習(xí)題1414-1如圖所示的弓形線框中通有電流，求圓心處的磁感應(yīng)強(qiáng)度。解：圓弧在O點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度：，方向：；直導(dǎo)線在O點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度：，方向：；總場強(qiáng)：，方向。14-2如圖所示，兩個半徑均為R的線圈平行共軸放置，其圓心O1、O2相距為a，在兩線圈中通以電流強(qiáng)度均為I的同方向電流。（1）以O(shè)1O2連線的中點(diǎn)O為原點(diǎn)，求軸線上坐標(biāo)為x的任意點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大??；（2）試證明：當(dāng)時，O點(diǎn)處的磁場最為均勻。解：見書中載流圓線圈軸線上的磁場，有公式：。（1）左線圈在x處點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度：，右線圈在x處點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度：，和方向一致，均沿軸線水平向右，點(diǎn)磁感應(yīng)強(qiáng)度：；（2）因?yàn)殡S變化，變化率為，若此變化率在處的變化最緩慢，則O點(diǎn)處的磁場最為均勻，下面討論O點(diǎn)附近磁感應(yīng)強(qiáng)度隨變化情況，即對的各階導(dǎo)數(shù)進(jìn)行討論。對求一階導(dǎo)數(shù)：當(dāng)時，可見在O點(diǎn)，磁感應(yīng)強(qiáng)度有極值。對求二階導(dǎo)數(shù)：當(dāng)時，可見，當(dāng)時，O點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度有極小值，當(dāng)時，O點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度有極大值，當(dāng)時，說明磁感應(yīng)強(qiáng)度在O點(diǎn)附近的磁場是相當(dāng)均勻的，可看成勻強(qiáng)磁場?！纠么私Y(jié)論，一般在實(shí)驗(yàn)室中，用兩個同軸、平行放置的匝線圈，相對距離等于線圈半徑，通電后會在兩線圈之間產(chǎn)生一個近似均勻的磁場，比長直螺線管產(chǎn)生的磁場方便實(shí)驗(yàn)，這樣的線圈叫亥姆霍茲線圈】14-3無限長細(xì)導(dǎo)線彎成如圖所示的形狀，其中部分是在平面內(nèi)半徑為的半圓，試求通以電流時點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度。解：a段對O點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度可用求得，有：，b段的延長線過點(diǎn)，c段產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為：，則：O點(diǎn)的總場強(qiáng)：，方向如圖。14-4如圖所示，半徑為R的木球上繞有密集的細(xì)導(dǎo)線，線圈平面彼此平行，且以單層線圈均勻覆蓋住半個球面。設(shè)線圈的總匝數(shù)為N，通過線圈的電流為I，求球心O的磁感強(qiáng)度。解：從O點(diǎn)引出一根半徑線，與水平方向呈角，則有水平投影：，圓環(huán)半徑：，取微元，有環(huán)形電流：，利用：，有：，。14-5無限長直圓柱形導(dǎo)體內(nèi)有一無限長直圓柱形空腔（如圖所示），空腔與導(dǎo)體的兩軸線平行，間距為，若導(dǎo)體內(nèi)的電流密度均勻?yàn)?，的方向平行于軸線。求腔內(nèi)任意點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度。解：采用補(bǔ)償法，將空腔部分看成填滿了的電流，那么，以導(dǎo)體的軸線為圓心，過空腔中任一點(diǎn)作閉合回路，利用，有：，同理，還是過這一點(diǎn)以空腔導(dǎo)體的軸線為圓心作閉合回路：，有：，由圖示可知：那么，。14-6在半徑的無限長半圓柱形金屬片中，有電流自下而上通過，如圖所示。試求圓柱軸線上一點(diǎn)處的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小。解：將半圓柱形無限長載流薄板細(xì)分成寬為的長直電流，有：，利用。在P點(diǎn)處的磁感應(yīng)強(qiáng)度為：，而因?yàn)閷ΨQ性，那么，。14-7如圖所示，長直電纜由半徑為R1的導(dǎo)體圓柱與同軸的內(nèi)外半徑分別為R2、R3的導(dǎo)體圓筒構(gòu)成，電流沿軸線方向由一導(dǎo)體流入，從另一導(dǎo)體流出，設(shè)電流強(qiáng)度I都均勻地分布在橫截面上。求距軸線為r處的磁感應(yīng)強(qiáng)度大?。ǎ?。解：利用安培環(huán)路定理分段討論。（1）當(dāng)時，有：；（2）當(dāng)時，有：，；（3）當(dāng)時，有：，；（4）當(dāng)時，有：，。則：14-8一橡皮傳輸帶以速度勻速向右運(yùn)動，如圖所示，橡皮帶上均勻帶有電荷，電荷面密度為。（1）求像皮帶中部上方靠近表面一點(diǎn)處的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大?。唬?）證明對非相對論情形，運(yùn)動電荷的速度及它所產(chǎn)生的磁場和電場之間滿足下述關(guān)系：（式中）。解：（1）如圖，垂直于電荷運(yùn)動方向作一個閉合回路，考慮到橡皮帶上等效電流密度為：，橡皮帶上方的磁場方向水平向外，橡皮帶下方的磁場方向水平向里，根據(jù)安培環(huán)路定理有：，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大?。海唬?）非相對論情形下：勻速運(yùn)動的點(diǎn)電荷產(chǎn)生的磁場為：，點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場為：，即為結(jié)論：（式中）。14-9一均勻帶電長直圓柱體，電荷體密度為，半徑為。若圓柱繞其軸線勻速旋轉(zhuǎn)，角速度為，求：（1）圓柱體內(nèi)距軸線處的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大?。唬?）兩端面中心的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小。解：（1）考察圓柱體內(nèi)距軸線處到半徑的圓環(huán)等效電流。，選環(huán)路如圖所示，由安培環(huán)路定理：，有：（2）由上述結(jié)論，帶電長直圓柱體旋轉(zhuǎn)相當(dāng)于螺線管，端面的磁感應(yīng)強(qiáng)度是中間磁感應(yīng)強(qiáng)度的一半，所以端面中心處的磁感應(yīng)強(qiáng)度：。14-10如圖所示，兩無限長平行放置的柱形導(dǎo)體內(nèi)通過等值、反向電流，電流在兩個陰影所示的橫截面的面積皆為，兩圓柱軸線間的距離，試求兩導(dǎo)體中部真空部分的磁感應(yīng)強(qiáng)度。解：因?yàn)橐粋€陰影的橫截面積為，那么面電流密度為：，利用補(bǔ)償法，將真空部分看成通有電流，設(shè)其中一個陰影在真空部分某點(diǎn)處產(chǎn)生的磁場為，距離為，另一個為、，有：。利用安培環(huán)路定理可得：，則：，。即空腔處磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為，方向向上。14-11無限長直線電流與直線電流共面，幾何位置如圖所示，試求直線電流受到電流磁場的作用力。解：在直線電流上任意取一個小電流元，此電流元到長直線的距離為，無限長直線電流在小電流元處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為：，再利用，考慮到，有：，。14-12在電視顯象管的電子束中，電子能量為，這個顯像管的取向使電子沿水平方向由南向北運(yùn)動。該處地球磁場的垂直分量向下，大小為，問：（1）電子束將偏向什么方向？（2）電子的加速度是多少？（3）電子束在顯象管內(nèi)在南北方向上通過時將偏轉(zhuǎn)多遠(yuǎn)？解：（1）根據(jù)可判斷出電子束將偏向東。（2）利用，有：，而，（3）。14-13一半徑為的無限長半圓柱面導(dǎo)體，載有與軸線上的長直導(dǎo)線的電流等值反向的電流，如圖所示，試求軸線上長直導(dǎo)線單位長度所受的磁力。解：設(shè)半圓柱面導(dǎo)體的線電流分布為，如圖，由安培環(huán)路定理，電流在點(diǎn)處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為：，可求得：；又，故，有：，而，所以：。14-14如圖14-55所示，一個帶有電荷()的粒子，以速度平行于均勻帶電的長直導(dǎo)線運(yùn)動，該導(dǎo)線的線電荷密度為（），并載有傳導(dǎo)電流。試問粒子要以多大的速度運(yùn)動，才能使其保持在一條與導(dǎo)線距離為的平行線上？解：由安培環(huán)路定律知：電流在處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為：，方向；運(yùn)動電荷受到的洛侖茲力方向向左，大小：，同時由于導(dǎo)線帶有線電荷密度為，在處產(chǎn)生的電場強(qiáng)度可用高斯定律求得為：，受到的靜電場力方向向右，大小：；欲使粒子保持在一條與導(dǎo)線距離為的平行線，需，即：，可得。14-15截面積為、密度為的銅導(dǎo)線被彎成正方形的三邊，可以繞水平軸轉(zhuǎn)動，如圖14-53所示。導(dǎo)線放在方向豎直向上的勻強(qiáng)磁場中，當(dāng)導(dǎo)線中的電流為時，導(dǎo)線離開原來的豎直位置偏轉(zhuǎn)一個角度而平衡，求磁感應(yīng)強(qiáng)度。解：設(shè)正方形的邊長為，質(zhì)量為，。平衡時重力矩等于磁力矩：由，磁力矩的大?。海恢亓貫椋浩胶鈺r：，。14-16有一個形導(dǎo)線，質(zhì)量為，兩端浸沒在水銀槽中，導(dǎo)線水平部分的長度為，處在磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為的均勻磁場中，如圖所示。當(dāng)接通電源時，導(dǎo)線就會從水銀槽中跳起來。假定電流脈沖的時間與導(dǎo)線上升時間相比可忽略，試由導(dǎo)線跳起所達(dá)到的高度計算電流脈沖的電荷量。解：接通電流時有，而，則：，積分有：；又由機(jī)械能守恒：，有：，。14-17半徑為的半圓形閉合線圈，載有電流，放在均勻磁場中，磁場方向與線圈平面平行，如圖所示。求：（1）線圈所受力矩的大小和方向（以直徑為轉(zhuǎn)軸）；（2）若線圈受上述磁場作用轉(zhuǎn)到線圈平面與磁場垂直的位置，則力矩做功為多少？解：（1）線圈的磁矩為：，由，此時線圈所受力矩的大小為：；磁力矩的方向由確定，為垂直于B的方向向上，如圖；（2）線圈旋轉(zhuǎn)時，磁力矩作功為：?！净颍骸克伎碱}14-1在圖（）和（）中各有一半徑相同的圓形回路、，圓周內(nèi)有電流、，其分布相同，且均在真空中，但在（）圖中回路外有電流，、為兩圓形回路上的對應(yīng)點(diǎn)，則：；。答：的環(huán)流只與回路中所包圍的電流有關(guān)，與外面的電流無關(guān)，但是回路上的磁感應(yīng)強(qiáng)度卻是所有電流在那一點(diǎn)產(chǎn)生磁場的疊加。所以（C）對。14-2哪一幅圖線能確切描述載流圓線圈在其軸線上任意點(diǎn)所產(chǎn)生的隨的變化關(guān)系？（坐標(biāo)軸垂直于圓線圈平面，原點(diǎn)在圓線圈中心）答：載流圓線圈在其軸線上任意點(diǎn)所產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度時，（），。根據(jù)上述兩式可判斷（C）圖對。14-3取一閉合積分回路，使三根載流導(dǎo)線穿過它所圍成的面現(xiàn)改變?nèi)鶎?dǎo)線之間的相互間隔，但不越出積分回路，則：(A)回路內(nèi)的不變，上各點(diǎn)的不變；(B)回路內(nèi)的不變，上各點(diǎn)的改變；(C)回路內(nèi)的改變，上各點(diǎn)的不變；(D)回路內(nèi)的 改變，上各點(diǎn)的改變.答：（B）對。14-4一載有電流的細(xì)導(dǎo)線分別均勻密繞在半徑為和的長直圓筒上形成兩個螺線管()，兩螺線管單位長度上的匝數(shù)相等兩螺線管中的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小和應(yīng)滿足：；.答：對于長直螺線管：，由于兩螺線管單位長度上的匝數(shù)相等，所以兩螺線管磁感應(yīng)強(qiáng)度相等。（B）對。14-5均勻磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度垂直于半徑為的圓面。今以該圓周為邊線，作一半球面，則通過面的磁通量的大小為多少？答：。14-6如圖，勻強(qiáng)磁場中有一矩形通電線圈，它的平面與磁場平行，在磁場作用下，線圈向什么方向轉(zhuǎn)動？答：受力方向垂直紙面向里，受力外，在力偶矩的作用下，垂直紙面向里運(yùn)動，垂直紙面向外運(yùn)動，從上往下看，順時針旋轉(zhuǎn)。14-7一均勻磁場，其磁感應(yīng)強(qiáng)度方向垂直于紙面，兩帶電粒子在磁場中的運(yùn)動軌跡如圖所示，則（A） 兩粒子的電荷必然同號； （B） 粒子的電荷可以同號也可以異號；（C） 兩粒子的動量大小必然不同；（D） 兩粒子的運(yùn)動周期必然不同。答：選（B）