第三章 導數(shù)第2節(jié) 導數(shù)的應用題型36 利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性1.（2013湖北文21） 設，已知函數(shù)（1） 當時，討論函數(shù)的單調(diào)性；（2） 當時，稱為，關于的加權(quán)平均數(shù)（i）判斷，是否成等比數(shù)列，并證明； (ii)，的幾何平均數(shù)記為稱為，的調(diào)和平均數(shù)，記為. 若，求的取值范圍1. 分析 （1）利用導數(shù)通過分類討論求解；（2）用等比中項證明成 等比數(shù)列；通過函數(shù)的單調(diào)性求解.解析 （1）定義域為，.當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減.（2）計算得，故 所以成等比數(shù)列.因為，即.由得.由知，故，得 當時，.這時，的取值范圍為；當，時，從而，由在上單調(diào)遞增與式，得，即的取值范圍為；當時，從而，由在上單調(diào)遞減與式，得，即的取值范圍為.2.(2013廣東文21）設函數(shù)(1) 當，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2) 當，求函數(shù)在上的最小值和最小值2.分析 （1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，就是求不等式和的解集.（2）函數(shù)是一個三次函數(shù)，其導數(shù)為二次函數(shù)，因為不確定，故需要討論判別式的符號，在時，通過表格列出函數(shù)在閉區(qū)間上的變化情況，比較區(qū)間商戰(zhàn)的函數(shù)值和極值的大小確定最值. 解析 （1）當時，因為，所以恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，函數(shù)沒有單調(diào)遞減區(qū)間.（2）當時，.當時，所以恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，故.當時，由可求得方程的兩個根為，因為（可以利用一元二次方程根與系數(shù)的關系進行判斷：，從而），所以由可得，由可得，所以，隨的變化情況如下表：極大值極小值所以.因為，所以，所以.又因為，（其中）所以，所以.綜上所述，.3.（2013山東文21）. 已知函數(shù) （1）設，求的單調(diào)區(qū)間；（2）設，且對任意，試比較與的大小3.分析 （1）求的單調(diào)區(qū)間，需要對求導，當時，是增函數(shù)，當 時，是減函數(shù)，但是需要對參數(shù)和進行討論.（2）的最小值為，當有唯一極小值點時，極小值就是最小值，然后構(gòu)造函數(shù)求解.解析 （1）由，得.當時，.a.若，當時，恒成立，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是.b.若，當時，函數(shù)單調(diào)遞減，當時，函數(shù)單調(diào)遞增.所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是.當時，令，得.由，得.顯然，.當時，函數(shù)單調(diào)遞減；當時，函數(shù)單調(diào)遞增.所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是.綜上所述，當時，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是；當時，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是；當時，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是,單調(diào)遞增區(qū)間是.（2）由題意知函數(shù)在處取得最小值.由（1）知是的唯一極最小點，故.整理，得，即.令，則.令，得.當時，單調(diào)遞增；當時，單調(diào)遞減.因此.故，即，即.4. （2013四川文21）已知函數(shù)，其中是實數(shù).設，為該函數(shù)圖象上的兩點，且.（1）指出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)的圖象在點處的切線互相垂直，且，證明：；（3）若函數(shù)的圖象在點處的切線重合，求的取值范圍.4.分析 第（1）問直線由二次函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖象求解；第（2）問由導數(shù)的幾何意義知，并借助基本不等式求解；第（3）問中兩直線重合的充要條件是兩直線方程系數(shù)成比例，求時需先分離出，再進一點利用導數(shù)求函數(shù)值域.解析 （1）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，.（2）證明：由導數(shù)的幾何意義可知，點處的切線斜率為，點處的切線斜率為.故當點處的切線與點處的切線垂直時，有.因為，所以.當時，對函數(shù)求導，得.因為，所以，.因此（當且僅當，即且時等號成立）所以，函數(shù)的圖象在點處的切線互相垂直時，有.（3）當或時，故.當時，函數(shù)的圖象在點處的切線方程為，即.當時，函數(shù)的圖象在點處的切線方程為，即.兩切線重合的充要條件是由及知.由得.令，則，且.設，則.所以為減函數(shù).則，所以.而當且趨近于時，無限增大，所以的取值范圍是.故當函數(shù)的圖象在點處的切線重合時，的取值范圍是.5. (2013湖南文21）已知函數(shù).（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）證明：當時，. 5.分析 （1）求出函數(shù)的導數(shù)，解關于導數(shù)的不等式求得其單調(diào)區(qū)間.（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)值的秸，設出有大小的兩個值，通過與的大小，將問題轉(zhuǎn)化為與的大小，從而得出結(jié)論.解析 （1）函數(shù)的定義域為.當時，；當時，.所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）證明：當時，由于，故；同理，當時，.當時，不妨設，由（1）知，.下面證明：，即證.此不等式等價于.令，則.當時，單調(diào)遞減，從而，即.所以.而，所以，從而.由于在上單調(diào)遞增，所以，即.6.（2014新課標文11）若函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，則的取值范圍是（ ）.A. B. C. D.7.（2014山東文20）（本小題滿分13分）設函數(shù) ，其中a為常數(shù).（1）若，求曲線在點處的切線方程；（2）討論函數(shù)的單調(diào)性.8.（2014江西文18）（本小題滿分12分） 已知函數(shù)，其中. （1）當時，求的單調(diào)遞增區(qū)間； （2）若在區(qū)間上的最小值為，求的值.9（2014湖北文21）（本小題滿分14分）為圓周率，為自然對數(shù)的底數(shù). （）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（）求，這個數(shù)中的最大數(shù)與最小數(shù).10. （2014江蘇19（1）已知函數(shù)試討論的單調(diào)性.10.解析 由題意，當，即時，對恒成立，故的單調(diào)遞增區(qū)間為；當，即時，令，則或，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為；當，即時，令，則或，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為11.（2015安徽文10）函數(shù)的圖像如圖所示，則下列結(jié)論成立的是（ ）.A BC D11. 解析 令，可得.又，由函數(shù)圖像的單調(diào)性，可知.由圖可知，是的兩根，且，.所以，得.故選A.12.（2016山東文20）設，.（1）令，求的單調(diào)區(qū)間；（2）已知在處取得極大值，求實數(shù)的取值范圍.12.C 解析 問題轉(zhuǎn)化為對恒成立，故，即恒成立.令，得對恒成立.解法一：構(gòu)造，開口向下的二次函數(shù)的最小值的可能值為端點值，故只需保證，解得.故選C.解法二：當時，不等式恒成立；當時，恒成立，由在上單調(diào)遞增，所以，故；當時，恒成立.由在上單調(diào)遞增，所以.綜上可得，.故選C.評注 曾經(jīng)談到必要條件的問題，如取，則轉(zhuǎn)化為，因此直接選擇C選項.這緣于運氣好，若不然取，則式子恒成立；取，則，此時只能排除A選項.此外，可在未解題之前取，此時，則，但此時，不具備在上單調(diào)遞增，直接排除A，B，D.故選C. 13.（2016天津文20）設函數(shù)，其中.（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）若存在極值點，且，其中，求證：；（3）設，函數(shù)，求證：在區(qū)間上的最大值不小于.13.解析 （1）由 可得，則，當時，時，函數(shù)單調(diào)遞增；當時，當時，函數(shù)單調(diào)遞增；當時，函數(shù)單調(diào)遞減.綜上所述，當時，函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為；當時，函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為. （2）由（1）知，.當時， 單調(diào)遞增.所以當時，單調(diào)遞減.當時，單調(diào)遞增.所以在處取得極小值，不合題意.當時，由（1）知在內(nèi)單調(diào)遞增，可得當時，時，所以在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，所以在處取得極小值，不合題意.當時，即時，在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，所以當時， 單調(diào)遞減，不合題意.當時，即 ，當時，單調(diào)遞增,當時，單調(diào)遞減，所以在處取得極大值，合題意.綜上可知，實數(shù)的取值范圍為.14.（2016全國乙文12）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（ ）.A. B. C. D.14.解析 （1）由，可得，下面分兩種情況討論：當時，有恒成立，所以在上單調(diào)遞增.當時，令，解得或.當變化時，的變化情況如表所示.0極大值極小值所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，.（2）證明：因為存在極值點，所以由（1）知且.由題意得，即，所以.又，且，由題意及（1）知，存在唯一實數(shù)滿足，且，因此，所以.（3）證明：設在區(qū)間上的最大值為，表示，兩數(shù)的最大值，下面分三種情況討論：當時，由知在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以在區(qū)間上的取值范圍為，因此，所以 當時，由（1）和（2） 知，所以在區(qū)間上的取值范圍為，所以. 當時，由（1）和（2）知，所以在區(qū)間上的取值范圍為，因此.綜上所述，當時，在區(qū)間上的最大值不小于.15.（2017全國1文21）已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）若，求的取值范圍.15.解析 （1）.當時，恒成立，所以在上單調(diào)遞增；當時，恒成立，令，則，故，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當時，恒成立，令，則，即，所以，所以在上單調(diào)遞增，同理在上單調(diào)遞減（2）當時，恒成立，符合題意；當時，故，即；當時，從而，故，所以綜上所述，的取值范圍為16.（2017全國2文21）設函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）當時，求的取值范圍.16.解析 （1）.令，得，解得，.所以當時，當或時，所以在區(qū)間，上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù).（2）因為時，所以.所以，令，則，即時，而，所以，所以，.再令，當時，恒成立. 所以在上是增函數(shù)，恒有，從而是增函數(shù)，在上恒成立，故即為所求.題型38 利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性1.（2015陜西文9） 設函數(shù)，則（ ）.A. 既是奇函數(shù)又是減函數(shù) B. 既是奇函數(shù)又是增函數(shù)C. 是有零點的減函數(shù) D. 是沒有零點的奇函數(shù)1. 解析 因為，所以，又的定義域為，關于原點對稱，所以是奇函數(shù)；因為是增函數(shù).因為，所以有零點.故選B.2.（2015新課標2卷文12） 設函數(shù)，則使得成立的的取值范圍是（ ）.A. B. C. D. 2. 解析 由題意知，即為偶函數(shù).因為，所以在上是增函數(shù)，所以使成立的條件是.所以，解之得.故選A.3.（2015安徽文21（1）已知函數(shù).求的定義域，并討論的單調(diào)性；3. 分析 函數(shù)有意義，分母不能為0，即，亦即，即可求出的定義域.又，即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.解析 由題意可知，即，所以的定義域為.又，令，得.由可知，當時，；當時，；當時，.所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為和.4.（2015福建文22（1）已知函數(shù)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.4. 分析 求導函數(shù)，解不等式并與定義域求交集，得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.解析 （1），由，得，解得故的單調(diào)遞增區(qū)間是5.（2015新課標2卷文21(1)）已知函數(shù).討論的單調(diào)性.5. 分析 由題意，先求出函數(shù)的定義域，再對函數(shù)進行求導，得，然后分，兩種情況來討論；解析 的定義域為，.若，則，所以在上單調(diào)遞增.若，則當時，；當時，.所以在 上單調(diào)遞增， 在上單調(diào)遞減.6.（2015四川文21（1）已知函數(shù)，其中.設為的導函數(shù)，討論的單調(diào)性；6. 解析 由已知可得函數(shù)的定義域為.，所以，當時，單調(diào)遞減；當時，單調(diào)遞增.7.（2015天津文20（1） 已知函數(shù)其中，且.求的單調(diào)性；7. 解析 （1）由，可得，當 ，即時，函數(shù) 單調(diào)遞增；當 ，即時，函數(shù)單調(diào)遞減.所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是.8.（2015重慶文19（2）已知函數(shù)在處取得極值.若，討論的單調(diào)性.8. 解析 由（1）得， 故 令，解得，或則，的變化如下表所示：極小值極大值極小值所以在和上為減函數(shù)，在和上為增函數(shù)