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1、數(shù)學(xué)：1.7.1定積分在幾何中的應(yīng)用教案1（新人教A版選修2-2）1.7 定積分的簡單應(yīng)用一、 教學(xué)目標(biāo) 知識(shí)與技能：進(jìn)一步讓學(xué)生深刻體會(huì) 分割、以直代曲、求 和、逼近 求曲邊梯形的思想方法；讓學(xué)生深刻理解定積分 的幾何意義以及微積分的基本定理；初步掌握利用定積分求曲邊梯形的幾種常見題型及方法；體會(huì)定積分在物理中應(yīng)用 （變速直線運(yùn)動(dòng)的路程、變力沿直線做功）。 過程與方法：通過實(shí)例體會(huì)用微積分基本定理求定積分的方 法 情感、態(tài)度與價(jià)值觀：通過微積分基本定理的學(xué)習(xí)，體會(huì)事 物間的相互轉(zhuǎn)化、對(duì)立統(tǒng)一的辯證關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生辯證唯物 主義觀點(diǎn)，提高理性思維能力。二、 教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn) 曲邊梯形面積的求法

2、難點(diǎn) 定積分求體積以及在物理中應(yīng)用三、 教學(xué)過程 1、復(fù)習(xí)1、 求曲邊梯形的思想方法是什么？ 2、 定積分的幾何意義是 什么？3、微積分基本定理是什么？2、定積分的應(yīng)用（一）利用定積分求平面圖形的面積例 1計(jì)算由兩條拋物線和所圍成的圖形的面積.分析：兩條拋物線所圍成的圖形的面積，可以由以兩條曲線 所對(duì)應(yīng)的曲邊梯形的面積的差得到。解：，所以兩曲線的交點(diǎn)為（ 0，0）、（1, 1），面積 S=,所以=【點(diǎn)評(píng)】在直角坐標(biāo)系下平面圖形的面積的四個(gè)步驟：1 .作圖象； 2.求交點(diǎn)； 3.用定積分表示所求的面積； 4.微積 分基本定理求定積分。鞏固練習(xí) 計(jì)算由曲線和所圍成的圖形的面積 . 例 2計(jì)算由直線

3、，曲線以及 x 軸所圍圖形的面積 S. 分析：首先畫出草圖（圖 1.7 一2 ） ，并設(shè)法把所求圖形的 面積問題轉(zhuǎn)化為求曲邊梯形的面積問題與例 1 不同的是， 還需把所求圖形的面積分成兩部分 S1 和S2.為了確定出被積函數(shù)和積分的上、下限，需要求出直線與曲線的交點(diǎn)的橫 坐標(biāo)，直線與 x 軸的交點(diǎn).解：作出直線，曲線的草圖，所求面積為圖 1. 7 一 2 陰影 部分的面積.解方程組 得直線與曲線的交點(diǎn)的坐標(biāo)為（ 8,4） . 直線與 x 軸的交點(diǎn)為（ 4,0）.因此，所求圖形的面積為 S=S1+S2由上面的例題可以發(fā)現(xiàn)，在利用定積分求平面圖形的面積時(shí)， 一般要先畫出它的草圖，再借助圖形直觀確定

4、出被積函數(shù)以 及積分的上、下限例 3. 求曲線與直線 軸所圍成的圖形面積。答案：練習(xí)1、求直線與拋物線所圍成的圖形面積。 答案：2、求由拋物線及其在點(diǎn) M（0， 3）和 N（ 3， 0）處的兩條切線所圍成的圖形的面積。 略解：，切線方程分別為、，則所求圖形的面積為3、求曲線與曲線以及軸所圍成的圖形面積。 略解：所求圖形的面積為4、在曲線上的某點(diǎn) A 處作一切線使之與曲線以及軸所圍成的面積為.試求：切點(diǎn) A 的坐標(biāo)以及切線方 程.略解：如圖由題可設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，則切線方程 為，切線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，則由題可知有 ，所以切點(diǎn)坐標(biāo)與切線方程分別為 總結(jié)： 1、定積分的幾何意義是：、軸所圍成的圖形的面積

5、 的代數(shù)和，即 .因此求一些曲邊圖形的面積要可以利用定積分的幾何意義以 及微積分基本定理，但要特別注意圖形面積與定積分不一定 相等，如函數(shù)的圖像與軸圍成的圖形的面積為 4, 而其定積分 為 0.2、求曲邊梯形面積的方法與步驟：（1） 畫圖，并將圖形分割為若干個(gè)曲邊梯形；（2） 對(duì)每個(gè)曲邊梯形確定其存在的范圍， 從而確定積分的上、下限；（3） 確定被積函數(shù)；（4） 求出各曲邊梯形的面積和，即各積分的絕對(duì)值的和。3、幾種常見的曲邊梯形面積的計(jì)算方法：（1）型區(qū)域：1由一條曲線與直線以及軸所圍成的曲邊梯形的面積：（如圖（ 1）；2由一條曲線與直線以及軸所圍成的曲邊梯形的面積：（如圖（ 2）；3由兩條

6、曲線與直線圖（ 1）圖（ 2）圖（ 3）所圍成的曲邊梯形的面積：（如圖（ 3）；（二）、定積分在物理中應(yīng)用（1） 求變速直線運(yùn)動(dòng)的路程我們知道，作變速直線運(yùn)動(dòng)的物體所經(jīng)過的路程s，等于其 速度函數(shù) v=v (t) ( v(t) 0)在時(shí)間區(qū)間a,b上的定積分，即例 4 。一輛汽車的速度一時(shí)間曲線如圖 1.7 一 3 所示求 汽車在這 1 min 行駛的路程解：由速度一時(shí)間曲線可知：因此汽車在這 1 min 行駛的路程是： 答：汽車在這 1 min 行駛的路程是 1350m .2變力作功一物體在恒力 F (單位：N)的作用下做直線運(yùn)動(dòng)，如果物體 沿著與F 相同的方向移(單位：m)，則力 F 所作

7、的功為 W=Fs 探究如果物體在變力 F(x )的作用下做直線運(yùn)動(dòng)，并且物體沿著 與 F (x)相同的方向從 x =a 移動(dòng)到 x=b (ab) ，那么如何 計(jì)算變力 F(x )所作的功W呢？ 與求曲邊梯形的面積和求變速直線運(yùn)動(dòng)的路程一樣，可以用 四步曲 解決變力作功問題 可以得到 例 5.如圖 1 74，在彈性限度內(nèi)，將一彈簧從平衡位置 拉到離平衡位置 lm 處，求克服彈力所作的功 解：在彈性限度內(nèi)，拉伸(或壓縮)彈簧所需的力 F ( x ) 與彈簧拉伸(或壓縮)的長度 x 成正比，即 F ( x ) = kx ,其中常數(shù) k 是比例系數(shù)由變力作功公式，得到答：克服彈力所作的功為 .例 6.

8、A B兩站相距 7.2km，一輛電車從 A 站 B 開往站，電 車開出ts 后到達(dá)途中 C 點(diǎn)，這一段的速度為 1.2t(m/s)，到C 點(diǎn)的速度為 24m/s，從 C 點(diǎn)到 B 點(diǎn)前的 D 點(diǎn)以等速行駛，從D 點(diǎn)開始剎車，經(jīng) ts 后，速度為(24-1.2t)m/s，在 B 點(diǎn)恰 好停車，試求(1)AC 間的距離；(2)B D 間的距離；(3)電車從 A 站到 B 站所需的時(shí)間。分析：作變速直線運(yùn)動(dòng)的物體所經(jīng)過的路程 s, 等于其速度函數(shù) v=v(t)(v(t)0)在時(shí)間區(qū)間a,b上的定積分,即略解：(1)設(shè) A 到 C 的時(shí)間為 t1 貝 U 1.2t=24, t 仁 20(s), 則AC

9、=(2) 設(shè) D 到 B 的時(shí)間為 t21 貝 U 24- 1.2t2=0, t2 仁 20(s),則 DB=(3) CD=7200-2240=6720(m),則從 C 到 D 的時(shí)間為 280(s), 則所求時(shí)間為 20+280+20=320( s)例 3:如果 1N 能拉長彈簧 1cm,為了將彈簧拉長 6cm,需做 功( A )A 0.18JB0.26JC0.12JD 0.28J略解：設(shè)，則由題可得，所以做功就是求定積分。練習(xí)：四： 課堂小結(jié)本節(jié)課主要學(xué)習(xí)了利用定積分求一些曲邊圖形的面積與體積， 即定積分在幾何中應(yīng)用，以及定積分在物理學(xué)中的應(yīng)用，要 掌握幾種常見圖形面積的求法，并且要注意定積分的幾何意 義，不能等同于圖形的面積，要注意微積分的基本思想的應(yīng) 用與理解。五: 教后反思