課題 第01章質(zhì)點運動學(xué) 課時安排 4課時 教學(xué)目的要 求 1、理解質(zhì)點、參考系、位矢、位移、速度、加速度等概念； 2、能在直角坐標(biāo)系中由運動方程熟練計算質(zhì)點的速度和加速度，并 通過微積分求解質(zhì)點的位置、速度和加速度之間的關(guān)系； 3、理解自然坐標(biāo)中的路程、速率、切向加速度、法向加速度等概 念，以及極坐標(biāo)中的角位置、角速度和角加速度等物理量之間的含意； 4、能熟練計算質(zhì)點作圓周運動的角速度、角加速度、切向加速度和 法向加速度； 5、了解相對運動中位置、速度和加速度的變換。 主要內(nèi)容與 時間分配 A節(jié)質(zhì)點運動的描述 第二節(jié)求解運動學(xué)問題舉例 第二節(jié) 圓周運動 *第四節(jié)相對運動 重點難點 位矢、位移、速度、加速度等概念；通過微積分求解質(zhì)點的位置、速度和 加速度之間的關(guān)系；自然坐標(biāo)中的路程、速率、切向加速度、法向加速度 等概念 教學(xué)方法和 手段 以講授為主，使用多媒體課件 課后作業(yè)練 習(xí) 總結(jié)和改進 意見 第一章質(zhì)點運動學(xué) 機械運動平指一個物體相對于另一個物體的位置或一個物體內(nèi)部某一部分相對于其他部分 的位置，隨時間的變化過程。 在理解機械運動這個概念時應(yīng)注意以下幾點。 (1)機械運動的絕對性 (2)機械運動的相對性 力學(xué)范圍：宇宙中天體的運動，火箭和人造衛(wèi)星的軌道，導(dǎo)彈的彈道，以及氣泡室中顯示粒子 徑跡的分析和計算等。 在本章，我們只討論質(zhì)點運動的幾種形式，而不涉及引起質(zhì)點運動的原因，著重討論質(zhì)點 的位移、速度和加速度的概念和計算方法。 § 1-1質(zhì)點運動的描述 一、參考系質(zhì)點 1.參考系一研究物體運動時被選作參考物的物體或物體群，稱為參考系。 在大多數(shù)情況下，以地球為參考系 基本參考系。 利用參考系來判斷物體是否運動和如何運動 (1)研究地球相對于太陽的運動，常選擇太陽作參考系； (2)研究人造地球衛(wèi)星的運動，常選擇地球作參考系； (3)研究河水的流動，常選擇河岸作參考系等。 坐標(biāo)系一一為了定量地確定質(zhì)點的空間位置而固定在參考系上的一個計算系統(tǒng)。 參考系與坐標(biāo)系的區(qū)別一一對物體運動的描述決定于參考系而不是坐標(biāo)系。 參考系選定后，選用不同的坐標(biāo)系對運動的描述是相同的。 用坐標(biāo)系有：①直角坐標(biāo)系；②自然坐標(biāo)系；③球坐標(biāo)系；④柱面坐標(biāo)系；⑤極坐標(biāo)系。 2.質(zhì)點：力學(xué)中的質(zhì)點，是沒有體積和形狀，只具有一定質(zhì)量的理想物體。一一有質(zhì)量的,匚 質(zhì)點是一個理想模型，是力學(xué)中的一個十分重要的概念。 質(zhì)點概念的重要性： (1)首先表現(xiàn)在，當(dāng)物體的大小和形狀對于所研究的問題無關(guān)緊要時，可以把物體當(dāng)成一個質(zhì) 點，使問題簡化； 太陽 任何實際物體，大至宇宙中的天體，小至原子、 原子核、電子以及其他微觀粒子，都具有一定的 體積和形狀。如果在所研究的問題中，物體的體 積和形狀是無關(guān)緊要的，我們就可以把它看作為 質(zhì)點。 (2)質(zhì)點概念的重要性還表現(xiàn)在，在不能把物體看作為一個質(zhì)點的問題中，可以把該物體分割 成很多體元，而每個體元都足夠小，以至在所討論的問題中可以看作為質(zhì)點。對于每個這樣的體 元，我們可以運用質(zhì)點力學(xué)的規(guī)律，把得到的所有體元的運動規(guī)律疊加起來就可以得出整個物體 的運動規(guī)律。質(zhì)點組力學(xué)和剛體力學(xué)就是這樣去處理問題的。 ［問題］分子、原子、電子等微觀粒子一定可以看成是質(zhì)點嗎？太陽、地球、汽車等宏觀物體 定不能看成質(zhì)點嗎? ［回答］不一定，主要看物體的大小對所研究的問題是否有影響。例地球的公轉(zhuǎn)和自轉(zhuǎn)。 二、位置矢量運動方程位移 1 .時刻和時間 “時間”這個詞在我們生活中隨時都能遇到。在物理學(xué)中，它代表一個重要物理量，是國際 單位制（s）中的七個基本物理量之一。 例“飛機什么時間起飛？ ” （“時間”，指的是物理學(xué)中“時刻”的概念，表示飛機起飛那一 瞬間時鐘的讀數(shù)。） “飛機從上海到北京飛行多少時間？" （“時間”，指的是物理學(xué)中“時間間隔”的概 念，表示飛機從上海起飛那一瞬間時鐘的讀數(shù)與飛機連續(xù)飛行到達北京機場著陸那一瞬間時鐘 讀數(shù)之間的間隔。） 在一定坐標(biāo)系中考察質(zhì)點運動時，質(zhì)點的位置是與時刻相對應(yīng)的，質(zhì)點運動所經(jīng)過的路程是 與時間相對應(yīng)的。時間是標(biāo)量，單位是s（秒）。 2 .位置矢量r :描述質(zhì)點空間位置的物理量。 位置矢量F ：在時刻t,質(zhì)點P在坐標(biāo)系里的位置可用 位置矢量r ,簡稱位矢r。 直角坐標(biāo)系中： 矢量描述：r = xi yj zk 大小:r = r = x'x2 + y2 + z2 x ： yz 萬向： cosa=-； cos P = — ； cos『=一。 rrr 而：cos2 a + cos2 P +cos2 了 =1 所以a, P ,'只有兩個是獨立的 3 .運動方程，即軌道參數(shù)方程 位矢r是時間t的函數(shù) r =r（t） x = x（t） 直角坐標(biāo)系中的分量式 ,y = y（t） 、z = z（t） 4 .位移和路程 （1）位移：矢量，單位：米（m） 質(zhì)點從點A到點B所完成的位移 A^ = AB,等于點B的位置矢量rB ,Im r = Im'S 與點A的位置矢量rA之差。 一 —一 一 — 一 「a =XAi yAj ZAk;「b =^i yBj ZBk -r =「b -「a = (xb- Xa)i(yB- Ya) j(zb- ZA)k 大?。?/ = AB= r=(xb- Xa)(yB_ yA)(zb-za) 方向：由起點指向終點。 方向余弦： cos ： = ■XB—-A , cos - = -yB——yA , cos = -ZB一ZA .：r二 r△「 ⑵路程AS：標(biāo)量，單位：米(m) 路程AS :質(zhì)點在 設(shè)時間所經(jīng)過的實際路徑，是曲線 AB的長度。 (3)位移和路程的區(qū)別和聯(lián)系： 工△「■>矢量；AS是標(biāo)量; 區(qū)別：,r 2.一般情況下：| Ar < AS. 聯(lián)系: 工當(dāng)質(zhì)點做單向直線運動 時Ar]=AS 12時間0時 2 t 例2： 一質(zhì)點在xoy平面內(nèi)按x=t2的規(guī)律沿曲線，y= —— 運動，其中x、y以m為單位，t 320 以S為單位。試求：質(zhì)點在 2秒末到4秒末的位移。 1.2t3 斛： x = t , y = 320 t = 2s,x = 4,0m, y = 0,2m t =4s,x = 16.0m, y = 12.8m x =12.0m, y = 12.6m 位移為 r =12,0i 12.6j 三、速度(反映物體位置變化的快慢) 1.平均速度 rx-V-z. (1)定義：平均速度：v == i + V j + k ttt1 平均速度是矢量，①這個矢量的大小決定于位移的模qA與所取時間間隔&的比值；②這個矢 量的方向與位移矢量T的方向相同。 (2)物理含義：平均速度只能 粗略地反映一段時間內(nèi)物體位置變化的快慢情況。 《物理學(xué)教程》(第二版)馬文蔚編1-5 (3)特點：位移△狀的方向與所取時間間隔 At的大小密切相關(guān)。 2.平均速率 般情況下，v=v (二 △于As) 例：質(zhì)點沿一閉合曲線運行一周，則V = 0,但V # 0。 3.瞬時速度 (1)定義：瞬時速度：V = lim—rd- MdxF dyjdzk =vx+Vyjvzk t 0 ：t dt dt dtdty 表示：如果取時間間隔 &趨近零，平均速度的極限就表示質(zhì)點在某一時刻的真實速度, 這個極限就是質(zhì)點運動的瞬時速度，瞬時速度也就是質(zhì)點的真實速度。 (2)物理意義：瞬時速度精確地反映一段時間內(nèi)物體位置變化的快慢情況。 4. 瞬時速率： 定義：V 發(fā)現(xiàn)： 二 s ds dr =lim 一 = 一 = 一 t 0 :t dt dt V =v ,即：瞬時速率等于瞬時速度的大小。 5.位移公式 由d： = V(t)dt,若求質(zhì)點從t0至近時間內(nèi)完成的位移，可對上式在此時間內(nèi)積分，即 "=r = rd，= t V(t)dt 討論：(P22, 1-2) 一運動質(zhì)點在某瞬時位于位矢r(x,y)的端點處，其速度大小為( C、D ) (A) — (B)明(C) ds (D) J(dx)2 十(dy)2 dt dt dt dt dt 例 (P6 ,例 1 ) 設(shè)質(zhì)點的運動方程為,(t》x(t) i *y，t j中 2 x( t>1 + t 0 , y(t)=0.25t +2.0,式中x , y的單位為m(米)，t的單位為s(秒)。 (1)求t =3s時的速度. (2)作出質(zhì)點的運動軌跡圖. 已知：x(t) =1.0t 2.0,y(t) =0.25t2 2.0, 解 (1)由題意可得 vx =—=1.0,Vy = —^=0.5t x dt. dt t = 3s時速度為 V=1.0：+1.5j i .1.5 o 速度v的值v=1.8m s ,它與x軸之間的夾角為a a arctan—— = 56.3 1.0 (2)運動方程x(t)=1.0t+2.0 , y(t) =0.25t2+2.0 ,消去參數(shù)t可得軌跡方程為 2 y =0.25x -x 3.0 例（P7,仞2）如圖A、B兩物體由一長為l的剛性細桿相連， A、B兩物體可在光滑軌道上滑 行.如物體 A以恒定的速率向左滑行，當(dāng) a =600時，物體B的速率為多少？ 解選如圖的坐標(biāo)軸 d d dx 4 d d d dy ■ vA = VxI = - I = -viVb = vy j = - j dtdt 因x2 +y2 =l2,兩邊求導(dǎo)得 c dx 小 dy c 2x—— 2y——二0 dt dt dyx dxx dx * 即—=,物體B的速度vB = j dty dty dt dx 「一 二 -vVb = vtan j dt 當(dāng) a =60° 時，vB =1.73v, vB沿 y 軸正向。 四、加速度（反映速度變化的快慢情況） VVxVy - -V7 , 1 .平均加速度（粗略）a =——=——I +j+一z k ,單 二 t二 t3 t t 位：m/s2 2 .瞬時加速度（精確） (1) 定義：a = limJv 二變:dvx： dvyj dvzk t )0 t dt dt dt dt d 2xd 2yd 2z 不 i r j 2 dtdtdt — — — a t axiav j azk x y z 大小：a 二 a 二 Ja2 - a2 - a2 I 方向：與At趨于零時，AV的極限方向相同 (2)物理意義：反映速度變化的快慢情況 (3)方向討論： ①當(dāng)質(zhì)點沿直線運動，，V的極限方向也一定沿著該直線 如果加速運動，v|j , △?的方向必定與V同向，「.a與V同向； 如果加速運動，v|j , ^V的方向必定與V反向，二a與V反向。 I ②當(dāng)質(zhì)點沿曲線運動時，&V的方向不但決定于質(zhì)點是作加速運動還是減速運動，而且還與 曲線的彎曲形狀有關(guān)。 ji Va "人,一 2 Va ,二 Vb, 口 < — 2 △V的極限方向總是指向曲線凹側(cè) 可推斷：當(dāng)Va =Vb，必有日=一,即當(dāng)質(zhì)點作勻速率曲線運動時，加速度的方向與速度的方向 2 相垂直。 五、直角坐標(biāo)系中幾種常見的運動形式 1 .勻速直線運動4x = x — x0 = V(t—t0) x0 2 .勻變速直線運動 自由落體 3.斜拋、平拋運動 -0 at ,.J J s =a 0t at 2 I 2 2 . = o 2a(s - So) 1 2 h =2gt ’水平方向 運動分解反擊七七 、豎直萬向 例（P8 ,例3）有一個球體在某液體中豎直下落 ，其初速度V0=1oj,它在液體中的加速度為 a=-i.ovj,問：（i）經(jīng)過多少時間后可以認為小球已停止運動； 化）此球體在停止運動前經(jīng)歷 的路程有多長? ? * dv * a = dt --1.0v v dv t .. —=-dt ■vo v '0 解得：v = voe， i + dy -t v v°e dt y t上 . 0dy=vo.oedt 解得：y=io(1-e」) V f/0/lOO Po/1000 , i 10 000 t i s 23 4.6 6.9 9.2 i； / jn ■K 8.997 4 9.899 5 9.989 9 9 999 0 t =9.2s.0之 0, 10 m 例（P9,例4）如圖一拋體在地球表面附近，從原點 O以初速vo沿與水平面上 Ox軸的正向成 口角拋出，如略去拋體在運動過程中空氣的阻力作用，求拋體運動的軌跡方程和最大射程. --g j ax =0 按已知條件，t=o時，有 vox voy =vocos ; = vosin ; ax =0 ay g 解得: x 二VoCOS： t ——11 x2 y =v0 Sint -- gt 軌跡方程為：y = x tan a - -2 g 2— x2 2vo cos ; 求最大射程 d0 = 2v0- sin a cosct, dd0 = 2v° cos2a = 0 gd： g 當(dāng)口 = -, d0m =v07g ,由于空氣阻力，實際射程小于最大射程. 4 例：通過絞車拉動湖中小船拉向岸邊，如圖。如果絞車以恒定的速率u拉動纖繩，絞車定滑輪離 水面的高度為h ,求小船向岸邊移動的速度和加速度。 l ,任意時刻小船到岸 2 ,兩邊對時間t求導(dǎo)數(shù), =-u絞車拉動纖繩的速率，纖繩隨時間在縮短，故 dt 5 <0 ； dx =v是小船向岸邊移動的速率。 dt dt x軸反方向。 l x h :v = 一- u =u 負方表小小船速度沿 xx 小船向岸邊移動的加速度為 d 2x a =— dt dv 2h2 dt § 1-2圓周運動 、平面極坐標(biāo) 、圓周運動的角速度 角坐標(biāo)日(t)；角位移 在直角坐標(biāo)系中 x = r sin i y 二r cosi e 工 X 平面極坐標(biāo)中 A(r,e), A(x, y), 角速度 單位: 速率v ..A9 -lim —— 0 . " ：t 1 rad s ..As =lim ——二 r △t— At dt lim — 為T0 At v⑴=r (t) A e 、圓周運動的切向加速度和濤向加速度 速度 v = vet = r cJ et, et切向單位矢量 角加速度 質(zhì)點作變速率圓周運動時，速度的方向和數(shù)值都要改變，任意點的加速度為 a 二 dv 二型 e‘. ..通 dt dt dt d d ■ 第一項：切向加速度 at =——=r — = ret ,角加速度 a dt dt d ■ ——，單位: dt rad s' de 第二項： 組 切向單位矢量的時間變化率。 dt lim △T Atdt dt I 所以，加速度 ①切向加速度 （速度大小變化 ②法向加速度 （速度方向變化 dt d 二 =ven = , dt 2re ren 般圓周運動加速度 a=atan 大小 a 一 -. a： - 方向 8 = tan，an at v 線量和角量的關(guān)系 ds .Rdi = v =ds 二 Rd:"二 R dt dt an R dv L” at 二 dt d - =R— = R dt 四、勻速率圓周運動和勻變速率圓周運動 1 .勻速率圓周運動 =an 切=常量，故at = 0, an = r s , d1 .,. 一 由切=——，有d日=codt, dt 如 t=0時，8=90 可得：0 =60 +cot 2 .勻變速率圓周運動 2 a =常量，故 at =r«, an =r® , =常量，又d co 二= dt d 1--dt, 如 t =0時，9 =90,0 =4可得: 飛=% +網(wǎng) 1,12 { 8 = 6 +®ot +-«t2 2 -'02y -%) 勻變速率圓周運動與勻變速率直線運動類比 -o at 2 二 % 2a(s - s0) 飛=00 +at c c ,1,2 « 8= a +00t +-at 2 22 :⑥0 - 2'（1_入） 例（P16,例）一超音殲擊機在高空點A時的水平速率為1 940 km ? h-1,沿近似圓弧曲線俯沖到 點B,其速率為2 192 km ? h-1,經(jīng)歷時間為3 s ,設(shè)圓弧 AB的半徑約為3.5 km ,飛機從 A至U B 過程視為勻變速率圓周運動，不計重力加速度的影響，求： （1）飛機在點B的加速度；（2）飛機由 點A到點B所經(jīng)歷的路程. 解（1） vA=1940km，h/vB =2192km，h,，t=3s, r=3.5><103m 2 而B點an =vB r 解得：at = 23.3m s： an =106m s/ 大小：a= at2 a2 = 109m s' 方向：：=arctan 旦=12.4o （2）矢徑卜所轉(zhuǎn)過的角度e=0At+』at2 2 飛機由點A到點B所經(jīng)歷的路程 1 2 / s = r 二-vAt att = 1722 m 絕對速度喬 牽連速度〃 日角，車后有一長為l的車廂未被蓋 § 1-3相對運動 一、時間與空間 物體低速運動時，在兩個作相對運動的參考系中，時間的測量是絕對的，空間的測量也是絕 對的，與參考系無關(guān)。 時間和長度的的絕對性是經(jīng)典力學(xué)或牛頓力學(xué)的基礎(chǔ)。 二、相對運動 基本參考系-S系（Oxyz）,運動參考系-S'系（O'x'y'z'） , U是S'系相對S系運動的速度 質(zhì)點在相對作勻速直線運動的兩個坐標(biāo)系中的位移。 位移關(guān)系△*=4七'+aD 或 A1 = Ar'+uAt 速度變換—=-r^ u -：t .寸 v =v，u伽利略速度變換 drdr 絕對速度v =；相對速度 v =—；牽連速度 u dtdt 注意：當(dāng)物體運動速度接近光速時，速度變換不成立。 加速度關(guān)系dv = dl .時 dt dt dt 若du - n W 一步 不r— 0 a — a dt 例 汽車在雨中行駛，雨滴以 v1速度下落，方向偏豎直前方成 住。蓬高為h ,為使后邊不被淋濕，問車速v2應(yīng)為多大? 解：利用相對速度法求解，雨滴相對車的速度v如圖，則 有：v2 = v1 sin - v1 cos【tg : 而 tg =— h ? 一 口l U —l 一 ; v2 = v1 sin 6 + v1 cos6 — = v1 sin 日 + — cos^ h < h J 汽車須以大于v2的速度行駛。 例G.Gamov（伽莫夫，美）橋下失落空瓶命題：小船在河中逆水而上，經(jīng)過橋下時恰好失落一個 帶空瓶塞的空瓶于水中。半小時后發(fā)覺，即掉頭追尋。問：經(jīng)過多少時間可追得此瓶？船對水的 速度始終不變。 解一：坐標(biāo)選在岸上，設(shè)船相對于水的速度為v；水相當(dāng)于岸的速度為 u,時間t后追尋到瓶子。 逆水時，船相當(dāng)于岸：v1 =v-u ; 掉頭時離橋距離為：11 = v-ut0 順?biāo)畷r，船相當(dāng)于岸：v2 =v+u； v -u t0 t0u tu * 貝 u t =0 - -0 * v u v u 上式中t0u +tu為瓶子漂離橋的距離。 解*式可得：tv=t0v,即：t = t0 經(jīng)過半小時后可追得此瓶。 解二：如果把參照系選在水中，即空瓶上，問題則簡單得多。因為在此參照系中，船速是不變 的，船離開半小時后再來找，當(dāng)然是半小時后在相遇。至于水速和船速，自然是任意值。 說明：此題曾經(jīng)在美國高校里來判斷學(xué)生到底應(yīng)該學(xué)物理系還是應(yīng)該念數(shù)學(xué)系。是個有趣的問 題。 A在以10m 的速率沿水平軌道前進的平板車上控制 60°斜向上射出一彈丸。此時站在地面上的另一實驗者 1 一 S系 例（P20,例）實驗者 器以與車前進方向呈 運動，求彈丸上升的高度。 解地面參考系為 S系，平板車參考系為 , vy tan =— vx 速度變換 vx =u v'xvy =v'y 1 1Vx =0vx - -u - -10 m s 1 vy =v'y = v'x tana ； vy =17.3 m s 2 彈丸上升高度y =15.3m 臺射彈器，射彈 B看到彈丸鉛直向上 2g