第21練圓錐曲線的定義、方程與性質小題提速練明晰考情1.命題角度：圓錐曲線的定義、方程與幾何性質是高考考查的熱點.2.題目難度：中等偏難.考點一 圓錐曲線的定義及標準方程方法技巧(1)應用圓錐曲線的定義解題時，一定不要忽視定義中的隱含條件.(2)凡涉及橢圓或雙曲線上的點到焦點的距離、拋物線上的點到焦點距離，一般可以利用定義進行轉化.(3)求解圓錐曲線的標準方程的方法是“先定型，后計算”.1.已知A(0，7)，B(0，7)，C(12，2)，以C為一個焦點作過A，B的橢圓，則橢圓的另一個焦點F的軌跡方程是()A.y21 B.x21C.y21(y1) D.x21(x1)答案C解析由兩點間距離公式，可得|AC|13，|BC|15，|AB|14，因為A，B都在橢圓上，所以|AF|AC|BF|BC|，|AF|BF|BC|AC|2<14，故F的軌跡是以A，B為焦點的雙曲線的下支.由c7，a1，得b248，所以F的軌跡方程是y21(y1)，故選C.2.已知雙曲線1(a>0，b>0)的左焦點為F，離心率為.若經過F和P(0，4)兩點的直線平行于雙曲線的一條漸近線，則該雙曲線的方程為()A.1 B.1C.1 D.1答案B解析由e知ab，且ca.雙曲線漸近線方程為y±x.又kPF1，c4，則a2b28.故雙曲線方程為1.3.已知橢圓1的兩個焦點是F1，F(xiàn)2，點P在該橢圓上，若|PF1|PF2|2，則PF1F2的面積是_.答案解析由橢圓的方程可知a2，c，且|PF1|PF2|2a4，又|PF1|PF2|2，所以|PF1|3，|PF2|1.又|F1F2|2c2，所以有|PF1|2|PF2|2|F1F2|2，即PF1F2為直角三角形，且PF2F1為直角，所以|F1F2|PF2|×2×1.4.已知拋物線yx2，A，B是該拋物線上兩點，且|AB|24，則線段AB的中點P離x軸最近時點P的縱坐標為_.答案8解析由題意得拋物線的標準方程為x216y，焦點F(0，4)，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，由|AB|AF|BF|(y14)(y24)y1y28，y1y216，則線段AB的中點P的縱坐標y8，線段AB的中點P離x軸最近時點P的縱坐標為8.考點二圓錐曲線的幾何性質方法技巧(1)確定橢圓和雙曲線的離心率的值及范圍，就是確立一個關于a，b，c的方程(組)或不等式(組)，再根據(jù)a，b，c的關系消掉b得到a，c的關系式.(2)要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質、點的坐標的范圍等.5.(2018·全國)雙曲線1(a0，b0)的離心率為，則其漸近線方程為()A.y±x B.y±xC.y±x D.y±x答案A解析雙曲線1的漸近線方程為bx±ay0.又離心率，a2b23a2，ba(a0，b0).漸近線方程為ax±ay0，即y±x.故選A.6.(2018·全國)設F1，F(xiàn)2是雙曲線C：1(a0，b0)的左、右焦點，O是坐標原點.過F2作C的一條漸近線的垂線，垂足為P.若|PF1|OP|，則C的離心率為()A. B.2 C. D.答案C解析如圖，過點F1向OP的反向延長線作垂線，垂足為P，連接PF2，由題意可知，四邊形PF1PF2為平行四邊形，且PPF2是直角三角形.因為|F2P|b，|F2O|c，所以|OP|a.又|PF1|a|F2P|，|PP|2a，所以|F2P|ab，所以ca，所以e.7.(2017·山東)在平面直角坐標系xOy中，雙曲線1(a0，b0)的右支與焦點為F的拋物線x22py(p0)交于A，B兩點，若|AF|BF|4|OF|，則該雙曲線的漸近線方程為_.答案y±x解析設A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得a2y22pb2ya2b20，y1y2.又|AF|BF|4|OF|，y1y24×，即y1y2p，p，即，雙曲線的漸近線方程為y±x.8.(2017·全國)已知雙曲線C：1(a>0，b>0)的右頂點為A，以A為圓心，b為半徑作圓A，圓A與雙曲線C的一條漸近線交于M，N兩點.若MAN60°，則C的離心率為_.答案解析如圖，由題意知點A(a，0)，雙曲線的一條漸近線l的方程為yx，即bxay0，點A到l的距離d.又MAN60°，|MA|NA|b，MAN為等邊三角形，d|MA|b，即b，a23b2，e .考點三圓錐曲線的綜合問題方法技巧(1)圓錐曲線范圍、最值問題的常用方法定義性質轉化法；目標函數(shù)法；條件不等式法.(2)圓錐曲線中的定值、定點問題可以利用特例法尋求突破，然后對一般情況進行證明.9.已知方程1表示橢圓，則實數(shù)m的取值范圍是()A.(，1) B.(2，)C.(1，)D.答案D解析由1轉化成標準方程為1，假設焦點在x軸上，則2m(m1)0，解得m1；假設焦點在y軸上，則(m1)2m0，解得2m.綜上可知，m的取值范圍為.10.(2016·全國)已知F1，F(xiàn)2是雙曲線E：1的左、右焦點，點M在E上，MF1與x軸垂直，sinMF2F1，則E的離心率為()A. B. C. D.2答案A解析如圖，因為MF1與x軸垂直，所以|MF1|.又sinMF2F1，所以，即|MF2|3|MF1|.由雙曲線的定義得2a|MF2|MF1|2|MF1|，所以b2a2，所以c2b2a22a2，所以離心率e.11.過拋物線yax2 (a>0)的焦點F作一條直線交拋物線于A，B兩點，若線段AF，BF的長分別為m，n，則_.答案解析顯然直線AB的斜率存在，故設直線方程為ykx，與yax2聯(lián)立，消去y得ax2kx0，設A(x1，ax)，B(x2，ax)，則x1x2，x1x2，xx，max，nax，mn·，mn，.12.(2018·齊齊哈爾模擬)已知橢圓1(a>b>0)的短軸長為2，上頂點為A，左頂點為B，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是橢圓的左、右焦點，且F1AB的面積為，點P為橢圓上的任意一點，則的取值范圍為_.答案解析由已知得2b2，故b1，F(xiàn)1AB的面積為，(ac)b，ac2，又a2c2(ac)(ac)b21，a2，c，又2|PF1|2，1|PF1|24|PF1|4，14，即的取值范圍為.1.若點O和點F(2，0)分別為雙曲線y21(a0)的中心和左焦點，點P為雙曲線右支上的任意一點，則·的取值范圍為()A.32，) B.32，)C. D.答案B解析由題意，得22a21，即a，設P(x，y)，x，(x2，y)，則·(x2)xy2x22x12，因為x，所以·的取值范圍為32，).2.若橢圓的對稱軸是坐標軸，且短軸的一個端點與兩個焦點組成一個正三角形，焦點到同側頂點的距離為，則橢圓的方程為_.答案1或1解析由題意，得所以所以b2a2c29.所以當橢圓焦點在x軸上時，橢圓的方程為1；當橢圓焦點在y軸上時，橢圓的方程為1.故橢圓的方程為1或1.3.已知A(1，2)，B(1，2)，動點P滿足.若雙曲線1(a>0，b>0)的漸近線與動點P的軌跡沒有公共點，則雙曲線離心率的取值范圍是_.答案(1，2)解析設P(x，y)，由題設條件，得動點P的軌跡方程為(x1)(x1)(y2)(y2)0，即x2(y2)21，它是以(0，2)為圓心，1為半徑的圓.又雙曲線1(a>0，b>0)的漸近線方程為y±x，即bx±ay0，由題意，可得>1，即>1，所以e<2，又e>1，故1<e<2.解題秘籍(1)橢圓的焦點位置不明確時，要分焦點在x軸上或y軸上進行討論.(2)范圍問題要注意圓錐曲線上點的坐標的范圍和幾何意義，不要忽略離心率本身的限制條件.1.已知橢圓1(a)的焦點為F1，F(xiàn)2，且離心率e，若點P在橢圓上，|PF1|4，則|PF2|的值為()A.2 B.6 C.8 D.14答案A解析橢圓1(a)，橢圓的焦點在x軸上，b，c，則離心率e，即，解得a29，a3，橢圓的長軸長為2a6，由橢圓的定義可知，|PF1|PF2|4|PF2|6，|PF2|2.2.設F為拋物線C：y24x的焦點，曲線y(k>0)與C交于點P，PFx軸，則k等于()A. B.1C. D.2答案D解析因為拋物線方程是y24x，所以F(1，0). 又因為PFx軸，所以P(1，2)，把P點坐標代入曲線方程y(k>0)，即2，所以k2.3.過拋物線y22px(p0)的焦點作直線交拋物線于P，Q兩點，若線段PQ中點的橫坐標為3，|PQ|10，則拋物線的方程是()A.y24x B.y22xC.y28x D.y26x答案C解析設拋物線y22px(p0)的焦點為F，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由拋物線的定義可知，|PQ|PF|QF|x1x2(x1x2)p，線段PQ中點的橫坐標為3，又|PQ|10，106p，可得p4，拋物線的方程為y28x.4.已知雙曲線C：1(a>0，b>0)的右焦點為F，點B是虛軸上的一個頂點，線段BF與雙曲線C的右支交于點A，若2，且|4，則雙曲線C的方程為()A.1 B.1C.1 D.1答案D解析設A(x，y)，B為虛軸的上頂點，右焦點為F(c，0)，點B(0，b)，線段BF與雙曲線C的右支交于點A，且2，x，y，代入雙曲線方程，得1，且c2a2b2，b.|4，c2b216，a2，b，雙曲線C的方程為1.5.已知雙曲線：1(a>0，b>0)的一條漸近線為l，圓C：(xa)2y28與l交于A，B兩點，若ABC是等腰直角三角形，且5(其中O為坐標原點)，則雙曲線的離心率為()A. B.C. D.答案D解析雙曲線的漸近線方程為yx，圓(xa)2y28的圓心為(a，0)，半徑r2，由于ACB，由勾股定理得|AB|4，故|OA|AB|1.在OAC，OBC中，由余弦定理得cosBOC，解得a213.由圓心到直線yx的距離為2，得2，結合c2a2b2，解得c，故離心率為.6.(2018·天津)已知雙曲線1(a0，b0)的離心率為2，過右焦點且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點.設A，B到雙曲線的同一條漸近線的距離分別為d1和d2，且d1d26，則雙曲線的方程為()A.1 B.1C.1 D.1答案C解析如圖，不妨設A在B的上方，則A，B.其中的一條漸近線為bxay0，則d1d22b6，b3.又由e2，知a2b24a2，a.雙曲線的方程為1.故選C.7.已知O為坐標原點，F(xiàn)是橢圓C：1(ab0)的左焦點，A，B分別為C的左、右頂點.P為C上一點，且PFx軸.過點A的直線l與線段PF交于點M，與y軸交于點E.若直線BM經過OE的中點，則C的離心率為()A. B. C. D.答案A解析設M(c，m)(m0)，則E，OE的中點為D，則D，又B，D，M三點共線，所以，a3c，所以e.8.設F1，F(xiàn)2分別為雙曲線1(a>0，b>0)的左、右焦點，雙曲線上存在一點P使得|PF1|PF2|3b，|PF1|·|PF2|ab，則該雙曲線的離心率為()A. B. C. D.3答案B解析不妨設P為雙曲線右支上一點，|PF1|r1，|PF2|r2.根據(jù)雙曲線的定義，得r1r22a，又r1r23b，故r1，r2.又r1·r2ab，所以·ab，解得(負值舍去)，故e，故選B.9.設F1，F(xiàn)2分別是橢圓1的左、右焦點，P為橢圓上任一點，點M的坐標為(6，4)，則|PM|PF1|的最大值為_.答案15解析因為橢圓1中，a5，b4，所以c3，得焦點為F1(3，0)，F(xiàn)2(3，0).根據(jù)橢圓的定義，得|PM|PF1|PM|(2a|PF2|)10(|PM|PF2|).因為|PM|PF2|MF2|，當且僅當P在MF2的延長線上時等號成立，此時|PM|PF1|的最大值為10515.10.(2017·全國)已知F是拋物線C：y28x的焦點，M是C上一點，F(xiàn)M的延長線交y軸于點N.若M為FN的中點，則|FN|_.答案6解析如圖，不妨設點M位于第一象限內，拋物線C的準線交x軸于點A，過點M作準線的垂線，垂足為點B，交y軸于點P，PMOF.由題意知，F(xiàn)(2，0)，|FO|AO|2.點M為FN的中點，PMOF，|MP|FO|1.又|BP|AO|2，|MB|MP|BP|3.由拋物線的定義知|MF|MB|3，故|FN|2|MF|6.11.已知拋物線y22px(p>0)上的一點M(1，t)(t>0)到焦點的距離為5，雙曲線1(a>0)的左頂點為A，若雙曲線的一條漸近線與直線AM平行，則實數(shù)a的值為_.答案3解析由題意知15，p8.M(1，4)，由于雙曲線的左頂點A(a，0)，且直線AM平行于雙曲線的一條漸近線，則a3.12.已知橢圓C：1(ab0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P是橢圓上異于長軸端點的任意一點，若M是線段PF1上一點，且滿足2，·0，則橢圓C的離心率的取值范圍為_.答案解析設P(x，y)(y0)，取MF1的中點N，由2知，解得點N，又·0，所以，連接ON，由三角形的中位線可知，即(x，y)·0，整理得(xc)2y2c2(y0)，所以點P的軌跡為以(c，0)為圓心，c為半徑的圓(去除兩點(0，0)，(2c，0)，要使得圓與橢圓有公共點，則acc，所以e，又0<e<1，所以橢圓的離心率的取值范圍為.