A級(jí)基礎(chǔ)通關(guān)一、選擇題1半徑為R的半圓卷成一個(gè)圓錐，則它的體積為()A.R3B.R3C.R3 D.R3解析：設(shè)圓錐的底面圓的半徑為r，高為h，由2rR，得r，因此hR.所以V圓錐r2·h··RR3.答案：B2(2018·北京卷)某四棱錐的三視圖如圖所示，在此四棱錐的側(cè)面中，直角三角形的個(gè)數(shù)為()A1B2C3D4解析：由三視圖得到空間幾何體，如圖所示，則PA平面ABCD，平面ABCD為直角梯形，PAABAD2，BC1，所以PAAD，PAAB，PABC.又BCAB，ABPAA，所以BC平面PAB，所以BCPB.在PCD中，PD2，PC3，CD，所以PCD為銳角三角形所以側(cè)面中的直角三角形為PAB，PAD，PBC，共3個(gè)答案：C3如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為()A83 B84C85 D86解析：由題圖可知，幾何體為半圓柱挖去半球體，幾何體的表面積為2××42×486.答案：D4中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)中，將底面是直角三角形的直棱柱稱為“塹堵”已知“塹堵”的正視圖和俯視圖如圖所示，則該“塹堵”的側(cè)視圖的面積為()A18 B18 C18 D.解析：在俯視圖RtABC中，作AHBC交于點(diǎn)H.由三視圖的意義，則BH6，HC3，根據(jù)射影定理，AH2BH·HC，所以AH3.易知該“塹堵”的側(cè)視圖是矩形，長(zhǎng)為6，寬為AH3，故側(cè)視圖的面積S6×318.答案：C5(2019·青島二中檢測(cè))某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()A6 B4 C. D.解析：由三視圖知該幾何體是邊長(zhǎng)為2的正方體挖去一個(gè)三棱柱(如圖)，且挖去的三棱柱的高為1，底面是等腰直角三角形，等腰直角三角形的直角邊長(zhǎng)為2，故幾何體體積V23×2×2×16.答案：A6(2017·全國(guó)卷)已知圓柱的高為1，它的兩個(gè)底面的圓周在直徑為2的同一個(gè)球的球面上，則該圓柱的體積為()A B. C. D.解析：設(shè)圓柱的底面半徑為r，球的半徑為R，且R1，由圓柱兩個(gè)底面的圓周在同一個(gè)球的球面上可知，r，R及圓柱的高的一半構(gòu)成直角三角形所以r .所以圓柱的體積為Vr2h×1.故選B.答案：B二、填空題7(2019·江蘇卷)如圖，長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1的體積是120，E為CC1的中點(diǎn)，則三棱錐E-BCD的體積是_解析：設(shè)長(zhǎng)方體中BCa，CDb，CC1c，則abc120，所以VEBCD×ab×cabc10.答案：108(2018·浙江卷改編)某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該幾何體的體積(單位：cm3)為_解析：由三視圖可知，該幾何體是一個(gè)底面為直角梯形的直四棱柱，所以該幾何體的體積V×(12)×2×26.答案：69(2017·北京卷改編)某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的最長(zhǎng)棱的長(zhǎng)度為_解析：根據(jù)三視圖可得該四棱錐的直觀圖(四棱錐P-ABCD)如圖所示，將該四棱錐放入棱長(zhǎng)為2的正方體中由圖可知該四棱錐的最長(zhǎng)棱為PD，PD2.答案：210(2019·惠州調(diào)研)已知一張矩形白紙ABCD，AB10，AD10，E，F(xiàn)分別為AD，BC的中點(diǎn)，現(xiàn)分別將ABE，CDF沿BE，DF折起，使A，C重合于點(diǎn)P，則三棱錐PDEF的外接球的表面積為_解析：三棱錐P-DEF中，PD2PF2CD2CF2DF2，所以DPF90°，且DF2102(5)2150.又DEF90°，所以DF的中點(diǎn)為三棱錐PDEF的外接球的球心，則2RDF，故球的表面積S4R2150.答案：150B級(jí)能力提升11(2019·雅禮中學(xué)質(zhì)檢)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()A. B5 C. D解析：由三視圖可知，該幾何體是一個(gè)組合體，它由半個(gè)圓錐與四分之一球體組成，其中圓錐的底面半徑為1，高為2，體積為×××12×2；球的半徑為1，體積為××13.所以該幾何體的體積V.答案：C12我國(guó)齊梁時(shí)代的數(shù)學(xué)家祖暅提出了一條原理：“冪勢(shì)既同，則積不容異”意思是：兩個(gè)等高的幾何體若在所有等高處的水平截面的面積相等，則這兩個(gè)幾何體的體積相等橢球體是橢圓繞其軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體如圖，將底面直徑都為2b，高皆為a的橢半球體和已被挖去了圓錐體的圓柱放置于同一平面上，用平行于平面且與平面任意距離d處的平面截這兩個(gè)幾何體，可橫截得到S圓及S環(huán)兩截面可以證明S圓S環(huán)總成立據(jù)此，半短軸長(zhǎng)為1，半長(zhǎng)軸長(zhǎng)為3的橢球體的體積是_解析：因?yàn)镾圓S環(huán)總成立，則半橢球體的體積為b2ab2ab2a.所以橢球體的體積Vb2a.因?yàn)闄E球體半短軸長(zhǎng)為1，半長(zhǎng)軸長(zhǎng)為3即b1，a3.故橢球體的體積Vb2a4.答案：413.在九章算術(shù)中，將底面為矩形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽(yáng)馬如圖，若四棱錐P-ABCD為陽(yáng)馬，側(cè)棱PA底面ABCD，且PA3，BCAB4，設(shè)該陽(yáng)馬的外接球半徑為R，內(nèi)切球半徑為r，則R_，內(nèi)切球的體積V_解析：在四棱錐P-ABCD中，側(cè)棱PA底面ABCD，且底面為矩形，將該“陽(yáng)馬”補(bǔ)成長(zhǎng)方體，則(2R)2AB2AD2AP21616941.因此R.依題意RtPABRtPAD，則內(nèi)切球O在側(cè)面PAD內(nèi)的正視圖是PAD的內(nèi)切圓，且該內(nèi)切圓與PAB的內(nèi)切圓全等故內(nèi)切球的半徑r(345)1，則Vr3.答案：14(2017·全國(guó)卷)已知三棱錐S­ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，SC是球O的直徑若平面SCA平面SCB，SAAC，SBBC，三棱錐S­ABC的體積為9，則球O的表面積為_解析：如圖，連接OA，OB.由SAAC，SBBC，SC為球O的直徑，知OASC，OBSC.由平面SCA平面SCB，平面SCA平面SCBSC，所以O(shè)A平面SCB.設(shè)球O的半徑為r，則OAOBr，SC2r，所以三棱錐S­ABC的體積V×·OA，即9，所以r3，所以S球表4r236.答案：36