第15練空間向量與立體幾何中檔大題規(guī)范練明晰考情1.命題角度：空間線、面關(guān)系的證明，空間角的求解.2.題目難度：立體幾何大題一般位于解答題的第二題或第三題位置，中檔難度.考點(diǎn)一利用空間向量證明平行與垂直要點(diǎn)重組設(shè)直線l，m的方向向量分別為a，b，平面，的法向量分別為u，v，則lmabakb(kR)；lmaba·b0；laua·u0；lauaku(kR)；uvukv(kR)；uvu·v0.方法技巧利用空間向量證明平行、垂直的兩種方法坐標(biāo)法：建立空間直角坐標(biāo)系，用空間向量的坐標(biāo)系研究點(diǎn)、線、面的關(guān)系；基向量法：選三個(gè)不共面的向量(夾角最好為90°，45°或60°)，模長(zhǎng)已知的向量作為基向量，將相關(guān)向量用基向量表示.1.如圖所示，已知在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC為等腰直角三角形，BAC90°，且ABAA1，D，E，F(xiàn)分別為B1A，C1C，BC的中點(diǎn).求證：(1)DE平面ABC；(2)B1F平面AEF.證明(1)由直三棱柱的性質(zhì)，得A1AAB，A1AAC，又BAAC，如圖，以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AB，AC，AA1所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，令A(yù)BAA14，則A(0，0，0)，E(0，4，2)，F(xiàn)(2，2，0)，B(4，0，0)，B1(4，0，4).取AB的中點(diǎn)N，連接CN，則N(2，0，0)，C(0，4，0)，D(2，0，2)，(2，4，0)，(2，4，0)，DENC.又NC平面ABC，DE平面ABC，DE平面ABC.(2)(2，2，4)，(2，2，2)，(2，2，0)，·(2)×22×(2)(4)×(2)0，·(2)×22×2(4)×00.，即B1FEF，B1FAF.又AFEFF，AF，EF平面AEF，B1F平面AEF.2.如圖所示，在底面是矩形的四棱錐PABCD中，PA底面ABCD，E，F(xiàn)分別是PC，PD的中點(diǎn)，PAAB1，BC2.(1)求證：EF平面PAB；(2)求證：平面PAD平面PDC.證明由題意知，PAAB，PAAD，BAAD，以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz如圖所示，則A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，1)，因?yàn)镋，F(xiàn)分別是PC，PD的中點(diǎn)，所以E，F(xiàn)，(0，0，1)，(0，2，0)，(1，0，0)，(1，0，0).(1)因?yàn)?，所以，即EFAB.又AB平面PAB，EF平面PAB，所以EF平面PAB.(2)因?yàn)?#183;(0，0，1)·(1，0，0)0，·(0，2，0)·(1，0，0)0，所以，即APDC，ADDC.又因?yàn)锳PADA，AP平面PAD，AD平面PAD，所以DC平面PAD.因?yàn)镈C平面PDC，所以平面PAD平面PDC.3.如圖，已知點(diǎn)P在正方體ABCDABCD的對(duì)角線BD上，PDA60°.(1)求DP與CC所成的角的大??；(2)求DP與平面AADD所成的角的大小.解如圖，以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以DA，DC，DD所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz.設(shè)DA1，則(1，0，0)，(0，0，1).連接BD，BD.在平面BBDD中，延長(zhǎng)DP交BD于點(diǎn)H.設(shè)(m，m，1)(m>0)，由已知，60°.由·|cos，可得2m，解得m，所以.(1)因?yàn)閏os，因?yàn)椋?°，180°，所以，45°，因?yàn)楫惷嬷本€所成的角的范圍是(0°，90°，DP與CC所成的角為45°.(2)平面AADD的一個(gè)法向量是(0，1，0).因?yàn)閏os，且，0°，180°，所以，60°.可得DP與平面AADD所成的角為30°.考點(diǎn)二空間角的求解要點(diǎn)重組設(shè)直線l，m的方向向量分別為a(a1，b1，c1)，b(a2，b2，c2).平面，的法向量分別為u(a3，b3，c3)，v(a4，b4，c4)(以下相同).(1)線線角設(shè)l，m所成的角為，則cos .(2)線面角設(shè)直線l與平面所成的角為，則sin |cosa，u|.(3)二面角設(shè)l的平面角為(0)，則|cos |cosu，v|.4.(2018·江蘇)如圖，在正三棱柱ABCA1B1C1中，ABAA12，點(diǎn)P，Q分別為A1B1，BC的中點(diǎn).(1)求異面直線BP與AC1所成角的余弦值；(2)求直線CC1與平面AQC1所成角的正弦值.解如圖，在正三棱柱ABCA1B1C1中，設(shè)AC，A1C1的中點(diǎn)分別為O，O1，則OBOC，OO1OC，OO1OB，以，為基底，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz.因?yàn)锳BAA12，所以A(0，1，0)，B(，0，0)，C(0，1，0)，A1(0，1，2)，B1(，0，2)，C1(0，1，2).(1)因?yàn)镻為A1B1的中點(diǎn)，所以P，從而，(0，2，2)，故|cos，|.因此，異面直線BP與AC1所成角的余弦值為.(2)因?yàn)镼為BC的中點(diǎn)，所以Q，因此，(0，2，2)，(0，0，2).設(shè)n(x，y，z)為平面AQC1的一個(gè)法向量，則即不妨取n(，1，1).設(shè)直線CC1與平面AQC1所成的角為，則sin |cos，n|.所以直線CC1與平面AQC1所成角的正弦值為.5.如圖，四邊形ABCD為正方形，PD平面ABCD，PDQA，QAABPD.(1)證明：平面PQC平面DCQ；(2)求二面角QBPC的正弦值.(1)證明由題意可得QA平面ABCD，所以QACD.由四邊形ABCD為正方形知DCAD，又因?yàn)镼AADA，QA，AD平面PDAQ，所以CD平面PDAQ，所以CDPQ.在直角梯形PDAQ中，可得DQPQPD，所以PQ2DQ2PD2.由勾股定理的逆定理得PQQD.又因?yàn)镃DDQD，CD，DQ平面DCQ，所以PQ平面DCQ.又PQ平面PQC，所以平面PQC平面DCQ.(2)解由題意知，如圖，以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，線段DA的長(zhǎng)為單位長(zhǎng)度，DA，DP，DC所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz，依題意有Q(1，1，0)，C(0，0，1)，P(0，2，0)，B(1，0，1)，(1，0，0)，(1，2，1).設(shè)n(x，y，z)是平面PBC的個(gè)法向量，則即可取n(0，1，2).同理，平面PBQ的一個(gè)法向量為m(1，1，1)，所以cosm，n，所以sinm，n，即二面角QBPC的正弦值為.6.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCDA1B1C1D1中，P為棱C1D1的中點(diǎn)，Q為棱BB1上的點(diǎn)，且BQBB1(0).(1)若，求AP與AQ所成的角的余弦值；(2)若直線AA1與平面APQ所成的角為45°，求實(shí)數(shù)的值.解以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AB，AD，AA1所在直線為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz.(1)因?yàn)?1，2，2)，(2，0，1)，所以cos，.所以AP與AQ所成的角的余弦值為.(2)由題意可知，(0，0，2)，(2，0，2)，(1，2，2).設(shè)平面APQ的一個(gè)法向量為n(x，y，z)，則由n，n，得即令z2，則x2，y2.所以n(2，2，2).又因?yàn)橹本€AA1與平面APQ所成的角為45°，所以|cosn，|，可得5240.又因?yàn)?，所以.考點(diǎn)三立體幾何的綜合問(wèn)題方法技巧利用空間向量求解立體幾何中的綜合問(wèn)題，要根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征建立空間直角坐標(biāo)系，將題中條件數(shù)量化，利用計(jì)算方法求解幾何問(wèn)題.7.(2018·全國(guó))如圖，邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD所在的平面與半圓弧所在平面垂直，M是上異于C，D的點(diǎn).(1)證明：平面AMD平面BMC；(2)當(dāng)三棱錐MABC體積最大時(shí)，求平面MAB與平面MCD所成二面角的正弦值.(1)證明由題設(shè)知，平面CMD平面ABCD，交線為CD.因?yàn)锽CCD，BC平面ABCD，所以BC平面CMD，又DM平面CMD，故BCDM.因?yàn)镸為上異于C，D的點(diǎn)，且DC為直徑，所以DMCM.又BCCMC，BC，CM平面BMC，所以DM平面BMC.又DM平面AMD，故平面AMD平面BMC.(2)解以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz.當(dāng)三棱錐MABC體積最大時(shí)，M為的中點(diǎn).由題設(shè)得D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，M(0，1，1)，(2，1，1)，(0，2，0)，(2，0，0)，設(shè)n(x，y，z)是平面MAB的法向量，則即可取n(1，0，2)，是平面MCD的法向量，因此cosn，sinn，.所以平面MAB與平面MCD所成二面角的正弦值是.8.(2018·衡水模擬)在矩形ABCD中，AB3，AD2，點(diǎn)E是線段CD上靠近點(diǎn)D的一個(gè)三等分點(diǎn)，點(diǎn)F是線段AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且(01).如圖，將BCE沿BE折起至BEG，使得平面BEG平面ABED.(1)當(dāng)時(shí)，求證：EFBG；(2)是否存在，使得FG與平面DEG所成的角的正弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.(1)證明當(dāng)時(shí)，點(diǎn)F是AD的中點(diǎn).DFAD1，DECD1.ADC90°，DEF45°.CECD2，BC2，BCD90°，BEC45°.BEEF.又平面GBE平面ABED，平面GBE平面ABEDBE，EF平面ABED，EF平面BEG.BG平面BEG，EFBG.(2)解以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以CD，CB所在直線為x軸，y軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系Cxyz.則E(2，0，0)，D(3，0，0)，F(xiàn)(3，2，0).取BE的中點(diǎn)O，GEBG2，GOBE，又平面BEG平面ABED，平面BEG平面ABEDBE，OG平面BEG，OG平面BCE，BE2，OG ，G(1，1，).(2，12，)，(1，1，)，(2，1，).設(shè)平面DEG的一個(gè)法向量為n(x，y，z)，則令z，則n(0，2，).設(shè)FG與平面DEG所成的角為，則sin |cos，n|，解得或(舍)，存在實(shí)數(shù)，使得FG與平面DEG所成的角的正弦值為，此時(shí).9.在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，側(cè)棱DD1平面ABCD，O是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在線段BD1上，且3，連接OE，AE，EC.(1)求證：OE平面A1B1CD；(2)若平面AEC與平面A1B1CD所成的銳二面角的大小為30°，求直線BD1與平面A1B1CD所成的角的正弦值.(1)證明連接BD，B1D1，B1D，因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，O是AC的中點(diǎn)，所以O(shè)是BD的中點(diǎn)，設(shè)BD1與B1D交于點(diǎn)M，則點(diǎn)M是BD1的中點(diǎn)，由3，得E是BM的中點(diǎn)，所以O(shè)EB1D，又B1D平面A1B1CD，OE平面A1B1CD，所以O(shè)E平面A1B1CD.(2)解如圖，以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz，設(shè)DD1h(h>0)，則D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，A1(2，0，h)，D1(0，0，h)，所以(2，2，h)，(0，2，0)，(2，0，h)，(2，2，0)，(2，0，h).設(shè)平面A1B1CD的法向量為m(x，y，z)，由得得y0，令z2，則m(h，0，2).設(shè)平面AEC的法向量為n(a，b，c)，由得令c4，則n(h，h，4).因?yàn)槠矫鍭EC與平面A1B1CD所成的銳二面角的大小為30°，所以cos 30°，整理得h44h2320，即(h28)(h24)0，所以h2，所以m(2，0，2)，(2，2，2)，設(shè)直線BD1與平面A1B1CD所成的角為，則sin .所以直線BD1與平面A1B1CD所成的角的正弦值為.典例(12分)如圖1，在等腰直角三角形ABC中，BAC90°，BC6，D，E分別是AC，AB上的點(diǎn)，CDBE，O為BC的中點(diǎn)，將ADE沿DE折起，得到如圖2所示的四棱錐ABCDE，其中AO.(1)求證：AO平面BCDE；(2)求二面角ACDB的余弦值.審題路線圖(1)(2)規(guī)范解答·評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)(1)證明如圖，在折疊前的圖形中，連接AO交DE于點(diǎn)F，則F為DE的中點(diǎn)，在等腰直角三角形ABC中，因?yàn)锽C6，O為BC的中點(diǎn)，所以ACAB3，OA3.因?yàn)镃DBE，所以D和E分別是AC，AB的三等分點(diǎn)，則AF2，OF1.2分如圖，在折疊后的圖形中，連接OF和AF，因?yàn)锳O，所以AF2OF2AO2，所以AOOF.3分在折疊前的圖形中，DEOA，所以在折疊后的圖形中，DEAF，DEOF.4分又OFAFF，OF，AF平面OAF，所以DE平面OAF.因?yàn)镺A平面OAF，所以DEOA.5分因?yàn)镺FDEF，OF，DE平面BCDE，所以AO平面BCDE.6分(2)解以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)F，OB，OA所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz，如圖所示(F為DE的中點(diǎn))，則A(0，0，)，C(0，3，0)，D(1，2，0)，所以(0，0，)，(0，3，)，(1，2，).8分設(shè)n(x，y，z)為平面ACD的一個(gè)法向量，則令z，得n(1，1，)，|n|.9分由(1)知，(0，0，)為平面CDB的一個(gè)法向量，又|，·n0×10×(1)×3，10分所以cosn，又由圖知，二面角為銳角，所以二面角ACDB的余弦值為.12分構(gòu)建答題模板第一步找垂直：找出(或作出)具有公共交點(diǎn)的三條兩兩垂直的直線.第二步寫坐標(biāo)：建立空間直角坐標(biāo)系，寫出特殊點(diǎn)坐標(biāo).第三步求向量：求直線的方向向量或平面的法向量.第四步求夾角：計(jì)算向量的夾角.第五步得結(jié)論：得到所求兩個(gè)平面所成的角或直線與平面所成的角.1.如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC90°，BC2，CC14，點(diǎn)E在線段BB1上，且EB11，D，F(xiàn)，G分別為CC1，C1B1，C1A1的中點(diǎn).求證：(1)B1D平面ABD；(2)平面EGF平面ABD.證明(1)由直三棱柱的性質(zhì)知，BB1AB，BB1BC，又ABBC，以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BA，BC，BB1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系Bxyz，如圖所示，則B(0，0，0)，D(0，2，2)，B1(0，0，4)，C1(0，2，4)，設(shè)BAa，則A(a，0，0)，所以(a，0，0)，(0，2，2)，(0，2，2)，所以·0，·0440，即B1DBA，B1DBD.又BABDB，BA，BD平面ABD，所以B1D平面ABD.(2)由(1)知，E(0，0，3)，G，F(xiàn)(0，1，4)，則，(0，1，1)，·0220，·0220，即B1DEG，B1DEF.又EGEFE，EG，EF平面EGF，所以B1D平面EGF.結(jié)合(1)可知平面EGF平面ABD.2.(2018·永州模擬)如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是菱形，EFAC，EF1，ABC60°，CE平面ABCD，CE，CD2，G是DE的中點(diǎn).(1)求證：平面ACG平面BEF；(2)求直線AD與平面ABF所成的角的正弦值.(1)證明連接BD交AC于O，則O是BD的中點(diǎn)，故OGBE，又BE平面BEF，OG平面BEF，所以O(shè)G平面BEF.又EFAC，AC平面BEF，EF平面BEF，所以AC平面BEF，又ACOGO，AC，OG平面ACG，所以平面ACG平面BEF.(2)解連接OF，由題意可得OC1，即OCEF，又EFAC，所以四邊形OCEF為平行四邊形，所以O(shè)FEC，OFEC，所以O(shè)F平面ABCD，所以O(shè)F，OC，OD兩兩垂直.如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)C，OD，OF所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A(1，0，0)，B(0，0)，D(0，0)，F(xiàn)(0，0，)，(1，0)，(1，0)，(1，0，)，設(shè)平面ABF的法向量為m(a，b，c)，依題意有即令a，則b1，c1，m(，1，1)，|cos，m|，所以直線AD與平面ABF所成的角的正弦值是.3.(2018·天津)如圖，ADBC且AD2BC，ADCD，EGAD且EGAD，CDFG且CD2FG，DG平面ABCD，DADCDG2.(1)若M為CF的中點(diǎn)，N為EG的中點(diǎn)，求證：MN平面CDE；(2)求二面角EBCF的正弦值；(3)若點(diǎn)P在線段DG上，且直線BP與平面ADGE所成的角為60°，求線段DP的長(zhǎng).(1)證明依題意，可以建立以D為原點(diǎn)，分別以，的方向?yàn)閤軸，y軸，z軸的正方向的空間直角坐標(biāo)系(如圖)，可得D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(1，2，0)，C(0，2，0)，E(2，0，2)，F(xiàn)(0，1，2)，G(0，0，2)，M ，N(1，0，2).依題意得(0，2，0)，(2，0，2).設(shè)n0(x0，y0，z0)為平面CDE的法向量，則即不妨令z01，可得n0(1，0，1).又，可得·n00.又因?yàn)橹本€MN平面CDE，所以MN平面CDE.(2)解依題意，可得(1，0，0)，(1，2，2)，(0，1，2).設(shè)n(x，y，z)為平面BCE的法向量，則即不妨令z1，可得n(0，1，1).設(shè)m(x，y，z)為平面BCF的法向量，則即不妨令z1，可得m(0，2，1).因此有cosm，n，于是sinm，n.所以二面角EBCF的正弦值為.(3)解設(shè)線段DP的長(zhǎng)為h(h0，2)，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0，0，h)，可得(1，2，h).(0，2，0)為平面ADGE的一個(gè)法向量，故|cos，|，由題意，可得sin 60°，解得h(負(fù)值舍去).所以線段DP的長(zhǎng)為.4.如圖，同一平面上直角梯形ABCD和直角梯形ABEF全等，AD2AB2BC，將梯形ABEF沿AB折起，使二面角FABD的大小為(0).(1)求證：對(duì)任意(0，)，平面ABEF平面ADF；(2)當(dāng)時(shí)，求二面角AEDB的余弦值.(1)證明在折起過(guò)程中，ABAF，ABAD恒成立，且AFADA，AF平面ADF，AD平面ADF，所以AB平面ADF.因?yàn)锳B平面ABEF，所以平面ABEF平面ADF，所以對(duì)任意(0，)，平面ABEF平面ADF.(2)解因?yàn)锳FAB，ADAB，則二面角FABD的平面角為FAD，即FAD90°，AB，AD，AF兩兩垂直.以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AF所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，設(shè)ABBC1，則AD2，BE1.所以A(0，0，0)，B(1，0，0)，D(0，2，0)，E(1，0，1).(0，0，1)，(1，2，0)，(0，2，0)，(1，0，1).設(shè)n1(x1，y1，z1)為平面BED的法向量，則即令y11，則n1(2，1，0).設(shè)n2(x2，y2，z2)為平面AED的法向量，則即令x21，則n2(1，0，1).所以cosn1，n2.結(jié)合圖形可知，二面角AEDB的余弦值為.