2.3.2 平面與平面垂直的判定整體設(shè)計(jì)教學(xué)分析 在空間平面與平面之間的位置關(guān)系中，垂直是一種非常重要的位置關(guān)系，它不僅應(yīng)用較多，而且是空間問題平面化的典范.空間中平面與平面垂直的定義是通過二面角給出的，二面角是高考中的重點(diǎn)和難點(diǎn).使學(xué)生掌握兩個(gè)平面互相垂直的判定，提高學(xué)生空間想象能力，提高等價(jià)轉(zhuǎn)化思想滲透的意識(shí)，進(jìn)一步提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力；使學(xué)生學(xué)會(huì)多角度分析、思考問題，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神.三維目標(biāo)1.探究平面與平面垂直的判定定理，二面角的定義及應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生的歸納能力.2.掌握平面與平面垂直的判定定理的應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力.3.引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)求二面角的方法,培養(yǎng)學(xué)生歸納問題的能力.重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn):平面與平面垂直判定.教學(xué)難點(diǎn):平面與平面垂直判定和求二面角.課時(shí)安排1課時(shí)教學(xué)過程復(fù)習(xí) 兩平面的位置關(guān)系：（1）如果兩個(gè)平面沒有公共點(diǎn)，則兩平面平行若=,則.（2）如果兩個(gè)平面有一條公共直線，則兩平面相交若=AB,則與相交.兩平面平行與相交的圖形表示如圖1.圖1導(dǎo)入新課思路1.(情境導(dǎo)入) 為了解決實(shí)際問題，人們需要研究?jī)蓚€(gè)平面所成的角.修筑水壩時(shí)，為了使水壩堅(jiān)固耐用必須使水壩面與水平面成適當(dāng)?shù)慕嵌?；發(fā)射人造地球衛(wèi)星時(shí)，使衛(wèi)星軌道平面與地球赤道平面成一定的角度.為此，我們引入二面角的概念，研究?jī)蓚€(gè)平面所成的角.思路2.(直接導(dǎo)入) 前邊舉過門和墻所在平面的關(guān)系，隨著門的開啟，其所在平面與墻所在平面的相交程度在變，怎樣描述這種變化呢？今天我們一起來探究?jī)蓚€(gè)平面所成角問題.推進(jìn)新課新知探究提出問題二面角的有關(guān)概念、畫法及表示方法.二面角的平面角的概念.兩個(gè)平面垂直的定義.用三種語言描述平面與平面垂直的判定定理，并給出證明.應(yīng)用面面垂直的判定定理難點(diǎn)在哪里？討論結(jié)果：二面角的有關(guān)概念.二面角的定義：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角.這條直線叫二面角的棱，這兩個(gè)半平面叫二面角的面.二面角常用直立式和平臥式兩種畫法：如圖2（教師和學(xué)生共同動(dòng)手）.直立式： 平臥式： (1) (2)圖2 二面角的表示方法：如圖3中，棱為AB，面為、的二面角，記作二面角-AB-.有時(shí)為了方便也可在、內(nèi)（棱以外的半平面部分）分別取點(diǎn)P、Q，將這個(gè)二面角記作二面角P-AB-Q.圖3如果棱為l，則這個(gè)二面角記作l或PlQ.二面角的平面角的概念. 如圖4,在二面角l的棱上任取點(diǎn)O，以O(shè)為垂足，在半平面和內(nèi)分別作垂直于棱的射線OA和OB，則射線OA和OB組成AOB.圖4 再取棱上另一點(diǎn)O，在和內(nèi)分別作l的垂線OA和OB，則它們組成角AOB. 因?yàn)镺AOA,OBOB，所以AOB及AOB的兩邊分別平行且方向相同, 即AOB=AOB. 從上述結(jié)論說明了：按照上述方法作出的角的大小，與角的頂點(diǎn)在棱上的位置無關(guān). 由此結(jié)果引出二面角的平面角概念：以二面角的棱上任意一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角. 圖中的AOB,AOB都是二面角l的平面角.直二面角的定義. 二面角的大小可以用它的平面角來度量，二面角的平面角是多少度，就說二面角是多少度.平面角是直角的二面角叫做直二面角. 教室的墻面與地面，一個(gè)正方體中每相鄰的兩個(gè)面、課桌的側(cè)面與地面都是互相垂直的. 兩個(gè)平面互相垂直的概念和平面幾何里兩條直線互相垂直的概念相類似，也是用它們所成的角為直角來定義，二面角既可以為銳角，也可以為鈍角，特殊情形又可以為直角. 兩個(gè)平面互相垂直的定義可表述為： 如果兩個(gè)相交平面所成的二面角為直二面角，那么這兩個(gè)平面互相垂直. 直二面角的畫法：如圖5.圖5兩個(gè)平面垂直的判定定理. 如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直. 兩個(gè)平面垂直的判定定理符號(hào)表述為：. 兩個(gè)平面垂直的判定定理圖形表述為：如圖6.圖6證明如下：已知AB，AB=B，AB.求證：.分析：要證,需證和構(gòu)成的二面角是直二面角，而要證明一個(gè)二面角是直二面角，需找到其中一個(gè)平面角，并證明這個(gè)二面角的平面角是直角.證明：設(shè)=CD，則由AB,知AB、CD共面.AB，CD,ABCD，垂足為點(diǎn)B.在平面內(nèi)過點(diǎn)B作直線BECD,則ABE是二面角CD的平面角.又ABBE，即二面角CD是直二面角,.應(yīng)用面面垂直的判定定理難點(diǎn)在于：在一個(gè)平面內(nèi)找到另一個(gè)平面的垂線,即要證面面垂直轉(zhuǎn)化為證線線垂直.應(yīng)用示例思路1例1 如圖7,O在平面內(nèi)，AB是O的直徑，PA，C為圓周上不同于A、B的任意一點(diǎn).圖7求證：平面PAC平面PBC.證明：設(shè)O所在平面為,由已知條件，PA,BC,PABC.C為圓周上不同于A、B的任意一點(diǎn),AB是O的直徑,BCAC.又PA與AC是PAC所在平面內(nèi)的兩條相交直線，BC平面PAC.BC平面PBC,平面PAC平面PBC.變式訓(xùn)練 如圖8，把等腰RtABC沿斜邊AB旋轉(zhuǎn)至ABD的位置，使CD=AC，圖8（1）求證：平面ABD平面ABC；（2）求二面角CBDA的余弦值.（1）證明：由題設(shè),知AD=CD=BD,作DO平面ABC，O為垂足，則OA=OB=OC.O是ABC的外心，即AB的中點(diǎn).OAB，即O平面ABD.OD平面ABD.平面ABD平面ABC.（2）解:取BD的中點(diǎn)E，連接CE、OE、OC,BCD為正三角形，CEBD.又BOD為等腰直角三角形,OEBD.OEC為二面角CBDA的平面角.同（1）可證OC平面ABD.OCOE.COE為直角三角形.設(shè)BC=a，則CE=，OE=，cosOEC=.點(diǎn)評(píng)：欲證面面垂直關(guān)鍵在于在一個(gè)平面內(nèi)找到另一個(gè)平面的垂線.例2 如圖9所示，河堤斜面與水平面所成二面角為60°，堤面上有一條直道CD，它與堤角的水平線AB的夾角為30°，沿這條直道從堤腳向上行走到10 m時(shí)人升高了多少？（精確到0.1 m）圖9解：取CD上一點(diǎn)E，設(shè)CE=10 m，過點(diǎn)E作直線AB所在的水平面的垂線EG，垂足為G，則線段EG的長(zhǎng)就是所求的高度. 在河堤斜面內(nèi)，作EFAB，垂足為F，并連接FG, 則FGAB,即EFG就是河堤斜面與水平面ABG所成二面角的平面角, EFG=60°,由此,得EG=EFsin60°=CEsin30°sin60°=10×4.3（m）.答：沿直道行走到10 m時(shí)人升高約4.3 m.變式訓(xùn)練 已知二面角AB等于45°，CD，DAB，CDB=45°.求CD與平面所成的角.解：如圖10，作CO交于點(diǎn)O，連接DO，則CDO為DC與所成的角.圖10過點(diǎn)O作OEAB于E，連接CE，則CEAB.CEO為二面角AB的平面角，即CEO=45°.設(shè)CD=a,則CE=,COOE，OC=OE，CO=.CODO,sinCDO=.CDO=30°,即DC與成30°角.點(diǎn)評(píng)：二面角是本節(jié)的另一個(gè)重點(diǎn)，作二面角的平面角最常用的方法是：在一個(gè)半平面內(nèi)找一點(diǎn)C，作另一個(gè)半平面的垂線，垂足為O,然后通過垂足O作棱AB的垂線，垂足為E,連接AE,則CEO為二面角-AB-的平面角.這一過程要求學(xué)生熟記.思路2例1 如圖11，ABCD是菱形，PA平面ABCD，PA=AD=2，BAD=60°.圖11（1）求證：平面PBD平面PAC；（2）求點(diǎn)A到平面PBD的距離；（3）求二面角APBD的余弦值.（1）證明：設(shè)AC與BD交于點(diǎn)O，連接PO,底面ABCD是菱形,BDAC.PA底面ABCD,BD平面ABCD,的PABD.又PAAC=A,BD平面PAC.又BD平面PBD,平面PBD平面PAC.(2)解：作AEPO于點(diǎn)E,平面PBD平面PAC,AE平面PBD.AE為點(diǎn)A到平面PBD的距離.在PAO中,PA=2,AO=2·cos30°=,PAO=90°,PO=,AE=.點(diǎn)A到平面PBD的距離為.（3）解：作AFPB于點(diǎn)F,連接EF,AE平面PBD,AEPB.PB平面AEF,PBEF.AFE為二面角APBD的平面角.在RtAEF中,AE=,AF=,sinAFE=,cosAFE=.二面角APBD的余弦值為.變式訓(xùn)練 如圖12，PA矩形ABCD所在平面，M、N分別是AB、PC的中點(diǎn).（1）求證：MN平面PAD；（2）求證：MNCD；（3）若二面角PDCA=45°，求證：MN平面PDC. 圖12 圖13證明：如圖13所示,（1）取PD的中點(diǎn)Q，連接AQ、NQ,則QNDC,AMDC,QNAM.四邊形AMNQ是平行四邊形.MNAQ.又MN平面PAD,AQ平面PAD,MN平面PAD.（2）PA平面ABCD，PACD.又CDAD,PAAD=A,CD平面PAD.又AQ平面PAD,CDAQ.又AQMN,MNCD.（3）由（2）知，CD平面PAD,CDAD,CDPD.PDA是二面角PDCA的平面角.PDA=45°.又PA平面ABCD,PAAD.AQPD.又MNAQ,MNCD.又MNPD,MN平面PDC.例2 如圖14,已知直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，且DAB=60°,AD=AA1，F(xiàn)為棱BB1的中點(diǎn)，M為線段AC1的中點(diǎn).圖14（1）求證：直線MF平面ABCD；（2）求證：平面AFC1平面ACC1A1；（3）求平面AFC1與平面ABCD所成二面角的大小.（1）證明：延長(zhǎng)C1F交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，連接AN.F是BB1的中點(diǎn)，F(xiàn)為C1N的中點(diǎn)，B為CN的中點(diǎn).又M是線段AC1的中點(diǎn)，故MFAN.又MF平面ABCD,AN平面ABCD,MF平面ABCD.（2）證明：連接BD，由直四棱柱ABCDA1B1C1D1,可知AA1平面ABCD,又BD平面ABCD，A1ABD.四邊形ABCD為菱形，ACBD.又ACA1A=A,AC、A1A平面ACC1A1,BD平面ACC1A1.在四邊形DANB中，DABN且DA=BN，四邊形DANB為平行四邊形.故NABD，NA平面ACC1A1.又NA平面AFC1,平面AFC1平面ACC1A1.（3）解：由（2）,知BD平面ACC1A1，又AC1平面ACC1A1，BDAC1.BDNA，AC1NA.又由BDAC,可知NAAC，C1AC就是平面AFC1與平面ABCD所成二面角的平面角或補(bǔ)角.在RtC1AC中，tanC1AC=，故C1AC=30°.平面AFC1與平面ABCD所成二面角的大小為30°或150°.變式訓(xùn)練 如圖15所示，在四棱錐SABCD中，底面ABCD是矩形，側(cè)面SDC底面ABCD，且AB=2，SC=SD=2.圖15（1）求證：平面SAD平面SBC；（2）設(shè)BC=x，BD與平面SBC所成的角為，求sin的取值范圍.（1）證明：在SDC中，SC=SD=，CD=AB=2,DSC=90°,即DSSC.底面ABCD是矩形,BCCD.又平面SDC平面ABCD,BC面SDC.DSBC.DS平面SBC.DS平面SAD,平面SAD平面SBC.（2）解：由（1）,知DS平面SBC,SB是DB在平面SBC上的射影.DBS就是BD與平面SBC所成的角，即DBS=.那么sin=.BC=x,CD=2DB=,sin=.由0x+,得0sin.知能訓(xùn)練 課本本節(jié)練習(xí).拓展提升 如圖16，在四棱錐PABCD中，側(cè)面PAD是正三角形，且與底面ABCD垂直，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，BAD=60°，N是PB中點(diǎn)，過A、D、N三點(diǎn)的平面交PC于M，E為AD的中點(diǎn).圖16（1）求證：EN平面PCD；（2）求證：平面PBC平面ADMN；（3）求平面PAB與平面ABCD所成二面角的正切值.(1)證明：ADBC,BC面PBC,AD面PBC,AD面PBC.又面ADN面PBC=MN,ADMN.MNBC.點(diǎn)M為PC的中點(diǎn).MNBC.又E為AD的中點(diǎn)，四邊形DENM為平行四邊形.ENDM.EN面PDC.（2）證明：連接PE、BE,四邊形ABCD為邊長(zhǎng)為2的菱形，且BAD=60°,BEAD.又PEAD,AD面PBE.ADPB.又PA=AB且N為PB的中點(diǎn),ANPB.PB面ADMN.平面PBC平面ADMN.（3）解：作EFAB，連接PF，PE平面ABCD,ABPF.PFE就是平面PAB與平面ABCD所成二面角的平面角.又在RtAEB中，BE=，AE=1，AB=2,EF=.又PE=,tanPFE=2,即平面PAB與平面ABCD所成的二面角的正切值為2.課堂小結(jié)知識(shí)總結(jié)：利用面面垂直的判定定理找出平面的垂線，然后解決證明垂直問題、平行問題、求角問題、求距離問題等.思想方法總結(jié)：轉(zhuǎn)化思想，即把面面關(guān)系轉(zhuǎn)化為線面關(guān)系，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題.作業(yè) 課本習(xí)題2.3 A組1、2、3.設(shè)計(jì)感想 線面關(guān)系是線線關(guān)系和面面關(guān)系的橋梁和紐帶，空間中直線與平面垂直的性質(zhì)定理不僅是由線面關(guān)系轉(zhuǎn)化為線線關(guān)系，而且將垂直關(guān)系轉(zhuǎn)化為平行關(guān)系，因此直線與平面垂直的性質(zhì)定理在立體幾何中有著特殊的地位和作用，因此它是高考考查的重點(diǎn).本節(jié)不僅選用了大量經(jīng)典好題，還選用了大量的2007高考模擬題，相信能夠幫助大家解決立體幾何中的重點(diǎn)難點(diǎn)問題.