第四章 三角函數(shù)第3節(jié) 三角恒等變換題型55 兩角和與差公式的證明1.（2015陜西文）“”是“”的（ ）.A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件C. 充分必要條件 D. 既不充分也不必要條件1.解析 當時，即；當時，有，所以或.即不能推出.故選A.命題意圖 考查三角函數(shù)恒等變形以及命題相關(guān).題型56 化簡求值1.（2014陜西文13）設(shè)，向量，若，則_.2.（2014江蘇15）已知，（1）求的值；（2）求的值3.（2014天津文16）（本小題滿分13分）在中，內(nèi)角所對的邊分別為，已知，.(1)求的值；(2)求的值.4.（2015重慶文）若，則（ ）.A. B. C. D.4.解析 由兩角差的正切公式知.故選A.5.（2015四川文）已知，則的值是_.5.解析 由題意可得，6.（2015江蘇文）已知，則的值為 6.解析 解法一：解法二：，故解法三：，故7.（2015江蘇）設(shè)向量，則的值為 7.解析 解法一（強制法）：由題意得，.從而（恰當整理化簡即可）.解法二（部分規(guī)律法）：由題意，從而，即的結(jié)果呈現(xiàn)以為周期的變化，故.解法三（通用規(guī)律法）：由題意得：，的周期為，在一個周期內(nèi)其和為，故解法四（部分規(guī)律法）：則，設(shè)，由誘導(dǎo)公式，故，從而分組求和設(shè)，由誘導(dǎo)公式，故，從而分組求和又，從而評注 解法一、二雖然足夠復(fù)雜，但只要羅列清楚并逐步解決，就會發(fā)現(xiàn)其實比較簡單，從一般法角度進行解決思路難尋，便可以從具體值的角度思考，這給了江蘇考區(qū)的大部分普通考生以希望解法三側(cè)重對三角公式的化簡，側(cè)重從一般的角度找到問題的突破口但解法三中化化簡使用積化和差簡化過程，即，但高中階段該公式已不要求掌握，因此此題順利化簡確實也比較麻煩解法四在解法三的基礎(chǔ)之上進行了優(yōu)化，不化到最簡形式也可解決問題也有學(xué)生考慮構(gòu)造，則和都是單位向量且夾角為，即8.（2015廣東文）已知（1）求的值；（2）求的值8.解析 （1）.（2）.9.（2017全國3文4）已知，則=（ ）.A B C D9.解析 .故選A.評注 考點為三角函數(shù)的恒等變換，有一定難度，關(guān)鍵在于對正弦二倍角公式的運用.失分的原因在于解題的思路是否清晰以及計算錯誤.10.（2017山東文4）已知，則（ ）.A. B. C. D. 10.解析 .故選D.11.（2017全國1文15）已知，則 .11.解析 由.又， 所以 .因為，所以，.所以. 12.（2017江蘇5）若，則 12.解析 解法一（角的關(guān)系）：故填解法二（直接化簡）：，所以故填題型57 三角函數(shù)綜合1.(2013廣東文16） 已知函數(shù)，(1) 求的值； (2) 若，求1.分析 （1）把代入函數(shù)解析式，借助特殊角的三角函數(shù)值求.（2）由求出，利用兩角差的余弦公式求.解析 （1）因為，所以.（2）因為，所以.所以.2. (2013湖南文16已知函數(shù).（1） 求的值；（2） 求使 成立的的取值集合.2. 分析 （1）利用三角恒等變形公式將變形為只含一個角的一種三角函數(shù)形式后求解. （2）根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)變形為關(guān)于自變量的不等式求解.解析 （1）.（2）.等價于，即.于是.解得.故使成立的的取值集合為.3.（2014江西文16）（本小題滿分12分） 已知函數(shù)為奇函數(shù)，且，其中，. （1）求的值； （2）若，求的值.4. （2014廣東文16）（12分）已知函數(shù)，且.（1）求的值；（2）若，求.5.（2014湖南文21）（本小題滿分13分）已知函數(shù).（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）記為的從小到大的第個零點，求證：對一切，有.6.（2014遼寧文21）（本小題滿分12分）已知函數(shù)，.求證：（1）存在唯一，使；（2）存在唯一，使，且對（1）中的，有.7.（2014四川文17）(本小題滿分12分) 已知函數(shù).（1）求的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若是第二象限角，求的值.8.（2017全國1文11）的內(nèi)角，的對邊分別為，已知，則（ ）.A B C D8.解析 由題意得，即，所以.由正弦定理，得，即，得.故選B.9.（2017北京文16）已知函數(shù).（1）求的最小正周期；（2）求證：當時，9.解析 (1) ，所以，所以的最小正周期為.(2)當時，令，則.因為在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以.