A級基礎(chǔ)通關(guān)一、選擇題1(2017·全國卷改編)橢圓C：1的焦點在x軸上，點A，B是長軸的兩端點，若曲線C上存在點M滿足AMB120°，則實數(shù)m的取值范圍是()A(3，)B1，3)C(0，)D(0，1解析：依題意，當(dāng)0m3時，焦點在x軸上，要在曲線C上存在點M滿足AMB120°，則tan 60°，即，解得0m1.答案：D2(2019·全國卷)雙曲線C：1(a0，b0)的一條漸近線的傾斜角為130°，則C的離心率為()A2sin 40° B2cos 40° C. D.解析：由題意可得tan 130°，所以e.答案：D3若點P為拋物線y2x2上的動點，F(xiàn)為拋物線的焦點，則|PF|的最小值為()A2 B. C. D.解析：根據(jù)題意，拋物線y2x2上，設(shè)P到準線的距離為d，則有|PF|d，拋物線的方程為y2x2，即x2y，其準線方程為y，所以當(dāng)點P在拋物線的頂點時，d有最小值，即|PF|min.答案：D4(2019·天津卷)已知拋物線y24x的焦點為F，準線為l.若l與雙曲線1(a0，b0)的兩條漸近線分別交于點A和點B，且|AB|4|OF|(O為原點)，則雙曲線的離心率為()A. B. C2 D.解析：由已知易得，拋物線y24x的焦點為F(1，0)，準線l：x1，所以|OF|1.又雙曲線的兩條漸近線的方程為y±x，不妨設(shè)點A，B，所以|AB|4|OF|4，所以2，即b2a，所以b24a2.又因為c2a2b2，所以c25a2，所以e.答案：D5(2019·安徽六安一中模擬)點P在橢圓C1：1上，C1的右焦點為F2，點Q在圓C2：x2y26x8y210上，則|PQ|PF2|的最小值為()A44 B44 C62 D26解析：設(shè)橢圓的左焦點為F1(1，0)則|PQ|PF2|PQ|(2a|PF1|)|PQ|PF1|4，故要求|PQ|PF2|的最小值即求|PQ|PF1|的最小值又圓C2的半徑r2，圓心C2(3，4)，所以(|PQ|PF1|)min|C2F1|r222.故|PQ|PF2|的最小值為26.答案：D二、填空題6已知點(1，2)是雙曲線1(a0，b0)上一點，則雙曲線離心率的取值范圍是_解析：由已知得1，所以b24，則e215b2，故e.答案：(，)7已知拋物線y24x，過焦點F的直線與拋物線交于A，B兩點，過A，B分別作x軸，y軸垂線，垂足分別為C，D，則|AC|BD|的最小值為_解析：不妨設(shè)A(x1，y1)(y10)，B(x2，y2)(y20)則|AC|BD|x2y1y1.又y1y2p24，所以|AC|BD|(y20)設(shè)g(x)，g(x)，令g(x)0，得x2，令g(x)0，得2x0.所以g(x)在(，2)上遞減，在(2，0)上遞增所以當(dāng)x2，即y22時，|AC|BD|取最小值為3.答案：38(2019·浙江卷)已知橢圓1的左焦點為F，點P在橢圓上且在x軸的上方若線段PF的中點在以原點O為圓心，|OF|為半徑的圓上，則直線PF的斜率是_解析：如圖，左焦點F(2，0)，右焦點F(2，0)線段PF的中點M在以O(shè)(0，0)為圓心，2為半徑的圓上，因此OM2.在FFP中，OMPF，所以PF4.根據(jù)橢圓的定義，得PFPF6，所以PF2.又因為FF4，所以在RtMFF中，tan PFF，故直線PF的斜率是.答案：三、解答題9已知曲線C：y24x，曲線M：(x1)2y24(x1)，直線l與曲線C交于A，B兩點，O為坐標(biāo)原點(1)若·4，求證：直線l恒過定點；(2)若直線l與曲線M相切，求·(點P坐標(biāo)為(1，0)的最大值(1)證明：設(shè)l：xmyn，A(x1，y1)，B(x2，y2)由得y24my4n0.所以y1y24m，y1y24n.所以x1x24m22n，x1x2n2.由·4，得x1x2y1y2n24n4，解得n2.所以直線l方程為xmy2，所以直線l恒過定點(2，0)(2)解：因為直線l與曲線M：(x1)2y24(x1)相切，所以2，且n3，整理得4m2n22n3(n3)又點P坐標(biāo)為(1，0)，所以由已知及，得·(x11，y1)·(x21，y2)(x11)(x21)y1y2x1x2(x1x2)1y1y2n24m22n14nn24m26n144n.又y44n(n3)是減函數(shù)，所以當(dāng)n3時，y44n取得最大值8.故·的最大值為8.10(2019·惠州調(diào)研)已知橢圓C：1(ab0)的離心率為，短軸長為2.(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)過點A(0，4)的直線l與橢圓C交于M、N兩點，F(xiàn)是橢圓C的上焦點問：是否存在直線l，使得SMAFSMNF？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由解：(1)由題意知，b，且a2b2c2，解之得a24，b23.所以橢圓C的方程為1.(2)存在理由如下：由題意可知l的斜率一定存在，設(shè)l為ykx4，M(x1，y1)，N(x2，y2)，聯(lián)立(3k24)x224kx360，所以由SMAFSMNF，知M為線段AN的中點，所以x22x1， 將代入得x1；代入得x.從而可得k2，且滿足式，所以k±.因此存在直線l為6xy40或6xy40滿足題意B級能力提升11在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：1(ab1)過點P(2，1)，且離心率e.(1)求橢圓C的方程；(2)直線l的斜率為，直線l與橢圓C交于A，B兩點，求PAB面積的最大值解：(1)因為e2，所以a24b2.又1，所以a28，b22.故所求橢圓C的方程為1.(2)設(shè)l的方程為yxm，A(x1，y1)，B(x2，y2)，聯(lián)立消去y得x22mx2m240，判別式164m20，即m24.又x1x22m，x1·x22m24，則|AB| × ，點P到直線l的距離d.因此SPABd|AB|××2.當(dāng)且僅當(dāng)m22即m±時上式等號成立，故PAB面積的最大值為2.12設(shè)橢圓M：1(ab0)的左、右焦點分別為A(1，0)，B(1，0)，C為橢圓M上的點，且ACB，SABC.(1)求橢圓M的標(biāo)準方程；(2)設(shè)過橢圓M右焦點且斜率為k的動直線與橢圓M相交于E，F(xiàn)兩點，探究在x軸上是否存在定點D，使得·為定值？若存在，試求出定值和點D的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由解：(1)在ABC中，由余弦定理得AB2CA2CB22CA·CB·cos C(CACB)23CA·CB4.又SABCCA·CB·sin CCA·CB，所以CA·CB，代入上式得CACB2，所以橢圓長軸2a2，焦距2cAB2，所以b1.所以橢圓M的標(biāo)準方程為y21.(2)設(shè)直線方程yk(x1)，E(x1，y1)，F(xiàn)(x2，y2)，聯(lián)立消去y得(12k2)x24k2x2k220，8k280，所以x1x2，x1x2.假設(shè)x軸上存在定點D(x0，0)使得·為定值所以·(x1x0，y1)·(x2x0，y2)x1x2x0(x1x2)xy1y2x1x2x0(x1x2)xk2(x11)(x21)(1k2)x1x2(x0k2)(x1x2)xk2要使·為定值，則·的值與k無關(guān)，所以2x4x012(x2)，解得x0，此時·為定值，定點為.