《高中數(shù)學(xué)：一《平行線等分線段定理》素材1（新人教A版選修4-1）》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高中數(shù)學(xué)：一《平行線等分線段定理》素材1（新人教A版選修4-1）（6頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 平行線等分線段定理 一、知識點(diǎn) ? 1. 掌握平行線等分線段定理及其推論. ? 2. 會利用等分點(diǎn)作平行線，轉(zhuǎn)化成與比例相關(guān)的問題. 二、例題分析 第一階梯 [例1]已知：在△ABC中，D是AC的中點(diǎn)，DE∥BC交AB于點(diǎn)E，EF∥AC交BC于點(diǎn)F.求證：BF=CF. ? 提示： ? （1）由已知條件可得幾個中點(diǎn)？有幾條平行線？ ? （2）平行線等分線段定理及推論是如何敘述的？ ? （3）此題有幾種方法證明？請比較一下其方法之間的聯(lián)系？ 參考答案： ? 證明：在△ABC中，∵D是AC的中點(diǎn)，DE∥BC. ????? ??∴E是AB的中點(diǎn). ????? ??（

2、經(jīng)過三角形一邊的中點(diǎn)與另一邊平行的直線必平分第三邊）. ?????? ??又∵EF∥AC，交BC于F. ? ?????? ??∴F是BC的中點(diǎn)，即BF=FC. 說明： ? （1）在三角形中，給了一邊的中點(diǎn)和平行線，根據(jù)平行線等分線段定理的推論2，可得出平行線與另一邊的交點(diǎn)即是中點(diǎn). ? （2）此題也可以利用平行四邊形和全等形來證明，但麻煩. [例2]求證在直角梯形中，兩個直角頂點(diǎn)到對腰中點(diǎn)的距離相等. ???? 已知：如圖在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，E是AB邊的中點(diǎn)，連結(jié)ED、EC.求證：ED=EC. 提示： ? （1）對一個命題進(jìn)行證明，首先要分清什么？

3、再根據(jù)題意如何？ ? （2）在梯形中，若已知一腰的中點(diǎn)，一般過這點(diǎn)作什么樣的輔助線即可得到另一腰的中點(diǎn). ? （3）請總結(jié)一下利用平行線等分線段定理及推論時所必備的條件和所得的結(jié)論分別是什么？ 參考答案： ? 證明：過E點(diǎn)作EF∥BC交DC于F. ??????? ∵在梯形ABCD中，AD∥BC. ??????? ∴AD∥EF∥BC. ??????? ∵E是AB的中點(diǎn). ??????? ∴F是DC的中點(diǎn)（經(jīng)過梯形一腰中點(diǎn)與底平行的直線必平分另一腰）. ??????? ∵∠ADC=90° ??????? ∴∠DFE=90° ∴EF⊥DC于F 又F是DC中點(diǎn) ??????? ∴

4、EF是DC的垂直平分線 ??????? ∴ED=EC（線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端距離相等）. 說明： ? （1）命題證明要正確的理解題意，按題意畫出圖形.再根據(jù)圖形，寫出已知和求證. ? （2）此題作EF與DC垂直，證EF∥BC也可以. 第二階梯 [例1]在□ABCD中，E和F分別是BC和AD邊的中點(diǎn)，BF和DE分別交AC于P、Q兩點(diǎn).求證：AP=PQ=QC. 提示： ? （1）圖形中可以得到幾條平行線？與結(jié)論有關(guān)的平行線分別在哪幾個三 角形中？被平行線所截線段的位置有何特殊關(guān)系？ ? （2）利用平行線和中點(diǎn)，可以得到三角形哪條邊的中點(diǎn)？ ? （3）平行四邊形在此題中

5、的作用是什么？如果把平行四邊形改成梯形，結(jié)論成立嗎？若改成其它的特殊四邊形呢？ 參考答案： ? 證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，E、F分別是BC、AD邊上的中點(diǎn). ??????? ∴四邊形BEDF是平行四邊形（一組對邊平行且相等的四邊形定平行四邊形） ??????? ∴在△ADQ中，F(xiàn)是AD的中點(diǎn)，F(xiàn)P∥DQ. ??????? ∴P是AQ的中點(diǎn) ∴AP=PQ. ??????? 在△CPB中，E是BC的中點(diǎn)，EQ∥BP. ??????? ∴Q是CP的中點(diǎn). ∴CQ=PQ. ??????? ∴AP=PQ=QC. 說明： ? （1）此題兩次利用了E、F是中點(diǎn)的條件.? ?

6、（2）在利用平行線等分線段定理或推論時要把平行和中點(diǎn)兩個條件擺齊.?????? [例2]已知：△ABC中，CD平分∠ACB，AE⊥CD于E，EF∥BC交AB于F.求證：AF=BF. 提示： ? （1） E點(diǎn)是DC邊的中點(diǎn)嗎？圖形中E是什么點(diǎn)？直觀上，你覺得圖形 完善嗎？ ? （2） 如何添加輔助線，使EF與某三角形的一邊平行且E是其中一邊的 中點(diǎn)？ ? （3） 在三角形中，一般的有角平分線的條件，就可以構(gòu)選什么圖形？ 參考答案： ? 證明：延長AE交BC于M. ∵CD是∠ACB的平分線，AE⊥CE于E ??????? ∴在△AEC與△MEC中 ??????? ????

7、??? ∴△AEC≌△MEC ??????? ∴AE=EM ??????? ∴E是AM的中點(diǎn)，又在△ABM中FE∥BF. ??????? ∴點(diǎn)F是AB邊的中點(diǎn) ∴AF=BF. 說明： ? （1）一般情況下，幾何圖形應(yīng)具有對稱的內(nèi)在美，當(dāng)感覺上圖形有些缺點(diǎn)時，就要添加適當(dāng)?shù)妮o助線，使其完善此題中，AE⊥CE于E，恰在三角形內(nèi)部，而Rt△AEC又不好用.所以延長AE與BC相交就勢在必行了. ? （2）在三角形中，若有角平分線可構(gòu)造全等三角形，有一邊上的中點(diǎn)，過這點(diǎn)可作平行線. ? （3）△AEC與△MEC只能證全等后才能得到AE=EM，在此沒有定理可用.???? 第三階梯 [例1

8、]已知：如圖以梯形ABCD的對角線AC及腰AD為鄰邊作□ACED，DC的延長線交BE于F.求證：EF=BF. 提示： ? （1）梯形的上下兩底具有什么性質(zhì)？平行四邊形的對角線有什么性質(zhì)？ ? （2）如何添加輔助線，再結(jié)合條件平行四邊形，得到某條線段的中點(diǎn)呢 ? （3）此題有幾種構(gòu)造三角形中點(diǎn)的方法？構(gòu)造梯形可以嗎？請試一試. 參考答案： ? 證明：連結(jié)AE交DC于O ∵四邊形ACED是平行四邊形 ??????? ∴O是AE的中點(diǎn)（平行四邊形對角線互相平分）. ??????? ∵梯形ABCD ??????? ∴DC∥AB ?? 在△EAB中，OF∥AB 又O是AE的中點(diǎn).

9、 ?????? ∴F是EB的中點(diǎn) ∴EF=BF. 說明： ? （1）證題時，當(dāng)一個條件有幾個結(jié)論時要選擇與其有關(guān)聯(lián)的結(jié)論. ? （2）此題可延長EC，在梯形ABCD內(nèi)構(gòu)造平行四邊形或以AB、BE、AD的延長線為邊構(gòu)造梯形也可以得證. [例2]梯形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，∠B=60°，AB=BC，E為AB的中點(diǎn).求證：△ECD為等邊三角形. 提示： ? （1） 由條件可知，CE是哪個特殊三角形的什么線段？為什么？∠2的度數(shù)是多少？ ? （2） 在梯形ABCD中，有AB邊的中點(diǎn)E，如何添加輔線后，得到ED=EC？為什么？ ? （3） 此題不用平行線等分線段定理，還有

10、別的方法嗎？試一試. 參考答案： 證明：連結(jié)AC，過點(diǎn)E作EF∥AD交DE于F. ????? ∵梯形ABCD ∴AD∥BC ∴AD∥EF∥BC. ??? 又∵E是AB的中點(diǎn)， ∴F是DC的中點(diǎn) ? （經(jīng)過梯形一腰的中點(diǎn)與底平行的直線平分另一腰） ? ?? ∵DC⊥BC ∴EF⊥DC ???? ∴ED=EC （線段垂直平分線上的點(diǎn)和線段兩端點(diǎn)的距離相等） ???? ∴△EDC為等腰三角形. ???? ∵AB=BC ∠B=60° ∴△ABC是等邊三角形 ???? ∴∠ACB=60° 又E是AB邊中點(diǎn) ∴CE平分∠ACB ???? ∴∠1=∠2=30° ∴∠DEF=30° ???? ∴∠DEC=60° 又ED=EC ???? ∴△DEC為等邊三角形. 說明： ? （1）一般在梯形中給出了一腰的中點(diǎn)，常添加的輔助線有①過這一點(diǎn)作底邊的平行線，由平行線等分線段定理推論得另一腰的中點(diǎn)；②可延長DE（或CE）與底邊相交，構(gòu)造全等三角形. ? （2）此題不要AB=BC的條件，保留其它條件構(gòu)造全等三角形也可得證不訪試一試.????? w.w.w.k.s.5.u.c.o.m