第2節(jié) 二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題題型82 二元一次不等式組表示的平面區(qū)域1. （2014安徽文13）不等式組，表示的平面區(qū)域的面積為 .1. 解析 不等式組表示的平面區(qū)域為如圖所示的陰影部分.由得.所以，.直線與軸的交點的坐標(biāo)為.因此.故答案為4.2.（2016浙江文4）若平面區(qū)域 夾在兩條斜率為1的平行直線之間，則這兩條平行直線間的距離的最小值是（ ）.A. B. C. D. 2.B 解析 畫出不等式組所表示的平面區(qū)域如圖所示，由，得，由，得.由題意可知當(dāng)斜率為1的兩條直線分別過點和點時，陰影部分夾在這兩條直線之間，且與這兩條直線有公共點，所以這兩直線為滿足條件的距離最小的一對直線，即.故選B.題型83 求解目標(biāo)函數(shù)的取值范圍（或最值）1. (2013天津文2）設(shè)變量，滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)的最小值為( ).A.B.C. D. 1.分析 作出可行域，平移直線，得出的最小值.解析 作出可行域如圖所示，平移直線，當(dāng)直線過可行域內(nèi)的點時，有最小值，故選A.2(2013福建文6）若變量滿足約束條件的最大值和最小值分別為（ ）.A B C D2.分析 作出可行域，通過目標(biāo)函數(shù)線的平移尋求最優(yōu)解.解析 作出可行域如圖陰影部分.作直線，并向右上平移，過點時取最小值，過點時取最大值，可求得，所以，.故選B.3. （2013四川文8）若變量滿足約束條件，且的最大值為，最小值為，則的值是（ ）. A. B. C. D. 3分析 先將不等式轉(zhuǎn)化為，畫出不等式組表示的平面區(qū)域，并找出目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解，進(jìn)而求得的值 解析 因為所以由線性約束條件得可行域為如圖所示的陰影部分，由，得由圖知目標(biāo)函數(shù)，過點時，即目標(biāo)函數(shù)過點時，即.所以，故選C.4. (2013陜西文7）若點位于曲線與所圍成的封閉區(qū)域，則的最小值是（ ）. A. B. C. D. 4.解析 曲線與所圍成的封閉區(qū)域如圖陰影部分所示，當(dāng)直線：向左平移時，的值在逐漸變小，當(dāng)通過點時，故選A.5.（(2013安徽文12）若非負(fù)數(shù)變量滿足約束條件，則的最大值為 .5.分析 先畫出可行域，再畫出目標(biāo)函數(shù)線過原點時的直線，向上平移，尋找滿足條件的最優(yōu)解，代入即可得所求.解析 根據(jù)題目中的約束條件畫出可行域，注意到，非負(fù)，得可行域為如圖所示的陰影部分（包括邊界），作直線并向上平移，數(shù)形結(jié)合可知，當(dāng)直線過點，時，取得最大值，最大值為.6. (2013山東文14）在平面直角坐標(biāo)系中，為不等式組，所表示的區(qū)域上一動點，則 的最小值時 6.分析 畫出不等式組表示的平面區(qū)域，數(shù)形結(jié)合求最值.解析 如圖所示，為圖中陰影部分區(qū)域上的一個動點，由于點到直線的距離最短，所以的最小值.7.（2013廣東文13）已知變量，滿足約束條件則的最大值是 7.分析 畫出線性的約束條件表示的平面區(qū)域，用圖解法求最值.解析 畫出平面區(qū)域如圖陰影部分所示，由，得，表示直線在軸上的截距，由圖知，當(dāng)直線經(jīng)過點時，目標(biāo)函數(shù)取得最大值，為.8.（2014天津文2）設(shè)變量滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)的最小值為（ ）.A. B. C. D. 9.（2014廣東文4）若變量滿足約束條件，則的最大值等于（ ）.A. B. C. D. 10.（2014湖北文4）若變量滿足約束條件 則的最大值是（ ）.A B C D11.（2014新課標(biāo)文9）設(shè)滿足約束條件，則的最大值為（ ）A. B. C. D.12.（2014四川文6）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，如果輸入的，那么輸出的的最大值為（ ）.A. B. C. D.13.（2014北京文13）若，滿足，則的最小為 .13. 解析 約束條件，表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分，作出基本直線，經(jīng)平移可得在點處取得最小值，其最小值為1.14.（2014大綱文15）設(shè)x，y滿足約束條件，則的最大值為 .15.（2014遼寧文14）已知，滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)的最大值為 .16.（2014浙江文12）若實數(shù)滿足，則的取值范圍是_.17.（2014湖南文13）若變量滿足約束條件，則的最大值為 .18.（2014陜西文18）（本小題滿分12分）在直角坐標(biāo)系中，已知點，點在三邊圍成的區(qū)域（含邊界）上，且.（1）若，求；（2）用表示，并求的最大值.19.（2015全國2文14）若、滿足約束條件，則的最大值為 .19.解析 三個頂點為，及 ，代入得，當(dāng)，時，.20.（2015全國1文15）若滿足約束條件，則的最大值為 20.解析 畫出滿足不等式組的可行域，如圖中陰影部分所示.聯(lián)立，得.由圖可知當(dāng)直線經(jīng)過點時，取得最大值.21.（2015湖南文4）若變量、滿足約束條件 ，則的最小值為（ ）.A. B. 0 C. 1 D. 221.解析 由約束條件作出可行域如圖所示，由圖可知，當(dāng)直線過點時，縱截距最大，即此時有最小值. 聯(lián)立，解得，即，所以.故選A. 22.（2015廣東文4）若變量，滿足約束條件，則的最大值為（ ）.A B C D22.解析 畫出滿足不等式組的可行域，如圖中陰影部分所示.聯(lián)立，解得.由圖可知當(dāng)直線經(jīng)過點時，取得最大值，所以.故選B23.（2015安徽文5）已知滿足約束條件，則的最大值是（ ）.A B C D123.解析 根據(jù)題意作出滿足不等式組的可行域，如圖中陰影部分所示.聯(lián)立，解得，可得.目標(biāo)函數(shù)變形為，由圖可知，當(dāng)直線經(jīng)過點時，取得最大值.故選A.24.（2015山東文12）若，滿足約束條件則的最大值為 .24.解析 畫出滿足不等式組的可行域，如圖中所示的陰影部分.由，可知，聯(lián)立，可得.由圖可知，當(dāng)直線經(jīng)過點時，截距最大.此時.故應(yīng)填.25.（2015湖北文12）設(shè)變量，滿足約束條件，則的最大值為 .25.解析 首先根據(jù)題意所給的約束條件畫出其表示的平面區(qū)域如下圖所示，然后根據(jù)圖像可得，目標(biāo)函數(shù)過點取得最大值，即.26.（2015北京文13）如圖，及其內(nèi)部的點組成的集合記為，為中任意一點，則的最大值為 .26.解析 依題意，在點處取得最大值7.27.（2015四川文9）設(shè)實數(shù)滿足，則的最大值為（ ）.A. B. C. D. 27.解析 畫出滿足不等式組的可行域，如圖中所示的陰影部分.易得：.由圖可知，若取得最大值，則動點一定在線段或的第一象限部分.若點在上，則，當(dāng)時有最大值，此時，即點在上.若點在上，則在是關(guān)于的增函數(shù)，當(dāng)取到最大值.所以當(dāng)且僅當(dāng)，時對應(yīng)點落在線段上，取到最大值.故選A.28.（2015天津文2）設(shè)變量，滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)的最大值為（ ）. A.7 B. 8 C. 9 D.1428.解析 變量，滿足約束條件所對應(yīng)的區(qū)域如圖所示.當(dāng)目標(biāo)函數(shù)在點處取得最大值.故選C.29.（2016北京文7）已知，.若點在線段上，則的最大值為（ ）.A. B. C. D. 29. C 解析 解法一：先求得線段的方程是.因為點在線段上，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，.故選C.解法二：依題意求得線段的方程是.在平面直角坐標(biāo)系中畫出線段如圖所示，當(dāng)直線平移通過點時，有最大值，所以.故選C. 評注 本題的解法二是用線性規(guī)劃知識求解的.30.（2016上海文7）若滿足，則的最大值為 .30. 解析 作出滿足條件的規(guī)劃區(qū)域，如圖所示.設(shè)，則當(dāng)動直線過點時，函數(shù)的最大值為.故填.31.（2016全國甲文14）若滿足約束條件則的最小值為_.31. 解析 解法一：由題意得可行域如圖所示，在處取得最小值.解法二：由得，點；由得，點；由得，點.分別將，代入得：，所以的最小值為.32.（2016全國丙文13）設(shè)，滿足約束條件，則的最小值為_.32. 解析 如圖所示，可行域為及其內(nèi)部，其中，直線過點時取最小值.33.（2016山東文4）變量滿足，則的最大值是（ ）.A.4 B.9 C.10 D.1233.C 解析 不等式組表示的平面區(qū)域如圖陰影部分所示，由是點到原點距離的平方，故只需求出三條直線的交點到原點距離的平方，然后再進(jìn)行比較.經(jīng)計算，是最優(yōu)解，的最大值是.故選C.34.（2016江蘇文12）已知實數(shù)滿足，則的取值范圍是 .34. 解析 在平面直角坐標(biāo)系中作出可行域如圖所示.的含義為可行域內(nèi)的點到原點距離的平方.可以看出圖中點距離原點最近，此時為原點到直線的距離，則；圖中點距離原點最遠(yuǎn)，點為與交點，即，則.35. （2016上海文12）如圖所示，已知，是曲線上一個動點，則的取值范圍是 .35. 解析 由題意設(shè)，故，由線性規(guī)劃的有關(guān)知識知.故填.評注 也可以設(shè)，則，.利用三角有關(guān)知識求解.36.（2017全國1文7）設(shè)，滿足約束條件，則的最大值為（ ）.A0B1C2D336.解析 如圖所示，目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過時最大，故.故選D.37.（2017全國2文7）設(shè)，滿足約束條件，則的最小值是（ ）.A B C D37.解析 如圖所示，繪制不等式組表示的可行域，結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義可得函數(shù)在點處取得最小值.故選A.38.（2017全國3文5）設(shè)x，y滿足約束條件，則的取值范圍是（ ）.A B C D38.解析 根據(jù)現(xiàn)行約束條件，畫出可行域，如圖所示.當(dāng)目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過點時，；當(dāng)目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過點時，.故的取值范圍是.故選B.評注 本題屬于基本的線性規(guī)劃類問題，一般會比較簡單.39.（2017北京文4）若，滿足，則的最大值為（ ）.A.1 B. 3 C.5 D.939.解析 令，則，其表示與平行的一組直線，當(dāng)在經(jīng)過可行域平移時，截距越大，的值越大，所以當(dāng)平移到過點時，截距有最大值，即.故選D.40.（2017北京文11）已知，且，則的取值范圍是_40.解析 解法一：代入消元轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題. ，所以當(dāng)或1時，取得最大值1；當(dāng)時，取得最小值.因此的取值范圍為.解法二：利用數(shù)形結(jié)合.如圖所示，表示線段上的動點到原點的距離，由圖易知有，故有.41.（2017山東文3）已知，滿足約束條件，則的最大值是（ ）.A. B. C. D. 41.解析 解法一：.故選D.解法二：由畫出可行域及直線如圖所示，平移發(fā)現(xiàn)，當(dāng)其經(jīng)過直線與的交點時，最大值為.故選D.42.（2017浙江4）若，滿足約束條件，則的取值范圍是（ ）.A. B. C. D.42.解析 如圖所示，在點取到的最小值為，沒有最大值，故故選D題型84 求解目標(biāo)函數(shù)中參數(shù)的取值范圍（或最值）1.（2014福建文11）已知圓，平面區(qū)域，若圓心，且圓與軸相切，則的最大值為（ ）A. B. C. D. 2. （2014山東文10）已知滿足約束條件當(dāng)目標(biāo)函數(shù)在該約束條件下取到最小值時，的最小值為（ ）.A. B. C. D. 3.（2014新課標(biāo)文11）設(shè)滿足約束條件，且的最小值為，則（ ）A. B. C. 或 D. 或題型85 簡單線性規(guī)劃問題的實際運用1（2013湖北文9）某旅行社租用、兩種型號的客車安排名客人旅行，、兩種車輛的載客量分別為人和人，租金分別為元/輛和元/輛，旅行社要求租車總數(shù)不超過輛，且型車不多于型車輛則租金最少為（ ）.A元 B元 C元 D元1.分析 先根據(jù)題意列出約束條件和目標(biāo)函數(shù)，通過平移目標(biāo)函數(shù)加以解決.解析 設(shè)租用型車輛，型車輛，目標(biāo)函數(shù)為，則約束條件為作出可行域，如圖中陰影部分所示，可知目標(biāo)函數(shù)過點時，最小值（元）.故選C.2.（2014四川文10）已知為拋物線的焦點，點，在該拋物線上且位于軸的兩側(cè)，（其中為坐標(biāo)原點），則與面積之和的最小值是（ ）.A. B. C. D.3.（2014浙江文10）如圖所示，某人在垂直于水平地面的墻面前的點處進(jìn)行射擊訓(xùn)練. 已知點到墻面的距離為，某目標(biāo)點沿墻面上的射線移動，此人為了準(zhǔn)確瞄準(zhǔn)目標(biāo)點，需計算由點觀察點的仰角的大?。ㄑ鼋菫橹本€AP與平面ABC所成角）.若，則的最大值是（ ）.A B C D4（2014湖北文16）某項研究表明：在考慮行車安全的情況下，某路段車流量（單位時間內(nèi)經(jīng)過測量點的車輛數(shù)，單位：輛/小時）與車流速度（假設(shè)車輛以相同速度行駛，單位：米/秒）、平均車長（單位：米）的值有關(guān)，其公式為. （）如果不限定車型，則最大車流量為 輛/小時；（）如果限定車型， 則最大車流量比（）中的最大車流量增加 輛/小時.5.（2015重慶文10）若不等式組，表示的平面區(qū)域為三角形，且其面積等于，則的值為（ ）.A. B. C. D.5.解析 因為平面區(qū)域為三角形且面積為可知，可得如圖所示圖形，又因為直線與垂直，設(shè)直線交點如圖為，則，所以，所以，所以故選B6.（2015福建文10）變量滿足約束條件，若的最大值為2，則實數(shù)等于（ ）.A B C D6.解析 畫出滿足不等式組的可行域，如圖中陰影部分所示.將目標(biāo)函數(shù)變形為，當(dāng)取最大值2時，則直線縱截距最小為.當(dāng)時，直線縱截距最小為0，不滿足題意；當(dāng)時，聯(lián)立，得由圖可知，當(dāng)直線經(jīng)過點時，取得最大值.把代入，得，解得.故選C7.（2016北京文14）某網(wǎng)店統(tǒng)計了連續(xù)三天售出商品的種類情況：第一天售出種商品，第二天售出種商品，第三天售出種商品；前兩天都售出的商品有種，后兩天都售出的商品有種，則該網(wǎng)店（1）第一天售出但第二天未售出的商品有_種；（2）這三天售出的商品最少有_種.7. 解析 如圖所示，區(qū)域分別表示只在第一天、第二天、第三天售出的商品；區(qū)域分別表示只在第一天與第二天、第二天與第三天、第一天與第三天售出的商品；區(qū)域表示在三天都售出的商品.又設(shè)區(qū)域的商品數(shù)量分別為，由題設(shè)可得， 第（1）問：由，可得，即第一天售出但第二天未售出的商品有種.第（2）問：可得這三天售出的商品總數(shù)為由可得，所以這三天售出的商品總數(shù).進(jìn)而還可得，當(dāng)且僅當(dāng) ,或, 時，這三天售出的商品總數(shù)取到最小值. 評注 本題第（2）問的背景是容斥原理.8.（2016天津文16）某化肥廠生產(chǎn)甲、乙兩種混合肥料，需要A，B，C三種主要原料.生產(chǎn)1車皮甲種肥料和生產(chǎn)1車皮乙種肥料所需三種原料的噸數(shù)如表所示. 原料肥料 甲483乙5510現(xiàn)有A種原料200噸，B種原料360噸，C種原料300噸，在此基礎(chǔ)上生產(chǎn)甲、乙兩種肥料.已知生產(chǎn)1車皮甲種肥料，產(chǎn)生的利潤為2萬元；生產(chǎn)1車皮乙種肥料，產(chǎn)生的利潤為3萬元.分別用表示計劃生產(chǎn)甲、乙兩種肥料的車皮數(shù).(1) 用列出滿足生產(chǎn)條件的數(shù)學(xué)關(guān)系式，并畫出相應(yīng)的平面區(qū)域；(2) 問分別生產(chǎn)甲、乙兩種肥料各多少車皮，能夠產(chǎn)生最大的利潤？并求出此最大利潤.8.分析 （1）根據(jù)生產(chǎn)原料不能超過種原料200噸，種原料噸，種原料噸，列不等關(guān)系式，即可行域，再根據(jù)直線及區(qū)域畫出可行域；（2）目標(biāo)函數(shù)為利潤根據(jù)直線平移及截距變化規(guī)律確定最大利潤.解析 （1）由已知得滿足的不等式組為，該二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域如圖所示.（2）設(shè)利潤為萬元，則目標(biāo)函數(shù)，這是斜率為，隨變化的一族平行直線.為直線在軸上的截距，當(dāng)取最大值時，的值最大.又因為滿足約束條件，所以由如圖所示的圖形可知.當(dāng)直線經(jīng)過可行域中的點時，截距的值最大，即的值最大.解方程組，得點的坐標(biāo)為，所以所以生產(chǎn)甲種肥料20車皮，乙種肥料24車皮時利潤最大，且最大利潤為112萬元.題型 平面區(qū)域的面積暫無