南京大學(xué)數(shù)學(xué)分析，高等代數(shù)考研真題南京大學(xué)2002年數(shù)學(xué)分析考研試題一 求下列極限。（1）；（2）設(shè)，（i）在上的最大值；（ii）設(shè)，求。二 設(shè)，試證明在內(nèi)有無(wú)窮多個(gè)零點(diǎn)。三 設(shè)在的某個(gè)鄰域內(nèi)連續(xù)，且， （1）求； （2）求；（3）證明在點(diǎn)處取得最小值。四 設(shè)在的某個(gè)鄰域內(nèi)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，試證明： （1）； （2）級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂。五 計(jì)算下列積分 （1）求； （2），其中是圓柱面，三個(gè)坐標(biāo)平面及旋轉(zhuǎn)拋物面所圍立體的第一象限部分的外側(cè)曲面。六 設(shè)，在內(nèi)可導(dǎo)，不恒等于常數(shù)，且，試證明：在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使。七 在變力的作用下，質(zhì)點(diǎn)由原點(diǎn)沿直線運(yùn)動(dòng)到橢球面,第一象限的點(diǎn),問(wèn)取何值時(shí)，所做的功最大，并求的最大值。八 （1）證明：，； （2）求。南京大學(xué)2002年數(shù)學(xué)分析考研試題解答一 （1）解 . （2）解 （i）,當(dāng)時(shí)，在上單增，當(dāng)時(shí)，在上單減，所以在處達(dá)到最大值，；（ii）當(dāng)時(shí)， 單調(diào)遞增有上界，設(shè)，則有，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，二 證明 因?yàn)椋@然在上連續(xù)，由連續(xù)函數(shù)的介值定理知，存在使得 ，即得在上有無(wú)窮多個(gè)零點(diǎn)。三 解 （1），因?yàn)椋?，于是；?）由知，存在，當(dāng)時(shí)，即知中在處取得極小值。四 、證明 （1）由，知，由知.（2），已知收斂，其中，于是收斂，結(jié)論得證。五 （1）解 ,所以 .（2）解 曲面，事物交線為，其中是區(qū)域的邊界時(shí)，利用高斯公式， . 當(dāng)是的邊界時(shí)，利用高斯公式 .六 證明 證法一 用反證法，假若結(jié)論不成立，則對(duì)任意，都有，在上單調(diào)遞減，由于不恒等于常數(shù)，所以不恒等于零，存在一點(diǎn)，使得，存在，使得，因?yàn)椋?，這與矛盾，從而假設(shè)不成立，原結(jié)論得證。證法2 由于在上連續(xù)，在上取到最大值和最小值，且，由于，所以的最大值或最小值必在內(nèi)達(dá)到。若在處達(dá)到最大值，存在使得，從而有；若在處達(dá)到最小值，存在使得，從而有；結(jié)論得證。七 解 設(shè)，則有，所以是有勢(shì)場(chǎng)，由于時(shí)，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)，所以時(shí)，達(dá)到最大值，且的最大值為。八 證明 （1）由于當(dāng)時(shí)，有，對(duì)任意，取，所以有；（2）取，有，收斂，對(duì)任意，在上一致收斂于，故由函數(shù)列積分的黎曼控制收斂定理， 。南京大學(xué)2003年數(shù)學(xué)分析考研試題一 求下列極限（1）設(shè)，求；（2）設(shè)，求。（3）。二 過(guò)點(diǎn)作拋物線的切線，求 （1）切線方程； （2）由拋物線、切線及軸所圍成的平面圖形面積； （3）該平面圖形分別繞軸和軸旋轉(zhuǎn)一周的體積。三 對(duì)任一，求在中的最大值，并證明該最大值對(duì)任一，均小于。四 設(shè)在上有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，（為常數(shù)），試證：在內(nèi)僅有一個(gè)零點(diǎn)。五 計(jì)算下列積分 （1）設(shè)，求和； （2），其中為上半球面，的外側(cè)。六 設(shè)，在上黎曼可積， （1）求，并討論在上的一致收斂性； （2）求，（要說(shuō)明理由）七 設(shè)的收斂半徑為，令，試證明：在上一致收斂于，其中為任一有窮閉區(qū)間。南京大學(xué)2003年數(shù)學(xué)分析考研試題解答一 （1）解 設(shè)，則有，由此知，； （2）解 由歸納法，易知，由此知，單調(diào)遞增有界，設(shè)，則有 ，故。（3） ，故。3 解 （1），設(shè)切點(diǎn)為，設(shè)切點(diǎn)的切線方程為。將，代入，所求切線方程為，即。（2）解。（3）， 。三 解 ，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，于是在處達(dá)到最大值，。容易證明在上單調(diào)遞減， 故有.四 證明 對(duì)任意，,當(dāng)充分大時(shí)，有，又，由連續(xù)函數(shù)的介值定理，存在，由，在上嚴(yán)格單調(diào)遞增，所以在內(nèi)僅有一個(gè)零點(diǎn)。五 （1）解 ，顯然，.（2）解 ， .六、解 ，由于極限函數(shù)在上不連續(xù)，所以在上不一致收斂；但對(duì)任何在上一致收斂于0；且，根據(jù)控制收斂定理，對(duì)于在上黎曼可積， 有 。七、 證明 由條件知在上連續(xù)，在任意有限區(qū)間上是一致收斂的，對(duì)任意有限區(qū)間，在上一致收斂于，在上一致有界，再由在上一致連續(xù)，于是有在上一致收斂于.