滿分示范課函數(shù)與導數(shù)函數(shù)與導數(shù)問題一般以函數(shù)為載體，以導數(shù)為工具，重點考查函數(shù)的一些性質，如含參函數(shù)的單調性、極值或最值的探求與討論，復雜函數(shù)零點的討論，函數(shù)不等式中參數(shù)范圍的討論，恒成立和能成立問題的討論等，是近幾年高考試題的命題熱點對于這類綜合問題，一般是先求導，再變形、分離或分解出基本函數(shù)，再根據題意處理【典例】(滿分12分)(2019·全國卷)已知函數(shù)f(x)ln x.(1)討論f(x)的單調性，并證明f(x)有且僅有兩個零點；(2)設x0是f(x)的一個零點，證明曲線yln x在點A(x0，ln x0)處的切線也是曲線yex的切線規(guī)范解答(1)f(x)的定義域為(0，1)(1，)因為f(x)>0，所以f(x)在(0，1)，(1，)單調遞增因為f(e)1<0，f(e2)2>0，所以f(x)在(1，)有唯一零點x1(e<x1<e2)，即f(x1)0.又0<<1，f ln x1f(x1)0，故f(x)在(0，1)有唯一零點.綜上，f(x)有且僅有兩個零點(2)因為eln x0，所以點B在曲線yex上由題設知f(x0)0，即ln x0，故直線AB的斜率k.曲線yex在點B處切線的斜率是，曲線yln x在點A(x0，ln x0)處切線的斜率也是.所以曲線yln x在點A(x0，ln x0)處的切線也是曲線yex的切線高考狀元滿分心得1得步驟分：抓住得分點的步驟，“步步為贏”，求得滿分如第(1)問中，求導正確，判斷單調性利用零點存在定理，定零點個數(shù)第(2)問中，由f(x0)0定切點B，求切線的斜率2得關鍵分：解題過程不可忽視關鍵點，有則給分，無則沒分，如第(1)問中，求出f(x)的定義域，f(x)在(0，)上單調性的判斷；第(2)問中，找關系ln x0，判定兩曲線在點B處切線的斜率相等3得計算分：解題過程中計算準確是得滿分的根本保證如第(1)問中，求導f(x)準確，否則全盤皆輸，判定f(x1)f0；第(2)問中，正確計算kAB等，否則不得分解題程序第一步：求f(x)的定義域，計算f(x)第二步：由f(x)在(1，)上的單調性與零點存在定理，判斷f(x)在(1，)上有唯一零點x0.第三步：證明f0，從而f(x)在定義域內有兩個零點第四步：由第(1)問，求直線AB的斜率k.第五步：求yex在點A、B處的切線斜率k，得證第六步：檢驗反思，規(guī)范解題步驟跟蹤訓練1已知函數(shù)f(x)ex1，g(x)x，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)，e2.718 28.(1)證明：函數(shù)h(x)f(x)g(x)在區(qū)間(1，2)上有零點；(2)求方程f(x)g(x)的根的個數(shù)，并說明理由；(1)證明：由題意可得h(x)f(x)g(x)ex1x，所以h(1)e30，h(2)e230，所以h(1)·h(2)0，所以函數(shù)h(x)在區(qū)間(1，2)上有零點(2)解：由(1)可知，h(x)f(x)g(x)ex1x.由g(x)x知x0，)，且h(0)0，則x0為h(x)的一個零點又h(x)在(1，2)內有零點，因此h(x)在0，)上至少有兩個零點h(x)exx1，記(x)exx1.則(x)exx，當x(0，)時，(x)0，則(x)在(0，)上遞增易知(x)在(0，)內只有一個零點，所以h(x)在0，)上有且只有兩個零點，所以方程f(x)g(x)的根的個數(shù)為2.2(2019·安徽十校聯(lián)盟)已知函數(shù)f(x)ln xax1(aR)(1)討論函數(shù)f(x)的單調性；(2)若函數(shù)f(x)的圖象與x軸相切，求證：對于任意互不相等的正實數(shù)x1，x2，都有<.(1)解：函數(shù)f(x)的定義域為(0，)，f(x)a.當a0時，f(x)>0，f(x)在(0，)上單調遞增；當a<0時，由f(x)0，得x.若x，f(x)>0，f(x)單調遞增；若x，f(x)<0，f(x)單調遞減綜上：當a0時，f(x)在(0，)上單調遞增；當a<0時，f(x)在上單調遞增，在上單調遞減(2)證明：由(1)知，當a0時，f(x)在(0，)上單調遞增，不滿足條件當a<0時，f(x)的極大值為fln(a)，由已知得ln(a)0，故a1，此時f(x)ln xx1.不妨設0<x1<x2，則<等價于ln<x2x1，即證：ln<x2x1.令g(x)ln xx(x>1)，故g(x)在(1，)單調遞減，所以g(x)<g(1)0<x2x1.所以對于任意互不相等的正實數(shù)x1，x2，都有<成立