數(shù)學(xué)分析1期末考試講解.doc
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數(shù)學(xué)分析1期末考試講解.doc
數(shù)學(xué)分析題目講解一、 單項(xiàng)選擇題(每小題2分,共14分)1、設(shè)數(shù)列滿足且,則為【 】A、0 B、1 C、 D、22、已知 則是的【 】A、第一類不連續(xù)點(diǎn)B、第二類不連續(xù)點(diǎn)C、連續(xù)點(diǎn)D、可去不連續(xù)點(diǎn)3、已知,則在處【 】A、左可導(dǎo) B、右可導(dǎo) C、可微 D、不連續(xù)4、若存在,下列說法一定正確的是【 】A、在的任一鄰域內(nèi)有界B、在的某一鄰域內(nèi)無界C、在的某一鄰域內(nèi)有界D、在的任一鄰域內(nèi)無界5、若在處連續(xù),并且,則【 】A、且存在 B、且存在C、且存在D、且存在6、若在點(diǎn)處存在左、右導(dǎo)數(shù),則在點(diǎn)處必然【 】A、可導(dǎo)B、不可導(dǎo)C、連續(xù)D、不連續(xù)7、下列敘述錯誤的是【 】A、若在點(diǎn)可導(dǎo),則在點(diǎn)可微;B、若在點(diǎn)可導(dǎo),則在點(diǎn)連續(xù);C、若在點(diǎn)可導(dǎo),則;D、設(shè)在點(diǎn)可導(dǎo),則是極值點(diǎn)當(dāng)僅當(dāng).參考答案:1. B 2.C 3.A 4.C 5.B 6.C 7.D 二、填空題(每小題3分,共21分)1、 2、曲線上平行于直線的切線的方程為 3、設(shè),則 4、曲線的斜漸近線為 5、函數(shù)的極小值點(diǎn) _ _6、已知當(dāng)時與等價(jià),則 7、 參考答案:1. ;2. ;3. 5;4. ;5. 4;6. 1;7. 三、計(jì)算題(每小題6分,共36分)1、計(jì)算.1、計(jì)算解:設(shè),由于, , ,(4分)由夾逼性,即原極限為1。(6分)2. 求極限 3. 已知任意次可微,求的二階微分.3. 已知任意次可微,求的.解:令,則, (2分)所以, (6分)4. 求方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù).4.求方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù).5. 設(shè),求.解:對等式兩端取對數(shù),(1分)再對上式兩端分別求導(dǎo), (4分) (5分)所以,6. 求由方程所確定的函數(shù)的微分.解:在方程兩端對求導(dǎo),得. (3分)解此方程,得。 (4分) 所以,。 (6分)四、綜合題(3小題,共29分)1. 敘述證明題(4小題,共14分)(1)敘述(有限)的定義;(3分)(2)敘述數(shù)列的柯西(Cauchy)收斂原理;(3分)(3)敘述在區(qū)間內(nèi)一致連續(xù)的定義;(3分)(4)證明在上一致連續(xù)。(5分)解:(1)(有限)的定義:對任意給定的,存在正整數(shù),當(dāng)時,有。 (3分)(2)數(shù)列的柯西(Cauchy)收斂原理:數(shù)列收斂的充要條件是是一個基本數(shù)列。(3分)(3)在區(qū)間內(nèi)一致連續(xù)的定義:若在區(qū)間內(nèi)滿足對任意的,存在,使得對內(nèi)任意兩點(diǎn)與,當(dāng)時,總有,則稱在區(qū)間內(nèi)一致連續(xù)。 (3分)(4)證明:對任意,由于故對任意的,取,則對內(nèi)任意兩點(diǎn)與,當(dāng)時,總有,即在上一致連續(xù)。 (5分)2. 證明:當(dāng)時,.(7分)證明:(1)證明. 根據(jù)Lagrange中值定理,(2分)由于,所以。 (3分)(2)證明. 令,則,(2分)當(dāng)時,嚴(yán)格單調(diào)遞減,由,知,從而。 (4分)3. 設(shè)在區(qū)間可導(dǎo),且,證明:(1)存在使得;(5分)(2)在內(nèi)至少有兩個零點(diǎn)。(3分)證明:(1)由,存在,使當(dāng)時,有,此時,。在中去一點(diǎn),有;由,存在,使當(dāng)時,有,此時,。在中去一點(diǎn),有。(3分)于是,。由在可導(dǎo),在連續(xù),由中間值定理,存在,使得。(5分)(2)由羅爾(Rolle)定理,在內(nèi)至少存在一點(diǎn)使得,在內(nèi)至少存在一點(diǎn)使得。故在內(nèi)至少有兩個零點(diǎn)。(8分)