專題檢測(cè)（七）專題檢測(cè)（七）三角恒等變換與解三角形三角恒等變換與解三角形A 組“633”考點(diǎn)落實(shí)練一、選擇題1.(2019開封市定位考試)已知 cos213，則 cos 2的值為()A.79B.79C.2 23D.13解析：選 B因?yàn)?cos213，所以 sin13，所以 cos 21213279，故選 B.2.(2019長春市質(zhì)量監(jiān)測(cè)一)函數(shù) f(x)sinx3 sin x 的最大值為()A. 3B.2C.2 3D.4解析： 選 A法一： 由已知得 f(x)12sin x32cos xsin x32sin x32cos x 3sinx6 ，所以函數(shù)的最大值為 3，故選 A.法二：由已知得 f(x)12sin x32cos xsin x32sin x32cos x，故函數(shù)的最大值為322322 3，故選 A.3.(2019長春市質(zhì)量監(jiān)測(cè)一)在ABC 中，內(nèi)角 A，B，C 的對(duì)邊分別為 a，b，c，若 bacosC12c，則角 A 等于()A.60B.120C.45D.135解析：選 A由 bacos C12c 及余弦定理，可得 bab2a2c22ab12c，即 2b2b2a2c2bc，整理得 b2c2a2bc，于是 cos Ab2c2a22bc12，又 0A，所以 A60，故選 A.4.(2019江西七校第一次聯(lián)考)ABC 的內(nèi)角 A，B，C 的對(duì)邊分別為 a，b，c，已知 bacos C33sin C，a2，c2 63，則角 C()A.34B.3C.6D.4解析： 選 D由 bacos C33sin C， 得 sin Bsin Acos C33sin C.因?yàn)?sin Bsin(AC)sin(AC)， 所以 sin Acos Ccos Asin Csin Acos C33sin Asin C(sin C0)， cos A33sin A， 所以 tan A 3.因?yàn)?0A， 所以 A3.由正弦定理asin Acsin C， 得 sin C22.因?yàn)?0C23，所以 C4.故選 D.5.在ABC 中，角 A，B，C 所對(duì)的邊分別為 a，b，c，若cbcos A，則ABC 為()A.鈍角三角形B.直角三角形C.銳角三角形D.等邊三角形解析：選 A根據(jù)正弦定理得cbsin Csin Bcos A，即 sin Csin Bcos A.ABC，sin Csin(AB)sin Bcos A，整理得 sin Acos B0，cos B0，2B，ABC 為鈍角三角形.6.(2018南昌一模)已知臺(tái)風(fēng)中心位于城市 A 東偏北(為銳角)的 150 千米處，以 v 千米/時(shí)沿正西方向快速移動(dòng)，2.5 小時(shí)后到達(dá)距城市 A 西偏北(為銳角)的 200 千米處，若 cos34cos，則 v()A.60B.80C.100D.125解析：選 C如圖，臺(tái)風(fēng)中心為 B，2.5 小時(shí)后到達(dá)點(diǎn) C，則在ABC 中， ABsinACsin， 即 sin43sin， 又 cos34cos，sin2cos2169sin2916cos21sin2cos2，sin34cos，sin35，cos45，sin45，cos35，cos()coscossinsin354545350，2，BC2AB2AC2，(2.5v)215022002，解得 v100，故選 C.二、填空題7.(2019全國卷)ABC 的內(nèi)角 A，B，C 的對(duì)邊分別為 a，b，c.若 b6，a2c，B3，則ABC 的面積為_.解析：由余弦定理得 b2a2c22accos B.又 b6，a2c，B3， 364c2c222c212， c2 3，a4 3， SABC12acsin B124 32 3326 3.答案：6 38.在ABC 中，角 A，B，C 的對(duì)邊分別為 a，b，c，若 A3，3sin2Ccos C2sin Asin B，且 b6，則 c_.解析：由余弦定理得 a2b2c22bc12b2c2bc，又3sin2Ccos C2sin Asin B，由正弦定理可得3c22aba2b2c22ab，即 a2b24c20，則 b2c2bcb24c20.又 b6，c22c240，解得 c4(負(fù)值舍去).答案：49.(2019洛陽市統(tǒng)考)在ABC 中，角 A，B，C 所對(duì)的邊分別為 a，b，c，若 a，b，c 成等比數(shù)列，且 tan B34，則1tan A1tan C的值是_.解析：a，b，c 成等比數(shù)列，b2ac，由正弦定理得 sin2Bsin Asin C，1tan A1tan Ccos Asin Acos Csin Csin Ccos Acos Csin Asin Asin Csin（CA）sin Asin Csin Bsin Asin C1sin B， tan B34， sin B35，1tan A1tan C53.答案：53三、解答題10.(2018全國卷)在平面四邊形 ABCD 中，ADC90，A45，AB2，BD5.(1)求 cos ADB；(2)若 DC2 2，求 BC.解：(1)在ABD 中，由正弦定理得BDsin AABsin ADB，即5sin 452sin ADB，所以sin ADB25.由題設(shè)知，ADB90，所以 cos ADB1225235.(2)由題設(shè)及(1)知，cos BDCsin ADB25.在BCD 中，由余弦定理得BC2BD2DC22BDDCcos BDC258252 22525，所以 BC5.11.(2019重慶市學(xué)業(yè)質(zhì)量調(diào)研)ABC 的內(nèi)角 A， B， C 所對(duì)的邊分別為 a， b， c， 已知ABC的面積為32accos B，且 sin A3sin C.(1)求角 B 的大??；(2)若 c2，AC 的中點(diǎn)為 D，求 BD 的長.解：(1)SABC12acsin B32accos B，tan B 3.又 0B，B60.(2)sin A3sin C，由正弦定理得，a3c，a6.由余弦定理得 b26222226cos 6028，b2 7.cos Ab2c2a22bc（2 7）22262222 7714.D 是 AC 的中點(diǎn)，AD 7.BD2AB2AD22ABADcos A22( 7)222 7714 13.BD 13.12.(2019全國卷)ABC 的內(nèi)角 A，B，C 的對(duì)邊分別為 a，b，c.設(shè)(sin Bsin C)2sin2Asin Bsin C.(1)求 A；(2)若2ab2c，求 sin C.解：(1)由已知得 sin2Bsin2Csin2Asin Bsin C，故由正弦定理得 b2c2a2bc.由余弦定理得 cos Ab2c2a22bc12.因?yàn)?0A180，所以 A60.(2)由(1)知 B120C，由題設(shè)及正弦定理得2sin Asin(120C)2sin C，即6232cos C12sin C2sin C，可得 cos(C60)22.因?yàn)?0C120，所以 sin(C60)22，故 sin Csin(C6060)sin(C60)cos 60cos(C60)sin 606 24.B 組大題專攻強(qiáng)化練1.(2019江西七校第一次聯(lián)考)在ABC 中，角 A，B，C 所對(duì)應(yīng)的邊分別為 a，b，c，且a2(bc)2bc.(1)求角 A 的大??；(2)若 f(x)sin(2xA)， 將函數(shù) f(x)的圖象向右平移12個(gè)單位長度后又向上平移了 2 個(gè)單位長度，得到函數(shù) g(x)的圖象，求函數(shù) g(x)的解析式及單調(diào)遞減區(qū)間.解：(1)a2(bc)2bc，a2b2c2bc，cos Ab2c2a22bc12，又 0A，A3.(2)f(x)sin2x3 ，g(x)sin2x6 2，令 2k22x62k32，kZ Z，得 k6xk23，kZ Z，故函數(shù) g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為k6，k23，kZ Z.2.已知在ABC 中，角 A，B，C 所對(duì)的邊分別為 a，b，c，且滿足 asin Acos Ccsin AcosA 3bcos A0.(1)求角 A 的大?。?2)若ABC 的面積為 4 3，且 b，a，c 成等差數(shù)列，求ABC 的內(nèi)切圓的半徑.解：(1)由 asin Acos Ccsin Acos A 3bcos A0，可知 sin A(sin Acos Ccos Asin C)3sin Bcos A，sin Asin(AC) 3sin Bcos A，sin(AC)sin B，sin Asin B 3sin BcosA，sin B0，sin A 3cos A，tan A 3，又A(0，)，A3.(2)由題意可知 SABC12bcsin A12bc324 3，bc16，又 a2b2c22bccos A，a2(bc)23bc，又b，a，c 成等差數(shù)列，a24a248，a4，bc2a8，ABC的周長為 abc12，設(shè)ABC 內(nèi)切圓的半徑為 r，則12r(abc)SABC，即12r124 3，r2 33.3.(2019武漢部分學(xué)校調(diào)研)已知銳角三角形 ABC 的內(nèi)角 A，B，C 的對(duì)邊分別為 a，b，c，sin2Bsin2Asin2C 3sin Asin C.(1)求 B 的大??；(2)求 sin Acos C 的取值范圍.解：(1)銳角三角形 ABC 中，sin2Bsin2Asin2C 3sin Asin C，故 b2a2c2 3ac，cos Ba2c2b22ac32，又 B0，2 ，所以 B6.(2)由(1)知，C56A，故 sin Acos Csin Acos56A32sin A32cos A 3sinA6 .又 A0，2 ，C56A0，2 ，所以 A3，2 ，A66，3 ，sinA6 12，32 ，故 sin Acos C 的取值范圍為32，32 .4.(2019洛陽尖子生第二次聯(lián)考)如圖， 在平面四邊形ABCD中， ABC為銳角，ADBD，AC 平分BAD，BC2 3，BD3 6，BCD 的面積 S3（ 2 3）2.(1)求 CD；(2)求ABC.解：(1)在BCD 中，S12BDBCsinCBD3（ 2 3）2，BC2 3，BD3 6，sinCBD12.ABC 為銳角，CBD30.在BCD 中，由余弦定理得 CD2BC2BD22BCBDcosCBD(2 3)2(3 6)222 3(3 6)329，CD3.(2)在BCD 中，由正弦定理得BCsinBDCCDsinCBD，即2 3sinBDC3sin 30，解得 sinBDC33.BCBD，BDC 為銳角，cosBDC63.在ACD 中，由正弦定理得ACsinADCCDsinCAD，ACsin2BDCCDsinCAD即ACcosBDC3sinCAD.在ABC 中，由正弦定理得ACsinABCBCsinBAC，即ACsinABC2 3sinBAC.AC 平分BAD，CADBAC.由得sinABCcosBDC32 3，解得 sinABC錯(cuò)誤錯(cuò)誤!.ABC 為銳角，ABC45.