第三節(jié)三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)最新考綱1.能畫出ysin x，ycos x，ytan x的圖像，了解三角函數(shù)的周期性.2.理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在0,2上的性質(zhì)(如單調(diào)性、最大值和最小值、圖像與x軸的交點(diǎn)等)，理解正切函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性(對應(yīng)學(xué)生用書第64頁)1用五點(diǎn)法作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡圖正弦函數(shù)ysin x，x0,2圖像的五個關(guān)鍵點(diǎn)是：(0,0)，(，0)，(2，0)余弦函數(shù)ycos x，x0,2圖像的五個關(guān)鍵點(diǎn)是：(0,1)，(，1)，(2，1)2正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖像與性質(zhì)函數(shù)ysin xycos xytan x圖像定義域RR值域1,11,1R單調(diào)性遞增區(qū)間：，kZ，遞減區(qū)間：，kZ遞增區(qū)間：2k，2k，kZ，遞減區(qū)間：2k，2k，kZ遞增區(qū)間，kZ奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)對稱性對稱中心(k，0)，kZ對稱中心，kZ對稱中心，kZ對稱軸xk(kZ)對稱軸xk(kZ)周期性221正弦曲線、余弦曲線相鄰兩對稱中心、相鄰兩對稱軸之間的距離是半個周期，相鄰的對稱中心與對稱軸之間的距離是個周期2正切曲線相鄰兩對稱中心之間的距離是半個周期3對于函數(shù)yAsin(x)，其對稱軸一定經(jīng)過圖像的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)，對稱中心的橫坐標(biāo)一定是函數(shù)的零點(diǎn).一、思考辨析(正確的打“”，錯誤的打“×”)(1)函數(shù)ysin x的圖像關(guān)于點(diǎn)(k，0)(kZ)中心對稱()(2)正切函數(shù)ytan x在定義域內(nèi)是增函數(shù)()(3)已知yksin x1，xR，則y的最大值為k1.()(4)ysin |x|與y|sin x|都是周期函數(shù)()答案(1)(2)×(3)×(4)×二、教材改編1函數(shù)ytan 2x的定義域是()A.B.C.D.D由2xk，kZ，得x，kZ，ytan 2x的定義域?yàn)?2函數(shù)f(x)cos的最小正周期是_T.3ysin的單調(diào)減區(qū)間是_(kZ)由2k2x2k，kZ得，kxk，kZ.4y3sin在區(qū)間上的值域是_當(dāng)x時，2x，sin，故3sin，即y3sin的值域?yàn)?(對應(yīng)學(xué)生用書第65頁)考點(diǎn)1三角函數(shù)的定義域和值域1三角函數(shù)定義域的求法求三角函數(shù)定義域?qū)嶋H上是構(gòu)造簡單的三角不等式(組)，常借助三角函數(shù)線或三角函數(shù)圖像來求解2求三角函數(shù)最值或值域的常用方法(1)直接法：直接利用sin x和cos x的值域求解(2)化一法：把所給三角函數(shù)化為yAsin(x)k的形式，由正弦函數(shù)單調(diào)性寫出函數(shù)的值域(3)換元法：把sin x，cos x，sin xcos x或sin x±cos x換成t，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求解1.函數(shù)f(x)2tan的定義域是()ABCDD由正切函數(shù)的定義域，得2xk，kZ，即x(kZ)，故選D.2(2019·全國卷)函數(shù)f(x)sin3cos x的最小值為_4f(x)sin3cos xcos 2x3cos x2cos2x3cos x1，令cos xt，則t1,1f(t)2t23t12，易知當(dāng)t1時，f(t)min2×123×114.故f(x)的最小值為4.3已知函數(shù)f(x)sin，其中x，若f(x)的值域是，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_x，x，當(dāng)x時，f(x)的值域?yàn)?，由函?shù)的圖像(圖略)知a，a.4函數(shù)ysin xcos xsin xcos x的值域?yàn)開設(shè)tsin xcos x，則t2sin2xcos2x2sin x·cos x，sin xcos x，且t.yt(t1)21，t，當(dāng)t1時，ymax1；當(dāng)t時，ymin.函數(shù)的值域?yàn)?求解三角函數(shù)的值域(最值)常見的幾種類型(1)形如yasin xbcos xc的三角函數(shù)化為yAsin(x)c的形式，再求值域(最值)(2)形如yasin2xbsin xc的三角函數(shù)，可先設(shè)sin xt，化為關(guān)于t的二次函數(shù)求值域(最值)(3)形如yasin3xbsin2xcsin xd，類似于(2)進(jìn)行換元，然后用導(dǎo)數(shù)法求最值考點(diǎn)2三角函數(shù)的單調(diào)性(1)形如yAsin(x)的函數(shù)的單調(diào)性問題，一般是將x看成一個整體，再結(jié)合圖像利用ysin x的單調(diào)性求解(2)如果函數(shù)中自變量的系數(shù)為負(fù)值，要根據(jù)誘導(dǎo)公式把自變量系數(shù)化為正值，再確定其單調(diào)性求三角函數(shù)的單調(diào)性(1)函數(shù)f(x)tan的單調(diào)遞增區(qū)間是()A.(kZ)B.(kZ)C.(kZ)D.(kZ)(2)(2019·大連模擬)函數(shù)ysin xcos x的單調(diào)遞增區(qū)間是_(1)B(2)(1)由k2xk(kZ)，得x(kZ)，所以函數(shù)f(x)tan的單調(diào)遞增區(qū)間為(kZ)，故選B.(2)ysin xcos xsin，由2kx2k(kZ)，解得2kx2k(kZ)函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為(kZ)，又x，單調(diào)遞增區(qū)間為.本例(2) 在整體求得函數(shù)ysin xcos x的增區(qū)間后，采用對k賦值的方式求得x上的區(qū)間根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)(1)(2019·西安模擬)已知0，函數(shù)f(x)sin在上單調(diào)遞減，則的取值范圍是()A(0,2B.C.D.(2)(2018·全國卷)若f(x)cos xsin x在0，a 是減函數(shù)，則a的最大值是()A.B.C.D(1)D(2)C(1)由2kx2k，得x，kZ，因?yàn)閒(x)sin在上單調(diào)遞減，所以解得因?yàn)閗Z，0，所以k0，所以，即的取值范圍為.故選D.(2)f(x)cos xsin xsin，當(dāng)x，即x時，sin單調(diào)遞增，sin 單調(diào)遞減，是f(x)在原點(diǎn)附近的單調(diào)遞減區(qū)間，結(jié)合條件得0，a，a，即amax，故選C.已知單調(diào)區(qū)間求參數(shù)范圍的三種方法子集法求出原函數(shù)的相應(yīng)單調(diào)區(qū)間，由已知區(qū)間是所求某區(qū)間的子集，列不等式(組)求解反子集法由所給區(qū)間求出整體角的范圍，由該范圍是某相應(yīng)正、余弦函數(shù)的某個單調(diào)區(qū)間的子集，列不等式(組)求解周期性法由所給區(qū)間的兩個端點(diǎn)到其相應(yīng)對稱中心的距離不超過周期列不等式(組)求解1.若函數(shù)f(x)sin x(0)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，則_.由已知得，T，.2函數(shù)f(x)sin的單調(diào)減區(qū)間為_(kZ)由已知，得函數(shù)為ysin，欲求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間，只需求ysin的單調(diào)增區(qū)間即可由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ.故所求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為(kZ)考點(diǎn)3三角函數(shù)的周期性、奇偶性、對稱性求解三角函數(shù)ysin(x)(0)的周期性、奇偶性、對稱性問題，其實(shí)質(zhì)都是根據(jù)ysin x的對應(yīng)性質(zhì)，利用整體代換的思想求解三角函數(shù)的周期性(1)(2019·全國卷)下列函數(shù)中，以為周期且在區(qū)間單調(diào)遞增的是()Af(x)|cos 2x|Bf(x)|sin 2x|Cf(x)cos|x|Df(x)sin|x|(2)若函數(shù)f(x)2tan的最小正周期T滿足1T2，則自然數(shù)k的值為_(1)A(2)2或3(1)對于選項(xiàng)A，作出y|cos 2x|的部分圖像，如圖1所示，則f(x)在上單調(diào)遞增，且最小正周期T，故A正確對于選項(xiàng)B，作出f(x)|sin 2x|的部分圖像，如圖2所示，則f(x)在上單調(diào)遞減，且最小正周期T，故B不正確對于選項(xiàng)C，f(x)cos|x|cos x，最小正周期T2，故C不正確對于選項(xiàng)D，作出f(x)sin|x|的部分圖像，如圖3所示顯然f(x)不是周期函數(shù)，故D不正確故選A.圖1圖2圖3(2)由題意得，12，k2k，即k，又kZ，k2或3.公式莫忘絕對值，對稱抓住“心”與“軸”(1)公式法求周期函數(shù)f(x)Asin(x)的周期T；函數(shù)f(x)Acos(x)的周期T；函數(shù)f(x)Atan(x)的周期T.(2)對稱性求周期兩對稱軸距離的最小值等于；兩對稱中心距離的最小值等于；對稱中心到對稱軸距離的最小值等于.(3)特征點(diǎn)法求周期兩個最大值點(diǎn)之差的最小值等于T；兩個最小值點(diǎn)之差的最小值等于T；最大值點(diǎn)與最小值點(diǎn)之差的最小值等于.特征點(diǎn)法求周期實(shí)質(zhì)上就是由圖像的對稱性求周期，因?yàn)樽钪迭c(diǎn)與函數(shù)圖像的對稱軸相對應(yīng)(說明：此處的T均為最小正周期)三角函數(shù)的奇偶性已知函數(shù)f(x)3sin，(0，)(1)若f(x)為偶函數(shù)，則_；(2)若f(x)為奇函數(shù)，則_.(1)(2)(1)因?yàn)閒(x)3sin為偶函數(shù)，所以k，kZ，又因?yàn)?0，)，所以.(2)因?yàn)閒(x)3sin為奇函數(shù)，所以k，kZ，又(0，)，所以.若f(x)Asin(x)(A，0)，則f(x)為偶函數(shù)的充要條件是k(kZ)；f(x)為奇函數(shù)的充要條件是k(kZ)三角函數(shù)的對稱性(1)已知函數(shù)f(x)2sin(0)的最小正周期為4，則該函數(shù)的圖像()A關(guān)于點(diǎn)對稱B關(guān)于點(diǎn)對稱C關(guān)于直線x對稱D關(guān)于直線x對稱(2)已知函數(shù)ysin(2x)的圖像關(guān)于直線x對稱，則的值為_(1)B(2)(1)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)2sin(0)的最小正周期是4，而T4，所以，即f(x)2sin.令k(kZ)，解得x2k(kZ)，故f(x)的對稱軸為x2k(kZ)，令k(kZ)，解得x2k(kZ)故f(x)的對稱中心為(kZ)，對比選項(xiàng)可知B正確(2)由題意得fsin±1，k(kZ)，k(kZ)，.三角函數(shù)圖像的對稱軸和對稱中心的求解方法若求f(x)Asin(x)(0)圖像的對稱軸，則只需令xk(kZ)，求x；若求f(x)Asin(x)(0)圖像的對稱中心的橫坐標(biāo)，則只需令xk(kZ)，求x.1.設(shè)函數(shù)f(x)cos，則下列結(jié)論錯誤的是()Af(x)的一個周期為2Byf(x)的圖像關(guān)于直線x對稱Cf(x)的一個零點(diǎn)為xDf(x)在上單調(diào)遞減DA項(xiàng)，因?yàn)閒(x)cos的周期為2k(kZ)，所以f(x)的一個周期為2，A項(xiàng)正確；B項(xiàng)，因?yàn)閒(x)cos圖像的對稱軸為直線xk(kZ)，所以yf(x)的圖像關(guān)于直線x對稱，B項(xiàng)正確；C項(xiàng)，f(x)cos.令xk(kZ)，得xk，當(dāng)k1時，x，所以f(x)的一個零點(diǎn)為x，C項(xiàng)正確；D項(xiàng)，因?yàn)閒(x)cos的單調(diào)遞減區(qū)間為(kZ)，單調(diào)遞增區(qū)間為(kZ)，所以是f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間，是f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間，D項(xiàng)錯誤2(2019·成都模擬)已知函數(shù)f(x)sin(x)的最小正周期為4，且任意xR，有f(x)f成立，則f(x)圖像的一個對稱中心坐標(biāo)是()A.B.C.D.A由f(x)sin(x)的最小正周期為4，得.因?yàn)閒(x)f恒成立，所以f(x)maxf，即×2k(kZ)，由|，得，故f(x)sin.令xk(kZ)，得x2k(kZ)，故f(x)圖像的對稱中心為(kZ)，當(dāng)k0時，f(x)圖像的對稱中心為.