第26練導數的概念及簡單應用小題提速練明晰考情1.命題角度：考查導數的幾何意義，利用導數研究函數的單調性、極值和最值.2.題目難度：中檔偏難.考點一導數的幾何意義方法技巧(1)f(x0)表示函數f(x)在xx0處的瞬時變化率.(2)f(x0)的幾何意義是曲線yf(x)在點P(x0，y0)處切線的斜率.1.已知函數f(x1)，則曲線yf(x)在點(1，f(1)處切線的斜率為()A.1 B.1C.2 D.2答案A解析由f(x1)，知f(x)2.f(x)，且f(1)1.由導數的幾何意義，得所求切線的斜率k1.2.函數f(x)excos x的圖象在點(0，f(0)處的切線方程是()A.xy10 B.xy10C.xy10 D.xy10答案C解析f(0)e0cos 01，因為f(x)excos xexsin x，所以f(0)1，所以切線方程為y1x0，即xy10，故選C.3.(2018·全國)設函數f(x)x3(a1)x2ax，若f(x)為奇函數，則曲線yf(x)在點(0，0)處的切線方程為()A.y2x B.yxC.y2x D.yx答案D解析方法一f(x)x3(a1)x2ax，f(x)3x22(a1)xa.又f(x)為奇函數，f(x)f(x)恒成立，即x3(a1)x2axx3(a1)x2ax恒成立，a1，f(x)3x21，f(0)1，曲線yf(x)在點(0，0)處的切線方程為yx.故選D.方法二f(x)x3(a1)x2ax為奇函數，f(x)3x22(a1)xa為偶函數，a1，即f(x)3x21，f(0)1，曲線yf(x)在點(0，0)處的切線方程為yx.故選D.4.(2016·全國)若直線ykxb是曲線yln x2的切線，也是曲線yln(x1)的切線，則b_.答案1ln 2解析yln x2的切線為y·xln x11(設切點橫坐標為x1).yln(x1)的切線為yxln(x21)(設切點橫坐標為x2)，解得x1，x2，bln x111ln 2.考點二導數與函數的單調性方法技巧(1)若求單調區(qū)間(或證明單調性)，只要在函數定義域內解(或證明)不等式f(x)>0或f(x)<0.(2)若已知函數的單調性，則轉化為不等式f(x)0或f(x)0在單調區(qū)間上恒成立問題來求解.5.已知函數f(x)ln xx，若af，bf()，cf(5)，則()A.c<b<a B.c<a<bC.b<c<a D.a<c<b答案A解析f(x)1<0恒成立，f(x)在(0，)上為減函數.afln 33f(3).3<<5，f(3)>f()>f(5)，a>b>c.故選A.6.設函數f(x)x29ln x在區(qū)間a1，a1上單調遞減，則實數a的取值范圍是()A.(1，2 B.4，)C.(，2 D.(0，3答案A解析易知f(x)的定義域為(0，)，且f(x)x.由f(x)x<0，解得0<x<3.f(x)x29ln x在a1，a1上單調遞減，解得1<a2.7.定義在R上的函數f(x)滿足f(x)>f(x)恒成立，若x1<x2，則與的大小關系為()A.B.C.D.與的大小關系不確定答案A解析設g(x)，則g(x)，由題意知g(x)>0，所以g(x)單調遞增，當x1<x2時，g(x1)<g(x2)，即，所以.考點三導數與函數的極值、最值方法技巧(1)函數零點問題，常利用數形結合與函數極值求解.(2)含參恒成立或存在性問題，可轉化為函數最值問題；若能分離參數，可先分離.特別提醒(1)f(x0)0是函數yf(x)在xx0處取得極值的必要不充分條件.(2)函數f(x)在a，b上有唯一一個極值點，這個極值點就是最值點.8.(2017·全國)若x2是函數f(x)(x2ax1)·ex1的極值點，則f(x)的極小值為()A.1 B.2e3 C.5e3 D.1答案A解析函數f(x)(x2ax1)ex1，則f(x)(2xa)ex1(x2ax1)ex1ex1·x2(a2)xa1.由x2是函數f(x)的極值點，得f(2)e3·(42a4a1)(a1)e30，所以a1.所以f(x)(x2x1)ex1，f(x)ex1·(x2x2).由ex10恒成立，得當x2或x1時，f(x)0，且當x2時，f(x)0；當2x1時，f(x)0；當x1時，f(x)0.所以x1是函數f(x)的極小值點.所以函數f(x)的極小值為f(1)1.故選A.9.已知f(x)是定義在R上的可導函數f(x)的導數，對任意xR，x3且x1，都有(x22x3)f(x)ex0，f(1)<0，f(2)<f(3)，f(5)>0，則下列結論錯誤的是()A.f(x)的增區(qū)間為(，1)，(3，)B.f(x)在x3處取極小值，在x1處取極大值C.f(x)有3個零點D.f(x)無最大值也無最小值答案C解析由x3且x1，(x22x3)f(x)ex0知，f(x)，當x<1或x>3時，x22x3>0，f(x)>0，當1<x<3時，x22x3<0，f(x)<0，f(x)的增區(qū)間為(，1)，(3，)，減區(qū)間為(1，3)；f(x)在x3處取極小值，在x1處取極大值.又f(1)<0，由f(x)的草圖(圖略)知，f(x)恰有一個零點.f(x)無最大值也無最小值，故A，B，D結論正確，錯誤的結論為C.10.(2018·江蘇)若函數f(x)2x3ax21(aR)在(0，)內有且只有一個零點，則f(x)在1，1上的最大值與最小值的和為_.答案3解析f(x)6x22ax2x(3xa)(x0).當a0時，f(x)0，f(x)在(0，)上單調遞增，又f(0)1，f(x)在(0，)上無零點，不合題意.當a0時，由f(x)0，解得x，由f(x)0，解得0x，f(x)在上單調遞減，在上單調遞增.又f(x)只有一個零點，f10，a3.此時f(x)2x33x21，f(x)6x(x1)，當x1，1時，f(x)在1，0上單調遞增，在(0，1上單調遞減.又f(1)0，f(1)4，f(0)1，f(x)maxf(x)minf(0)f(1)143.11.已知f(x)x33x3，g(x)(x1)2a，x10，2，x20，2，使得f(x1)g(x2)成立，則實數a的取值范圍是_.答案解析x10，2，x20，2，使得f(x1)g(x2)成立，等價于f(x)ming(x)min，f(x)3x23(x1)，故當x(0，1)時，f(x)<0；當x(1，2)時，f(x)>0，故f(x)minf(1)1；當x2時，g(x)取得最小值g(2)a9，所以1a9，即實數a的取值范圍是a10.考點四定積分要點重組微積分基本定理：一般地，如果f(x)是區(qū)間a，b上的連續(xù)函數，且F(x)f(x)，那么f(x)dxF(b)F(a).12.dx等于()A.e2 B. C. D.答案B解析dx.13.設f(x)則f(x)dx的值為()A. B.3C. D.3答案A解析根據定積分的性質，可得f(x)dx()dx(x21)dx，根據定積分的幾何意義，可得()dx是以原點為圓心，以1為半徑的圓的面積的，()dx，f(x)dx.14.曲線ycos x與坐標軸所圍圖形的面積為()A.4 B.2 C. D.3答案D解析曲線ycos x與坐標軸所圍圖形的面積為Scos xdxcos xdx3.15.由曲線y，直線yx2及y軸所圍成的圖形的面積為()A. B.4 C. D.6答案C解析如圖，由y和yx2的圖象易得A(0，2).由得其交點坐標為B(4，2).因此y與yx2及y軸所圍成的圖形的面積為(x2)dx(x2)dx×8×162×4.1.已知f(x)ln x，g(x)x2mx(m<0)，直線l與函數f(x)，g(x)的圖象都相切，且與f(x)圖象的切點為(1，f(1)，則m等于()A.1 B.3 C.4 D.2答案D解析f(x)，直線l的斜率為kf(1)1.又f(1)0，切線l的方程為yx1.g(x)xm，設直線l與g(x)的圖象的切點為(x0，y0)，則有x0m1，y0x01，y0xmx0(m<0)，于是解得m2.故選D.2.(2016·全國)若函數f(x)xsin 2xasin x在(，)上單調遞增，則a的取值范圍是()A.1，1 B.C. D.答案C解析方法一(特殊值法)不妨取a1，則f(x)xsin 2xsin x，f(x)1cos 2xcos x，但f(0)11<0，不具備在(，)上單調遞增，排除A，B，D.故選C.方法二(綜合法)函數f(x)xsin 2xasin x在(，)上單調遞增，f(x)1cos 2xacos x1(2cos2x1)acos xcos2xacos x0，即acos xcos2x在(，)上恒成立.當cos x0時，恒有0，得aR；當0<cos x1時，得acos x，令tcos x，g(t)t在(0，1上為增函數，得ag(1)；當1cos x<0時，得acos x，令tcos x，g(t)t在1，0)上為增函數，得ag(1).綜上可得，a的取值范圍是，故選C.3.函數f(x)的定義域為開區(qū)間(a，b)，導函數f(x)在(a，b)內的圖象如圖所示，則函數f(x)在開區(qū)間(a，b)內的極小值點有()A.1個 B.2個C.3個 D.4個答案A解析由極小值的定義及導函數f(x)的圖象可知，f(x)在開區(qū)間(a，b)內有1個極小值點.4.若直線ya分別與直線y2(x1)，曲線yxln x交于點A，B，則|AB|的最小值為_.答案解析解方程2(x1)a， 得x1.設方程xln xa的根為t(t0)，則tln ta，則|AB|.設g(t)1(t0)，則g(t)(t0)，令g(t)0，得t1.當t(0，1)時，g(t)0，g(t)單調遞減；當t(1，)時，g(t)0，g(t)單調遞增，所以g(t)ming(1)，所以|AB|，所以|AB|的最小值為.解題秘籍(1)對于未知切點的切線問題，一般要先設出切點.(2)f(x)遞增的充要條件是f(x)0，且f(x)在任意區(qū)間內不恒為零.(3)利用導數求解函數的極值、最值問題要利用數形結合思想，根據條件和結論的聯系靈活進行轉化.1.已知函數yxf(x)的圖象如圖所示(其中f(x)是函數f(x)的導函數)，下面四個圖象中，yf(x)的圖象可能是()答案B解析由函數yxf(x)的圖象知，當x<1時，f(x)>0，f(x)為增函數；當1<x<0時，f(x)<0，f(x)為減函數；當0<x<1時，f(x)<0，f(x)為減函數；當x>1時，f(x)>0，f(x)為增函數.故選項B的圖象符合.2.函數f(x)(x3)ex的單調遞增區(qū)間是()A.(，2) B.(0，3) C.(1，4) D.(2，)答案D解析函數f(x)(x3)ex的導函數為f(x)(x3)·exex(x3)ex(x2)ex.由函數導數與函數單調性的關系，得當f(x)>0時，函數f(x)單調遞增，此時由不等式f(x)(x2)ex>0，解得x>2.3.已知函數f(x)x3mx24x3在區(qū)間1，2上是增函數，則實數m的取值范圍為()A.4m5 B.2m4C.m2 D.m4答案D解析由函數f(x)x3mx24x3，可得f(x)x2mx4，由函數f(x)x3mx24x3在區(qū)間1，2上是增函數，可得x2mx40在區(qū)間1，2上恒成立，可得mx，又x24，當且僅當x2時取等號，可得m4.4.若函數f(x)(x1)·ex，則下列命題正確的是()A.對任意m<，都存在xR，使得f(x)<mB.對任意m>，都存在xR，使得f(x)<mC.對任意m<，方程f(x)m只有一個實根D.對任意m>，方程f(x)m總有兩個實根答案B解析f(x)(x2)·ex，當x>2時，f(x)>0，f(x)為增函數；當x<2時，f(x)<0，f(x)為減函數.f(2)為f(x)的最小值，即f(x)(xR)，故B正確.5.已知函數f(x)是定義在區(qū)間(0，)上的可導函數，其導函數為f(x)，且滿足xf(x)2f(x)0，則不等式的解集為()A.x|x2 013B.x|x2 013C.x|2 013x0D.x|2 018x2 013答案D解析構造函數g(x)x2f(x)，則g(x)x2f(x)xf(x).當x0時，2f(x)xf(x)0，g(x)0，g(x)在(0，)上單調遞增.不等式，當x2 0180，即x2 018時，(x2 018)2f(x2 018)52f(5)，即g(x2 018)g(5)，0<x2 0185，2 018x2 013.6.函數y與yx2所圍成的封閉區(qū)域的面積為()A. B.C. D.答案A解析函數y與yx2所圍成的封閉區(qū)域的面積為(x2)dx.7.若對x>0，不等式ln(1x)x>1(aR)恒成立，則a的取值范圍是()A.1，) B.(1，)C.2，) D.(2，)答案C解析若對x>0，不等式ln(1x)x>1 (aR)恒成立，則ln(1x)>1恒成立，即a>(x2)1ln(1x)恒成立，令h(x)(x2)1ln(1x)(x>0)，則h(x)1ln(1x)ln(1x).當x>0時，顯然h(x)ln(1x)<0，所以h(x)在(0，)上是減函數，所以當x>0時，h(x)<h(0)2，所以a的取值范圍是2，).故選C.8.f(x)aln xx2b(x1)1，若對x， f(x)0恒成立，則實數a的取值范圍是()A.ae2 B.a2C.a2 D.a答案A解析因為f(1)0，由題意可知f(1)為極小值，故f(1)0，求導有f(x)2xb，f(1)a2b0，ba2.則 f(x)2x(a2).當時，f(x)在上單調遞減，在區(qū)間(1，)上單調遞增，滿足題意；當1時， f(x)在，(1，)上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減，只需f0，解得 ae2，ae2；當1時， f(x)0，f(x)在定義域內單調遞增，而f(1)0，存在x0滿足f(x0)0；當>1時， f(x)在區(qū)間，上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減，不合題意.綜上可得實數a的取值范圍是ae2.9.已知f(x)為偶函數，當x<0時，f(x)ln(x)3x，則曲線yf(x)在點(1，3)處的切線方程是_.答案2xy10解析當x>0時，x<0，則f(x)ln x3x.因為f(x)是偶函數，所以f(x)f(x)ln x3x，所以當x>0時，f(x)3，f(x)在點(1，3)處的切線斜率為f(1)2，所以切線方程為y32(x1)，即2xy10.10.設a>0，若曲線y與直線xa，y0所圍成封閉圖形的面積為a，則a_.答案解析Sdxa，a.11.(2018·全國)已知函數f(x)2sin xsin 2x，則f(x)的最小值是_.答案解析f(x)2cos x2cos 2x2cos x2(2cos2x1)2(2cos2xcos x1)2(2cos x1)(cos x1).cos x10，當cos x時，f(x)0，f(x)單調遞減；當cos x時，f(x)0，f(x)單調遞增，當cos x時，f(x)有最小值.又f(x)2sin xsin 2x2sin x(1cos x)，當sin x時，f(x)有最小值，即f(x)min2××.12.已知函數f(x)exx，若f(x)<0的解集中只有一個正整數，則實數k的取值范圍為_.答案解析f(x)<0，即exx<0，即kx<只有一個正整數解，設g(x)，所以g(x)，當x<1時，g(x)>0，當x>1時，g(x)<0，所以g(x)在(，1)上單調遞增，在(1，)上單調遞減，所以g(x)maxg(1)，由圖可知，kx<的唯一一個正整數解只能是1，所以有解得k<，所以實數k的取值范圍為.