第3節(jié) 基本不等式及其應(yīng)用題型86 利用基本不等式求函數(shù)最值1. （2013山東文12）設(shè)正實(shí)數(shù)，滿足，則當(dāng)取得最大值時(shí)，的最大值為（ ）.A. B. C. D. 1.分析 含三個(gè)參數(shù)，消元，利用基本不等式及配方法求最值.解析 ，所以.當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)“=”成立，此時(shí)，所以.所以當(dāng)時(shí)，取最大值2.故選C.2. (2013重慶文7） 關(guān)于的不等式的解集為，且，則 （ ）.A. B. C. D. 2.分析 利用因式分解法解一元二次不等式尋求的關(guān)系式后代入求解.解析 由得，即，故原不等式的解集為.由得，即，所以.故選A.3.（2013四川文13） 已知函數(shù)在時(shí)取得最小值，則 .3分析 借助基本不等式求最值的條件求解解析 ，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)取得最小值.又由已知時(shí)，所以，即.4. (2013天津文14） 設(shè)， 則的最小值為 . 4.分析 分和，去掉絕對(duì)值符號(hào)，用均值不等式求解.解析 當(dāng)時(shí)，當(dāng)，綜上所述，的最小值是5. （2013遼寧文21）（1）證明：當(dāng)時(shí)，；（2）若不等式對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.5.分析 利用構(gòu)造法，分別判斷與，與的大小關(guān)系；利用比較法或構(gòu)造函數(shù)，通過導(dǎo)數(shù)求解范圍.解析 （1）證明：記，則，當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，在上是減函數(shù).又，所以當(dāng)時(shí)，即.記，則當(dāng)時(shí)，所以在上是減函數(shù)，則,即綜上，.（2）解法一：因?yàn)楫?dāng)時(shí)，所以，當(dāng)時(shí)，不等式對(duì)恒成立下面證明，當(dāng)時(shí)，不等式對(duì)不恒成立.因?yàn)楫?dāng)時(shí)，,所以存在滿足，即當(dāng)時(shí)，不等式對(duì)不恒成立.綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是 解法二：記，則.記，則.當(dāng)時(shí)，因此于是在上是減函數(shù)，因此，當(dāng)時(shí)，故當(dāng)時(shí)，從而在上是減函數(shù)，所以，即當(dāng)時(shí)，不等式對(duì)恒成立.下面證明，當(dāng)時(shí)，不等式對(duì)不恒成立.當(dāng)時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，因此在上是增函數(shù)，故；當(dāng)時(shí)，又，故存在使，則當(dāng)時(shí)，所以在上是增函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，不等式，對(duì)不恒成立.綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.6.（2014重慶文9）若的最小值是（ ）.A. B. C. D.7.（2014江蘇14）若的內(nèi)角滿足，則的最小值是 8.（2014江西文13）在等差數(shù)列中，公差為，前項(xiàng)和為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最大值，則的取值范圍 .9.（2014江蘇14）若的內(nèi)角滿足，則的最小值是 10.（2014江西文13）在等差數(shù)列中，公差為，前項(xiàng)和為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最大值，則的取值范圍 .11.（2014遼寧文16）對(duì)于，當(dāng)非零實(shí)數(shù)，滿足，且使最大時(shí)，的最小值為 .12.（2015福建文5）若直線過點(diǎn)，則的最小值等于（ ）.A2 B3 C4 D512.解析 由已知可得，則.因?yàn)?，所以，故，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).13.（2015山東文14）定義運(yùn)算“”：. 當(dāng) 時(shí)， 的最小值為 .13.解析 由所給新定義運(yùn)算，可知.又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào). 故所求最小值為.14.（2015重慶文14）設(shè)，則的最大值為 _.14.解析 令，則因?yàn)椋怨实淖畲笾禐?15.（2016上海文13）設(shè)，若關(guān)于的方程組無解，則的取值范圍是 .15.解析 解法一：即線性方程組表示兩條平行的直線，故由條件，且，所以.故填.解法二：將方程組中的式化簡得，代入式整理得，方程組無解應(yīng)該滿足且，所以且，所以由基本不等式得.故填.評(píng)注 或.16.（2017山東文12）若直線過點(diǎn)，則的最小值為 .16.解析 由題意，故（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立）.17.（2017天津文13）若a，則的最小值為 .17.解析 ，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).18.（2017江蘇10）某公司一年購買某種貨物噸，每次購買噸，運(yùn)費(fèi)為萬元次，一年的總存儲(chǔ)費(fèi)用為萬元要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和最小，則的值是 18.解析 一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)故填題型87 利用基本不等式證明不等式暫無題型 基本不等式及其應(yīng)用1.（2015湖南文7）若實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為（ ）.A. B. 2 C. 2 D. 41.解析 由可知. 由基本不等式可得：. 所以，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即的最小值為.故選C. 不等式的解法(藍(lán)色的是2015年多的分類)題型 不等式的解法1.（2015廣東文11）不等式的解集為 （用區(qū)間表示）1.解析 由，得，即，解得，所以不等式的解集為.故應(yīng)填2.（2015江蘇7）不等式的解集為 2.解析 由題意，根據(jù)是單調(diào)遞增函數(shù)，得，即，故不等式的解集為或?qū)懗?.（2015全國2文12）設(shè)函數(shù)，則使得成立的的取值范圍是（ ）.A. B. C. D. 3.解析 由題意知，即為偶函數(shù).因?yàn)?，所以在上是增函?shù)，所以使成立的條件是 .所以，解之得 .故選A.4.（2015山東文8）若函數(shù)是奇函數(shù)，則使成立的的取值范圍為（ ）.A. B. C. D.4.解析 因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以對(duì)定義域內(nèi)的每一個(gè)，均有，即.整理得，所以，所以.令，得.所以，所以.故選C.題型 絕對(duì)值不等式的解法1.（2015天津文4）設(shè)，則“”是“”的（ ）.A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件1.解析 由，可知“”是“”的充分而不必要條件.故選A. 不等式的綜合題型 不等式恒成立問題中求參數(shù)的取值范圍題型 函數(shù)與不等式綜合1.（2015四川文21）已知函數(shù)，其中.（1）設(shè)為的導(dǎo)函數(shù)，討論的單調(diào)性；（2）求證：存在，使得恒成立，并且在區(qū)間內(nèi)有唯一解.1.解析 （1）由已知可得函數(shù)的定義域?yàn)?，所以，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.（2）由，解得，令.則，所以存在，使得.令，其中.由，可知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.故，即.當(dāng)時(shí)，有，再由（1）可知，在區(qū)間上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，所以；當(dāng)時(shí)，所以.又當(dāng)時(shí)，故時(shí)，.綜上所述，存在，使得恒成立，且在區(qū)間內(nèi)有唯一解.2.（2015福建文21）已知函數(shù).（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位長度，再向下平移（）個(gè)單位長度后得到函數(shù)的圖像，且函數(shù)的最大值為2（）求函數(shù)的解析式；（）求證：存在無窮多個(gè)互不相同的正整數(shù)，使得2.解析 （1）因?yàn)?所以函數(shù)的最小正周期（2）（i）將的圖像向右平移個(gè)單位長度后得到的圖像，再向下平移個(gè)單位長度后得到的圖像又函數(shù)的最大值為2，所以，解得所以（ii）要證明存在無窮多個(gè)互不相同的正整數(shù)，使得，就是要證明存在無窮多個(gè)互不相同的正整數(shù)，使得，即由知，存在，使得由正弦函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)時(shí)，均有因?yàn)榈闹芷跒?，所以?dāng)時(shí)，均有因?yàn)閷?duì)任意的整數(shù)，所以對(duì)任意的正整數(shù)，都存在正整數(shù)，使得即存在無窮多個(gè)互不相同的正整數(shù)，使得3.（2015福建文22）已知函數(shù)（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）求證：當(dāng)時(shí)，；（3）確定實(shí)數(shù)的所有可能取值，使得存在，當(dāng)時(shí)，恒有3.解析 （1），由，得，解得故的單調(diào)遞增區(qū)間是（2）令，則有，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，（3）由（2）知，當(dāng)時(shí)，不存在滿足題意；當(dāng)時(shí)，對(duì)于，有，則，從而不存在滿足題意.當(dāng)時(shí)，令，則有由得，解得（舍），當(dāng)時(shí)，故在上單調(diào)遞增從而當(dāng)時(shí)，即.綜上，的取值范圍是4.（2015廣東文21）設(shè)為實(shí)數(shù)，函數(shù)（1）若，求的取值范圍；（2）討論的單調(diào)性；（3）當(dāng)時(shí)，討論在區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)4.解析 （1），因?yàn)椋?當(dāng)時(shí)，顯然成立；當(dāng)時(shí)，則有，所以，所以.綜上所述，的取值范圍是.（2），對(duì)于，其對(duì)稱軸為，開口向上，所以在上單調(diào)遞增；對(duì)于，其對(duì)稱軸為，開口向上，所以在上單調(diào)遞減.綜上，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（3）由（2）得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以.(i)當(dāng)時(shí)，.令=0，即.因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以.而在上單調(diào)遞增，.所以在上，故與在無交點(diǎn).當(dāng)時(shí)，即.所以，所以.因?yàn)?，所?故當(dāng)時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn).(ii)當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)， ，而在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，.下面比較與的大?。阂?yàn)椋?結(jié)合圖像可知當(dāng)時(shí)，與有兩個(gè)交點(diǎn). 綜上，當(dāng)時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，與有兩個(gè)零點(diǎn).5.（2015全國2文21）已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)當(dāng)有最大值，且最大值大于時(shí)，求的取值范圍.5.解析 (1)的定義域?yàn)椋?若，則，所以在上單調(diào)遞增.若，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以在 上單調(diào)遞增， 在上單調(diào)遞減.(2)由(1)知，當(dāng)時(shí)，在上無最大值；當(dāng)時(shí)，在處取得最大值，最大值為.因此等價(jià)于.令，則在上單調(diào)遞增，又.于是，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.因此，的取值范圍是.6.（2015湖南文21）函數(shù)，記為的從小到大的第個(gè)極值點(diǎn).（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）若對(duì)一切恒成立，求的取值范圍.6.解析 （1）.令，由，得，即， 若，即，則；若，即，則.因此，在區(qū)間與上，的符號(hào)總相反，于是當(dāng)時(shí)，取得極值，所以，此時(shí)，易知，而是常數(shù)，故數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列.（2）對(duì)一切恒成立，即恒成立，亦即恒成立（因?yàn)椋?設(shè)，則，令得，當(dāng)時(shí)，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增；因?yàn)椋耶?dāng)時(shí)，所以，因此恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)，解得，故實(shí)數(shù)的取值范圍是.7.（2015天津文20）已知函數(shù)其中，且.（1）求的單調(diào)性；（2）設(shè)曲線與軸正半軸的交點(diǎn)為，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，求證：對(duì)于任意的正實(shí)數(shù)，都有；（3）若方程（為實(shí)數(shù)）有兩個(gè)正實(shí)數(shù)根，且，求證：.7.解析 （1）由，可得，當(dāng) ，即時(shí)，函數(shù) 單調(diào)遞增；當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減.所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是.（2）設(shè) ，則 ，且，得，曲線 在點(diǎn)處的切線方程為 ，即，令 即 則.由于在 單調(diào)遞減，故在 單調(diào)遞減，又因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以對(duì)任意的實(shí)數(shù)， ，對(duì)于任意的正實(shí)數(shù)，都有.（3）由（2）知，設(shè)方程的根為，可得，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，又由（2）知，所以 .設(shè)曲線在原點(diǎn)處的切線為，可得，對(duì)任意的，有，即.設(shè)方程 的根為，可得，因?yàn)樵趩握{(diào)遞增，且，因此，所以.8.（2015浙江文20）設(shè)函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在上的最小值的表達(dá)式；(2)已知函數(shù)在上存在零點(diǎn)，求的取值范圍.8.解析 (1) ，對(duì)稱軸.當(dāng)，即時(shí)，；當(dāng)，即時(shí)，；當(dāng)，即時(shí)， .綜上所述，.(2)假設(shè)在上的零點(diǎn)，則，所以，對(duì)稱軸直線.當(dāng)，即時(shí)，綜合，得；當(dāng)，即時(shí)，綜合，得；當(dāng)，即時(shí)，綜合，得；當(dāng)，即時(shí)，綜合，得.綜上所述，9.（2015湖北文21）設(shè)函數(shù)，的定義域均為，且是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).(1)求，的解析式，并證明：當(dāng)時(shí)，；(2)設(shè)，證明：當(dāng)時(shí)，.9.解析 (1)由，的奇偶性及條件 得 聯(lián)立式式解得，.當(dāng)時(shí)，故. 又由基本不等式，有，即. (2)由(1)得 ， ， 當(dāng)時(shí)，等價(jià)于， 等價(jià)于 設(shè)函數(shù) ，由式式，有 當(dāng)時(shí)，（1）若，由式式，得，故在上為增函數(shù)，從而，即，故式成立.（2）若，由，得，故在上為減函數(shù)，從而，即，故式成立.綜合式式，得. 10.（2015陜西文21）設(shè)，.（1）求.（2）證明：在內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)（記為），且.10.解析 (1)由題設(shè)，所以，所以，由錯(cuò)位相減法求得：，所以；(2)因?yàn)椋栽趦?nèi)至少存在一個(gè)零點(diǎn)，又，所以在內(nèi)單調(diào)遞增，因此，在內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，由于，所以，由此可得，故，所以.11.（2015全國1文21）設(shè)函數(shù).（1）討論的導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（2）求證：當(dāng)時(shí)，.11.解析 （1），.顯然當(dāng)時(shí)，恒成立，無零點(diǎn). 當(dāng)時(shí)，取，則，即單調(diào)遞增.令，即.畫出與的圖像，如圖所示.由圖可知，必有零點(diǎn)，所以導(dǎo)函數(shù)存在唯一零點(diǎn).（2）由（1）可知有唯一零點(diǎn)，設(shè)零點(diǎn)為，由圖可知，則當(dāng)時(shí)，即單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，即單調(diào)遞增.所以在處取得極小值，即.又，解得.兩邊分別取自然對(duì)數(shù)，得，即.所以（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)）.