數(shù)學(xué)分析(三)參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一. 計(jì)算題（共8題，每題9分，共72分）。1. 求函數(shù)在點(diǎn)(0,0)處的二次極限與二重極限.解： ，因此二重極限為.(4分)因?yàn)榕c均不存在，故二次極限均不存在。 (9分)2. 設(shè) 是由方程組所確定的隱函數(shù),其中和分別具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)和偏導(dǎo)數(shù),求.解： 對(duì)兩方程分別關(guān)于求偏導(dǎo): ， (4分)。解此方程組并整理得. (9分)3. 取為新自變量及為新函數(shù)，變換方程。設(shè) （假設(shè)出現(xiàn)的導(dǎo)數(shù)皆連續(xù)）.解：看成是的復(fù)合函數(shù)如下：。 (4分)代人原方程，并將變換為。整理得： 。 (9分)4. 要做一個(gè)容積為的有蓋圓桶,什么樣的尺寸才能使用料最省?解： 設(shè)圓桶底面半徑為,高為,則原問題即為：求目標(biāo)函數(shù)在約束條件下的最小值，其中目標(biāo)函數(shù): ,約束條件: 。 (3分) 構(gòu)造Lagrange函數(shù)：。令 (6分) 解得，故有 由題意知問題的最小值必存在，當(dāng)?shù)酌姘霃綖楦邽闀r(shí)，制作圓桶用料最省。 (9分)5. 設(shè),計(jì)算.解：由含參積分的求導(dǎo)公式 (5分) 。 (9分)6. 求曲線所圍的面積，其中常數(shù).解：利用坐標(biāo)變換 由于，則圖象在第一三象限，從而可以利用對(duì)稱性，只需求第一象限內(nèi)的面積。 (3分)則 (6分) . (9分)7. 計(jì)算曲線積分,其中是圓柱面與平面的交線（為一橢圓），從軸的正向看去，是逆時(shí)針方向. 解： 取平面上由曲線所圍的部分作為Stokes公式中的曲面，定向?yàn)樯蟼?cè)，則的法向量為 。 (3分) 由Stokes公式得 (6分) (9分)8. 計(jì)算積分,為橢球的上半部分的下側(cè).解：橢球的參數(shù)方程為，其中且 。 (3分)積分方向向下，取負(fù)號(hào)，因此， (6分) (9分) 二. 證明題（共3題，共28分）。9.（9分） 討論函數(shù)在原點(diǎn)(0,0)處的連續(xù)性、可偏導(dǎo)性和可微性.解：連續(xù)性：當(dāng)時(shí)，當(dāng)，從而函數(shù)在原點(diǎn)處連續(xù)。 (3分)可偏導(dǎo)性：， ，即函數(shù)在原點(diǎn)處可偏導(dǎo)。 (5分)可微性： 不存在，從而函數(shù)在原點(diǎn)處不可微。 (9分)10.（9分） （9分） 設(shè)滿足：（1）在上連續(xù)，（2），（3）當(dāng)固定時(shí)，函數(shù)是的嚴(yán)格單減函數(shù)。試證：存在，使得在上通過定義了一個(gè)函數(shù)，且在上連續(xù)。證明：（i）先證隱函數(shù)的存在性。由條件（3）知，在上是的嚴(yán)格單減函數(shù)，而由條件（2）知，從而由函數(shù)的連續(xù)性得 ， ?，F(xiàn)考慮一元連續(xù)函數(shù)。由于，則必存在使得， 。同理，則必存在使得， 。取，則在鄰域內(nèi)同時(shí)成立 ， 。 (3分)于是，對(duì)鄰域內(nèi)的任意一點(diǎn)，都成立 ， 。 固定此，考慮一元連續(xù)函數(shù)。由上式和函數(shù)關(guān)于的連續(xù)性可知，存在的零點(diǎn)使得0。 而關(guān)于嚴(yán)格單減，從而使0的是唯一的。再由的任意性，證明了對(duì)內(nèi)任意一點(diǎn)，總能從找到唯一確定的與相對(duì)應(yīng)，即存在函數(shù)關(guān)系或。此證明了隱函數(shù)的存在性。(6分)（ii）下證隱函數(shù)的連續(xù)性。設(shè)是內(nèi)的任意一點(diǎn)，記。對(duì)任意給定的，作兩平行線， 。由上述證明知 ， 。由的連續(xù)性，必存在的鄰域使得 ， ， 。對(duì)任意的，固定此并考慮的函數(shù)，它關(guān)于嚴(yán)格單減且， 。于是在內(nèi)存在唯一的一個(gè)零點(diǎn)使，即 對(duì)任意的，它對(duì)應(yīng)的函數(shù)值滿足。這證明了函數(shù)是連續(xù)的。 (9分)11.（10分）判斷積分在上是否一致收斂，并給出證明。證明：此積分在上非一致收斂。證明如下：作變量替換，則。 (3分)不論正整數(shù)多么大，當(dāng)時(shí)，恒有。 (5分)因此， (7分) ，當(dāng)時(shí)。因此原積分在上非一致收斂。 (10分)注：不能用Dirichlet判別法證明原積分是一致收斂的。原因如下：盡管對(duì)任意的積分一致有界，且函數(shù)關(guān)于單調(diào)，但是當(dāng)時(shí)，關(guān)于并非一致趨于零。事實(shí)上，取 相應(yīng)地取，則，并非趨于零。 數(shù)學(xué)分析3 模擬試題一、 解答下列各題（每小題5分，共40分）1、 設(shè)求；2、求3、設(shè)求在點(diǎn)處的值；4、求由方程所確定的函數(shù)在點(diǎn)處的全微分；5、求函數(shù)在點(diǎn)處的梯度；6、求曲面在點(diǎn)（1，2，0）處的切平面和法線方程；7、計(jì)算積分：；8、計(jì)算積分：；二、 (10分)求內(nèi)接于橢球的最大長方體的體積，長方體的各個(gè)面平行于坐標(biāo)面。三、 （10分）若是由和兩坐標(biāo)軸圍成的三角形區(qū)域，且，求四、 （10分）計(jì)算,其中是由圓周及所圍成的在第一象限內(nèi)的閉區(qū)域 .五、 （10分）計(jì)算，其中為，的全部邊界曲線，取逆時(shí)針方向。六、 （10分）計(jì)算，其中是半球面。七、 （10分）討論含參變量反常積分在內(nèi)的一致收斂性。參考答案一、解答下列各題（每小題5分，共40分）1、 設(shè)求；解：；。2、求；解：3、設(shè)求在點(diǎn)處的值；解：。4、求由方程所確定的函數(shù)在點(diǎn)處的全微分；解：在原方程的兩邊求微分，可得將代入上式，化簡(jiǎn)后得到5、求函數(shù)在點(diǎn)處的梯度；解：。6、求曲面在點(diǎn)（1，2，0）處的切平面和法線方程；解：記在點(diǎn)（1，2，0）處的法向量為：則切平面方程為：即法線方程為：，即。7、計(jì)算積分：；解：而在上連續(xù)，且在1，2上一致收斂，則可交換積分次序，于是有原式。8、計(jì)算積分：；解：交換積分順序得：八、 求內(nèi)接于橢球的最大長方體的體積，長方體的各個(gè)面平行于坐標(biāo)面。解：設(shè)長方體在第一卦限的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（x,y,z），則長方體的體積為：拉格朗日函數(shù)為 由 解得：根據(jù)實(shí)際情況必有最大值，所以當(dāng)長方體在第一卦限內(nèi)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為時(shí)體積最大。九、 若D是由和兩坐標(biāo)軸圍成的三角形區(qū)域，且，求解：十、 計(jì)算,其中是由圓周及所圍成的在第一象限內(nèi)的閉區(qū)域 .解：。十一、 計(jì)算，其中為，的全部邊界曲線，取逆時(shí)針方向。解：由格林公式：所以十二、 計(jì)算，其中是半球面。解：十三、 討論含參變量反常積分在內(nèi)的一致收斂性。解：，而收斂，所以由M判別法知，在內(nèi)的一致收斂。 數(shù)學(xué)分析3 模擬試題十四、 解答下列各題（每小題5分，共40分）1、設(shè)，求；2、，求；3、設(shè)，求；4、設(shè)是方程所確定的與的函數(shù)，求；5、求函數(shù)在點(diǎn)處沿從點(diǎn)到點(diǎn)的方向?qū)?shù)；6、已知曲面上點(diǎn)P處的切平面平行于平面，求P點(diǎn)的坐標(biāo)。7、計(jì)算積分：;8、計(jì)算積分：；二、 (10分)原點(diǎn)到曲線的最大距離和最小距離。三、（10分）已知，其中為球體：，求四、（10分）計(jì)算，其中D是由圓周所圍成的區(qū)域。五、（10分）計(jì)算，其中為圓周，取逆時(shí)針方向。六、（10分）計(jì)算，其中為錐面被拄面所割下部分。七、 （10分）討論含參變量反常積分在內(nèi)的一致收斂性。參考答案十五、 解答下列各題（每小題5分，共40分）1、設(shè)，求；解：。2、，求；解：。3、設(shè)，求；解：。4、設(shè)是方程所確定的與的函數(shù)，求；解：方程兩邊求微分，得。5、求函數(shù)在點(diǎn)處沿從點(diǎn)到點(diǎn)的方向?qū)?shù)；解：方向即向量的方向，因此x軸到方向的轉(zhuǎn)角。故所求方向?qū)?shù)為：。6、已知曲面上點(diǎn)P處的切平面平行于平面，求P點(diǎn)的坐標(biāo)。解：設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為，則P點(diǎn)處的切平面為又因該平面與平面平行，則有 ，即。7、計(jì)算積分：;解：而在上連續(xù)，且在2，3上一致收斂，則可交換積分次序，于是有原式。8、計(jì)算積分：；解：交換積分順序得：三、 原點(diǎn)到曲線的最大距離和最小距離。解：設(shè)P（x,y,z）為曲線上任意點(diǎn)，則目標(biāo)函數(shù)為，約束條件為，建立拉格朗日函數(shù)：由 得駐點(diǎn)：和，根據(jù)實(shí)際情況必有最大值和最小值，。四、 已知，其中為球體：，求解：用球坐標(biāo)計(jì)算，得故。四、計(jì)算，其中D是由圓周所圍成的區(qū)域。解：由對(duì)稱性知：故五、計(jì)算，其中為圓周，取逆時(shí)針方向。解：由格林公式：所以 。六、計(jì)算，其中為錐面被拄面所割下部分。解：在xoy面上的投影為八、 討論含參變量反常積分在內(nèi)的一致收斂性。解：當(dāng)時(shí)，而收斂，所以由M判別法知，在內(nèi)的一致收斂。