階段質(zhì)量檢測（二） 數(shù)列(時間120分鐘滿分150分)一、選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1等比數(shù)列an的公比q，a1，則數(shù)列an是()A遞增數(shù)列B遞減數(shù)列C常數(shù)數(shù)列 D擺動數(shù)列解析：選D因為等比數(shù)列an的公比為q，a1，故a2<0，a3>0，所以數(shù)列an是擺動數(shù)列2若互不相等的實數(shù)a，b，c成等差數(shù)列，a是b，c的等比中項，且a3bc10，則a的值是()A1 B1C3 D4解析：選D由題意，得解得a4，b2，c8.3在數(shù)列an中，a1，an(1)n2an1(n2)，則a5等于()A B.C D.解析：選Ba1，an(1)n2an1，a2(1)22，a3(1)32，a4(1)42，a5(1)52.4在等比數(shù)列an中，已知前n項和Sn5n1a，則a的值為()A1 B1C5 D5解析：選D因為Sn5n1a55na，由等比數(shù)列的前n項和Snqn，可知其常數(shù)項與qn的系數(shù)互為相反數(shù)，所以a5.5已知數(shù)列an滿足a11，an1則254是該數(shù)列的()A第8項 B第10項C第12項 D第14項解析：選D當n為正奇數(shù)時，an12an，則a22a12，當n為正偶數(shù)時，an1an1，得a33，依次類推得a46，a57，a614，a715，歸納可得數(shù)列an的通項公式an則22254，n14，故選D.6已知數(shù)列an是等差數(shù)列，其前n項和為Sn，若a1a2a315，且，則a2()A2 B.C3 D.解析：選CS1a1，S33a2，S55a3，a1a2a315，a23.故選C.7如果數(shù)列a1，a2a1，a3a2，anan1，是首項為1、公比為的等比數(shù)列，那么an()A. B.C. D.解析：選A由題知a11，q，則anan11n1.設數(shù)列a1，a2a1，anan1的前n項和為Sn，Sna1(a2a1)(a3a2)(anan1)an.又Sn，an.8設Sn為等差數(shù)列an的前n項和，a12 014，2，則S2 016的值為()A2 016 B2 016C2 015 D2 015解析：選B因為Sn為等差數(shù)列an的前n項和，所以數(shù)列是等差數(shù)列設數(shù)列的公差為d，則由2，得2d2，解得d1，所以2 015da12 015d2 0142 0151，所以S2 0162 016.二、填空題(本大題共7小題，多空題每題6分，單空題每題4分，共36分把答案填在題中橫線上)9已知an是等差數(shù)列，Sn為其前n項和，nN*.若a316，S2020，則a1_，d_，S10_.解析：由已知得，解得a120，d2，S101020(2)110.答案：20211010(浙江高考)設數(shù)列an的前n項和為Sn.若S24，an12Sn1，nN*，則a1_，S5_.解析：an12Sn1，Sn1Sn2Sn1，Sn13Sn1，Sn13，數(shù)列是公比為3的等比數(shù)列，3.又S24，S11，a11，S53434，S5121.答案：112111已知數(shù)列an的通項公式為an2 0153n，則使an>0成立的最大正整數(shù)n的值為_解析：由an2 0153n>0，得n<671，又nN*，n的最大值為671.答案：67112某住宅小區(qū)計劃植樹不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植樹的棵數(shù)是前一天的2倍，則需要的最少天數(shù)n(nN*)等于_解析：每天植樹的棵數(shù)構(gòu)成以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，其前n項和Sn2n12.由2n12100，得2n1102.由于2664,27128，則n17，即n6.答案：613已知數(shù)列an滿足an1an2n(nN*)，a13，則an_，的最小值為_解析：an1an2n，a2a121，a3a222，a4a323，anan12(n1)，以上各式相加可得ana122n2n，a13，ann2n3.n1.f(x)x在(0，)上單調(diào)遞減，在(，)上單調(diào)遞增，又113，21，所以的最小值為.答案：n2n314已知等差數(shù)列an，bn的前n項和分別為An，Bn，且滿足，則_.解析：根據(jù)題意，由，可設：An2n2，Bnn(n3)，則：a1A12, 當n2時，anAnAn14n2，b1B14，當n2時，bnBnBn12n2，.答案：15定義函數(shù)f(x)xx，其中x表示不小于x的最小整數(shù)，如1.22，2.62.當x(0，n(nN*)時，函數(shù)f(x)的值域記為An，記An中元素的個數(shù)為an，則an_，_.解析：當x(0,1時，x1，xxx，則f(x)xx1，即A11，故a11；當x(0,2時，x1,2，xxx或2x，則f(x)xx1,3,4，即A21,3,4，故a23；當x(0,3時，x1,2,3，xxx或2x或3x，則f(x)xx1,3,4,7,8,9，即A31,3,4,7,8,9，故a36；同理可得a410，注意到an，所以.答案：三、解答題(本大題共5小題，共74分解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)16(14分)已知函數(shù)f(x)，數(shù)列xn的通項由xnf(xn1)(n2且xN*)確定(1)求證：是等差數(shù)列；(2)當x1時，求x2 016.解：(1)證明：xnf(xn1)(n2且nN*)，(n2且nN*)，是等差數(shù)列(2)由(1)知(n1)2.x2 016.17(15分)在ABC中，若lg sin A，lg sin B，lg sin C成等差數(shù)列，且三個內(nèi)角A，B，C也成等差數(shù)列，試判斷此三角形的形狀解：A，B，C成等差數(shù)列，2BAC.又ABC，3B，即B，AC.lg sin A，lg sin B，lg sin C成等差數(shù)列，2lg sin Blg sin Alg sin C，即sin2Bsin Asin C.又B，sin B.sin Asin Csin2B.又cos(AC)cos Acos Csin Asin C，cos(AC)cos Acos Csin Asin C，sin Asin Ccos(AC)cos(AC).cos(AC)，cos(AC)1.AC(，)，AC0，即AC.ABC.ABC是等邊三角形18(15分)已知等比數(shù)列an的前n項和為Sn，a11，an<an1，且S32S21.(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)若數(shù)列bn滿足bn(2n1)an(nN*)，求數(shù)列bn的前n項和Tn.解：(1)設等比數(shù)列an的公比為q，由an<an1，得q>1，又a11，則a2q，a3q2，因為S32S21，所以a1a2a32(a1a2)1，則1qq22(1q)1，即q2q20，解得q2或q1(舍去)，所以數(shù)列an的通項公式為an2n1(nN*)(2)由(1)知，bn(2n1)an(2n1)2n1(nN*)，則Tn120321522(2n1)2n1，2Tn121322523(2n3)2n1(2n1)2n，兩式相減，得Tn122122222n1(2n1)2n，即Tn12223242n(2n1)2n，化簡得Tn(2n3)2n3.19(15分)已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn，且S1055，S20210.(1)求數(shù)列an的通項公式(2)設bn，是否存在m，k(k>m2，m，kN*)使得b1，bm，bk成等比數(shù)列？若存在，請說明理由解：(1)設等差數(shù)列an的公差為d，則Snna1d.由已知，得即解得所以ana1(n1)dn(nN*)(2)假設存在m，k(k>m2，m，kN*)使得b1，bm，bk成等比數(shù)列，則bb1bk.因為bn，所以b1，bm，bk，所以2.整理，得k.以下給出求m，k的方法：因為k>0，所以m22m1>0，解得1<m<1.因為m2，mN*，所以m2，此時k8.故存在m2，k8使得b1，bm，bk成等比數(shù)列20(15分)在數(shù)列an中，a11,2anan1an1an0(nN*)(1)求證：數(shù)列為等差數(shù)列，并求an的通項公式；(2)若tan1(an1)10對任意n2的整數(shù)恒成立，求實數(shù)t的取值范圍解：(1)證明：由 2anan1anan10(n2)，得2(n2)又1，數(shù)列是首項為1，公差為2等差數(shù)列，12(n1)2n1，即an.(2)法一：tan1(an1)10對任意n2的整數(shù)恒成立，即t10恒成立，t對任意n2的整數(shù)恒成立設cn(n2)，則1>1， 當n2時，cn為遞增數(shù)列，cnc2，t的取值范圍為.法二：tan1(an1)10對任意n2的整數(shù)恒成立，即t10恒成立，t對任意n2的整數(shù)恒成立令n1m，t2m4，令f(m)2m4，2m2，mN*，f(m)在單調(diào)遞增，tf(m)minf(1)，t的取值范圍為.