為半徑)，因?yàn)椋?，故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）在中令得,因?yàn)樵趫A上，所以由三角函數(shù)的定義可設(shè)從而.同理，故，4（2015全國(guó)II理7）過三點(diǎn)，的圓交于軸于兩點(diǎn)，則（ ）A.2 B. C. 4 D. 4. 解析 由題意得，所以，所以，即為直角三角形，則外接圓的圓心為的中點(diǎn)，半徑為，所以外接圓方程為，令，則有，所以，故選C題型107 與圓有關(guān)的軌跡問題暫無1（2015廣東理20）已知過原點(diǎn)的動(dòng)直線與圓相交于不同的兩點(diǎn)，.（1）求圓的圓心坐標(biāo)；（2）求線段的中點(diǎn)的軌跡的方程；（3）是否存在實(shí)數(shù),使得直線與曲線只有一個(gè)交點(diǎn)？若存在，求出的取值范圍；若不存在，說明理由.1. 解析 （1）由得，所以圓的圓心坐標(biāo)為；（2）設(shè)因?yàn)辄c(diǎn)為弦中點(diǎn)，即，所以，即，所以線段的中點(diǎn)的軌跡的方程為；（3）由（2）知點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的部分圓弧（不包括兩端點(diǎn)），且，又直線過定點(diǎn)，當(dāng)直線與圓相切時(shí)，由得又，所以當(dāng)時(shí)，直線與曲線只有一個(gè)交點(diǎn)題型115 與圓有關(guān)的最值或取值范圍問題1（2015四川理10）設(shè)直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，與圓：相切于點(diǎn)，且為線段中點(diǎn)，若這樣的直線恰有條，則的取值范圍是（ ）.A. B. C. D. 1. 解析 設(shè)直線的方程為，代入拋物線方程得，則.又中點(diǎn)，則，即.代入，可得，即.又由圓心到直線的距離等于半徑，可得.由，可得.故選D.第3節(jié) 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系題型108 直線與圓的位置關(guān)系1.（2014 湖北理 12）直線和將單位圓分成長(zhǎng)度相等的四段弧，則_.2.（2014 江西理 9）在平面直角坐標(biāo)系中，分別是軸和軸上的動(dòng)點(diǎn)，若以為直徑的圓與直線相切，則圓面積的最小值為（ ）.A. B. C. D.3.（2014 福建理 6）直線與圓相交于兩點(diǎn)，則是“的面積為”的（ ）. A. 充分而不必要條件 B. 必要而不充分條件C. 充分必要條件 D. 既不充分又不必要條件4.（2014 大綱理 15）直線和是圓的兩條切線，若與的交點(diǎn)為，則與的夾角的正切值等于 .5（2015山東理9）一條光線從點(diǎn)射出，經(jīng)軸反射后與圓相切，則反射光線所在直線的斜率為( ).A或B或C或D或5.解析 由光的反射原理知，反射光線的反向延長(zhǎng)線必過點(diǎn)設(shè)反射光線所在直線的斜率為，則反射光線所在直線的方程為，即由題意，圓心到此直線的距離等于圓的半徑1，即，所以，解得或故選D6（2015廣東理5）平行于直線且與圓相切的直線的方程是（ ）.A或 B或C或 D或6.解析 設(shè)所求切線方程為，依題意有，解得，所以所求切線的方程為或故選A7（2015江蘇理10）在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)為圓心且與直線相切的所有圓中，半徑最大的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 7.解析 解法一（幾何意義）：動(dòng)直線整理得，則經(jīng)過定點(diǎn)，故滿足題意的圓與切于時(shí)，半徑最大，從而，故標(biāo)準(zhǔn)方程為解法二（代數(shù)法基本不等式）：由題意，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取“”故標(biāo)準(zhǔn)方程為解法三（代數(shù)法判別式）：由題意，設(shè)，則，因?yàn)?，所以，解得，即的最大值?（2015湖北理14）如圖，圓與軸相切于點(diǎn)，與軸正半軸交于兩點(diǎn)（B在A的上方），且(1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ；(2)過點(diǎn)任作一條直線與圓相交于兩點(diǎn)，下列三個(gè)結(jié)論：； ； 其中正確結(jié)論的序號(hào)是 . （寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)）8.解析（1）由條件可設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(為半徑)，因?yàn)椋?，故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）在中令得,因?yàn)樵趫A上，所以由三角函數(shù)的定義可設(shè)從而.同理，故，9（2015全國(guó)II理7）過三點(diǎn)，的圓交于軸于兩點(diǎn)，則（ ）A.2 B. C. 4 D. 9. 解析 由題意得，所以，所以，即為直角三角形，則外接圓的圓心為的中點(diǎn)，半徑為，所以外接圓方程為，令，則有，所以，故選C10（2015廣東理20）已知過原點(diǎn)的動(dòng)直線與圓相交于不同的兩點(diǎn)，.（1）求圓的圓心坐標(biāo)；（2）求線段的中點(diǎn)的軌跡的方程；（3）是否存在實(shí)數(shù),使得直線與曲線只有一個(gè)交點(diǎn)？若存在，求出的取值范圍；若不存在，說明理由.10. 解析 （1）由得，所以圓的圓心坐標(biāo)為；（2）設(shè)因?yàn)辄c(diǎn)為弦中點(diǎn)，即，所以，即，所以線段的中點(diǎn)的軌跡的方程為；（3）由（2）知點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的部分圓弧（不包括兩端點(diǎn)），且，又直線過定點(diǎn)，當(dāng)直線與圓相切時(shí)，由得又，所以當(dāng)時(shí)，直線與曲線只有一個(gè)交點(diǎn)11（2015四川理10）設(shè)直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，與圓：相切于點(diǎn)，且為線段中點(diǎn)，若這樣的直線恰有條，則的取值范圍是（ ）.A. B. C. D. 11. 解析 設(shè)直線的方程為，代入拋物線方程得，則.又中點(diǎn)，則，即.代入，可得，即.又由圓心到直線的距離等于半徑，可得.由，可得.故選D.12.（2015重慶理8）已知直線是圓的對(duì)稱軸.過點(diǎn)作圓的一條切線，切點(diǎn)為，則（ ）.A. 2 B. C.6 D.12. 解析 易知圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，圓心為. 又因?yàn)橹本€是圓的對(duì)稱軸，則該直線一定經(jīng)過圓心，得知，又因?yàn)橹本€與圓相切，則為直角三角形,13.（2016全國(guó)甲理4）圓的圓心到直線的距離為1，則( ).A. B. C. D.213.A 解析 將圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程為：，故圓心為，所以，解得.故選A題型109 直線與圓的相交關(guān)系及其應(yīng)用1.（2013江西理9）過點(diǎn)引直線與曲線相交于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e取最大值時(shí)，直線的斜率等于（ ）. A B C D2.（2014 重慶理 13）已知直線與圓心為的圓相交于兩點(diǎn)，且為等邊三角形，則實(shí)數(shù)_.3.（2014 江蘇理 9）在平面直角坐標(biāo)系中，直線被圓截得的弦長(zhǎng)為 4.（2016北京理11）在極坐標(biāo)系中，直線圓交于兩點(diǎn)， 則 _.4. 解析 解法一：在平面直角坐標(biāo)系中，題中的直線圓的方程分別是，.可得兩點(diǎn)的坐標(biāo)，即為方程組的解，用代入法可求得兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，所以由兩點(diǎn)的距離公式可求得.解法二：直線的直角坐標(biāo)方程為，圓的直角坐標(biāo)方程為.圓心在直線上，因此為圓的直徑，所以.5.（2016全國(guó)丙理14）在上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)，則事件”直線與圓相交”發(fā)生的概率為 .5. 解析 首先的取值空間的長(zhǎng)度為2，由直線與圓相交，所以，解得，所以得事件發(fā)生時(shí)的取值空間為，其長(zhǎng)度為，利用幾何概型可知，所求概率為. 6.（2016全國(guó)丙理16）已知直線與圓交于，兩點(diǎn)，過，分別做的垂線與軸交于，兩點(diǎn)，若，則_.6.4 解析 解法一：根據(jù)直線與圓相交弦長(zhǎng)公式有得，又，得.因此圓心到直線：的距離，解得因此直線的方程為.所以直線的傾斜角為.如圖所示，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則.解法二：直線：，知直線過定點(diǎn)，又，所以為等邊三角形,因?yàn)?，所?又知,所以點(diǎn)在軸上（直線的斜率存在）.所以得直線的傾斜角為，則.題型110 直線與圓相切、相離關(guān)系及其應(yīng)用暫無1. （2013山東理9）過點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，則直線的方程為（ ）.A. B. C. D. 2.（2013江蘇17）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，直線.設(shè)圓的半徑為，圓心在上.（1）若圓心也在直線上，過點(diǎn)作圓的切線，求切線的方程； （2）若圓上存在點(diǎn)，使，求圓心的橫坐標(biāo)的取值范圍. 3.（2014 江西理 9）在平面直角坐標(biāo)系中，分別是軸和軸上的動(dòng)點(diǎn)，若以為直徑的圓與直線相切，則圓面積的最小值為（ ）.A. B. C. D.4.（2014 大綱理 15）直線和是圓的兩條切線，若與的交點(diǎn)為，則與的夾角的正切值等于 .題型111 直線與圓的綜合1.（2014 新課標(biāo)2理16）設(shè)點(diǎn)，若在圓：上存在點(diǎn)，使得，則的取值范圍是 .2.（2014 湖北理 12）直線和將單位圓分成長(zhǎng)度相等的四段弧，則_.3（2016江蘇18）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，已知以為圓心的圓及其上一點(diǎn).（1）設(shè)圓與軸相切，與圓外切，且圓心在直線上，求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)平行于的直線與圓相交于兩點(diǎn)，且，求直線的方程；（3）設(shè)點(diǎn)滿足：存在圓上的兩點(diǎn)和，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍3.解析 （1）因?yàn)樵谥本€上，設(shè)，因?yàn)榕c軸相切，則圓為，.又圓與圓外切，圓，則，解得，即圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由題意得，設(shè)，則圓心到直線的距離，則，解得或，即或.（3）解法一：不妨設(shè)，又因?yàn)椋?，所以，因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，因此滿足，故有，又點(diǎn)在圓上，故點(diǎn)既在圓上，也在圓上，所以只需兩圓有公共點(diǎn)即可，所以，解得所以實(shí)數(shù)的取值范圍為評(píng)注 對(duì)于第（3）問，嘗試將向量進(jìn)行組合運(yùn)算可以得到解法二：，即.則有必要條件.因?yàn)?，又，即，解?下論證充分性，即存在兩點(diǎn)可使.對(duì)于任意，欲使，此時(shí)，只需要作直線的平行線，使圓心到直線的距離為，必然與圓交于兩點(diǎn)，此時(shí)，且有，因此對(duì)于任意，均滿足題意，綜上實(shí)數(shù)的取值范圍為.4.（2017江蘇13）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，點(diǎn)在圓上若，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍是 4.解析 不妨設(shè)，則，且易知因?yàn)?，故所以點(diǎn)在圓上，且在直線的左上方（含直線）.聯(lián)立，得，如圖所示，結(jié)合圖形知故填評(píng)注 也可以理解為點(diǎn)在圓的內(nèi)部來解決，與解析中的方法一致5（2107全國(guó)3卷理科20）已知拋物線，過點(diǎn)的直線交與，兩點(diǎn)，圓是以線段為直徑的圓（1）求證：坐標(biāo)原點(diǎn)在圓上；（2）設(shè)圓過點(diǎn)，求直線與圓的方程5解析 （1）顯然當(dāng)直線斜率為時(shí)，直線與拋物線交于一點(diǎn)，不符合題意設(shè)，聯(lián)立，得，恒大于，所以，即點(diǎn)在圓上（2）若圓過點(diǎn)，則，即，即，即，化簡(jiǎn)得，解得或.當(dāng)時(shí)，設(shè)圓心為，則，半徑，則圓.當(dāng)時(shí)，設(shè)圓心為，半徑，則圓.題型112 圓與圓的位置關(guān)系及其應(yīng)用暫無1. (2013重慶理7）已知圓，圓，分別是圓上的動(dòng)點(diǎn)，為軸上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（ ）.A. B. C. D.