習 題 1-11計算下列極限（1）, 解：原式=（2）；解：原式（3） 解：原式 （4），解：原式（5） 解：原式=（6） ，為正整數(shù)；解：原式2設在處二階可導，計算.解：原式 3設，存在，計算.解：習 題 1-2 1.求下列極限 （1）; 解：原式 ，其中在與之間（2）;解：原式=，其中在與之間（3） 解：原式 ，其中在與之間（4） 解：原式，其中其中在與之間2設在處可導，計算.解：原式 習 題 1-31求下列極限（1）, 解：原式（2）;解：（3）; 解：原式（4）;解：原式2. 求下列極限（1）; 解：原式（2）;解：原式習 題 1-41求下列極限（1）； 解：原式 （2）求； 解：原式（3）； 解：原式（4）； 解：原式此題已換3設在處可導，.若在時是比高階的無窮小，試確定的值.解：因為 ，所以從而 解得：3設在處二階可導，用泰勒公式求解：原式4. 設在處可導，且求和.解 因為 所以 ,即所以 習 題 1-5 1. 計算下列極限(1) ; ; 解：原式(2)解：原式2 設，求 (1) ；解：原式(2) ，解：由于，所以3設，求和.解：因為，所以且從而有stolz定理，且所以，4設，其中，并且，證明：.證明：因，所以，所以，用數(shù)學歸納法易證，。又，從而單調遞減，由單調有界原理，存在，記在兩邊令，可得所以習 題 1-61. 設在內可導，且 存在. 證明:證明：2. 設在上可微， 和存在.證明:.證明：記（有限），（有限），則 從而 所以3. 設在上可導，對任意的,，證明:.證明：因為，所以，由廣義羅必達法則得4設在上存在有界的導函數(shù)，證明:.證明：，有界，所以習 題 2-1（此題已換） 1. 若自然數(shù)不是完全平方數(shù)，證明是無理數(shù). 1.證明是無理數(shù)證明：反證法. 假若且互質，于是由可知,是的因子，從而得即,這與假設矛盾2. 求下列數(shù)集的上、下確界.（1） 解：（2）解：（3） 解：（4）.解：3設，驗證.證明：由得是的一個下界.另一方面，設也是的下界，由有理數(shù)集在實數(shù)系中的稠密性，在區(qū)間中必有有理數(shù)，則且不是的下界.按下確界定義， .4用定義證明上（下）確界的唯一性.證明：設為數(shù)集的上確界，即.按定義，有.若也是的上確界且.不妨設，則對有即 矛盾.下確界的唯一性類似可證習 題 2-21用區(qū)間套定理證明：有下界的數(shù)集必有下確界.證明：設是的一個下界，不是的下界，則. 令，若是的下界，則??；若不是的下界，則取. 令，若是的下界，則??；若不是的下界，則??；， 按此方式繼續(xù)作下去，得一區(qū)間套，且滿足：是的下界，不是的下界. 由區(qū)間套定理 ，且. 下證： 都有，而，即是的下界.由于，從而當充分大以后，有.而不是的下界不是的下界，即是最大下界2. 設在上無界.證明：存在,使得在的任意鄰域內無界.證明：由條件知，在上或上無界，記使在其上無界的區(qū)間為；再二等分，記使在其上無界的區(qū)間為，繼續(xù)作下去，得一區(qū)間套，滿足在上無界.根據(jù)區(qū)間套定理，且.因為對任意的，存在，當時，有，從而可知在上無界3.設,在上滿足,若在上連續(xù), 在上單調遞增.證明：存在,使.證明：記且二等分.若，則記若則記.類似地,對已取得的二等分,若，則記；若，則記按此方式繼續(xù)下去，得一區(qū)間套，其中根據(jù)區(qū)間套定理可知，且有 .因為在上連續(xù)，所以 注意到 可得 ，再由 可知 ， .習 題 2-31. 證明下列數(shù)列發(fā)散.(1), 證 因為， 所以發(fā)散. (2), 證明：因為 所以發(fā)散.2證明:單調數(shù)列收斂的充要條件是其存在一個收斂子列.證明：由收斂數(shù)列與子列的關系，結論顯然 不妨假設數(shù)列單調遞增，且存在收斂子列，由極限定義對任意給定的，總存在正整數(shù)，當時，從而有；由于，對任意，存在正整數(shù)，當時，取，則任意時，所以，即3. 設極限存在,證明：.證明：記由海茵定理，取，得取，得取，得，解得（此題取消）4. 數(shù)列收斂于的充要條件是：其偶數(shù)項子列和奇數(shù)項子列皆收斂于（此題改為4）5. 已知有界數(shù)列發(fā)散，證明:存在兩個子列和收斂于不同的極限.證明：因為有界，由致密性定理，必有收斂的子列，設. 又因為不收斂，所以存在，在以外，有的無窮多項，記這無窮多項所成的子列為，顯然有界.由致密性定理，必有收斂子列，設 ，顯然 .習 題 2-51. 用柯西收斂準則判定下列數(shù)列的收斂性(1) 解：所以，對，即為柯西列 (2) .解：所以，對，即為柯西列2. 滿足下列條件的數(shù)列是不是柯西列?(1) 對任意自然數(shù),都有解：不是柯西列，如，對任意的自然數(shù)，但數(shù)列不收斂。 (2), 解：所以，對，即為柯西列 (3).證明：記，則單調遞增有上界，從而必有極限，記對從而 故 是柯西列習 題 3-11.設定義在上的函數(shù)在內連續(xù),且和存在(有限). 問在上是否有界? 是否能取得最值?解：在閉區(qū)間上構造輔助函數(shù) 則在上連續(xù)，從而在上有界. 由于，故在上也有界，即存在，使得 . 令 ，則有 .條件同上，但在上卻不一定能取得極值. 例如：2.設在內連續(xù),且.證明在內可取得最小值.證明：因為，所以，當時，有因為，所以，當時，有從而當時，有又在連續(xù)，從而一定可以取到最小值，即，使當時，且；故時，有所以在處取到最小值習 題 3-2（此題已換）1. 設,. 證明:方程在和內恰好各有一個實根.1. 證明開普勒(Kepler)方程有唯一實根證明：令，則在連續(xù)且，由零點原理，使，即方程至少有一實根又，所以在單調遞增，所以方程有唯一實根（此題已換）2. 設函數(shù)在（）內連續(xù)且有極值點. 證明: 存在使得 2.設，討論方程實根的個數(shù)解：step1.令，則，由零點原理，在至少有一實根，又，所以在單調遞增，從而方程在內有且僅有一實根。step2.令，則，且，所以當時，函數(shù)單調遞減；當時，函數(shù)單調遞增，所以函數(shù)在點取得極小值。所以，當時，方程在無解；當時，在有一解；當時，在有兩解綜上：當時，方程有一解；當時，有兩解；當時，有三解3.設在上連續(xù), ,.證明存在使.證法1 因為在上連續(xù)，所以存在最大值和最小值，且使，從而有.由介值定理知，使. 證法2 因為有界，所以存在收斂子列.而在上連續(xù)，故有習 題10-21. 設在上連續(xù)， 為自然數(shù). 證明：（1）若，則存在使得證明：令，則，且，從而若，使，取即可否則，使，由零點原理，或，使綜上，使，即（2）若則存在使得解：取，方法同上2.設在上連續(xù)，且 證明：存在使證：由已知經計算得1）若或，由積分中值定理，使，從而2）否則，a）若，同1），由積分中值定理，使b）與異號，由中值定理，使，且所以，有零點原理，使3. 設,求證(1) 對任意自然數(shù), 方程在內有唯一實根;證明：時，在上有唯一實根時，有，且，由零點存在原理，使，即在上有一實根又，故嚴格單調遞減，所以方程在內有唯一實根(2) 設是的根,則.證：對，從而，有因為嚴格單調遞減，故，即嚴格單調遞增。又有界，所以收斂。設，由于，所以，在，令，有，所以，即4. 設在上連續(xù)，不恒為常數(shù),且.證明存在，使 證：令，因為在上連續(xù)，不恒為常數(shù),且，所以，使，于是，由零點原理：證明存在，使，即習 題4-1 1證明函數(shù)沒有原函數(shù). 證：設存在原函數(shù)，即，則且，由于，由達布定理，使，矛盾，所以無原函數(shù)2設在上可導， 證明： （1）若 則存在使證明：若，則取或均可；否則，又達布定理，存在介于與之間，使綜上存在使（2）若 則存在使證明：若，則取或均可；否則，由達布定理，存在介于與之間，使；綜上存在使習 題4-21求下列函數(shù)的導函數(shù)，并討論導函數(shù)的連續(xù)性.（1）； 解：，則在連續(xù)，且時，從而時，從而 所以從而在連續(xù)。所以在連續(xù)（2）； 解：顯然在連續(xù)，且時，從而；時，從而 所以從而在連續(xù)。所以在連續(xù)2. 設. 當分別滿足什么條件時，（1）在處連續(xù)；解：，即，所以（2） 在處可導；解：存在，即存在，所以（3）在處連續(xù)？ 解：，由，即，所以3分別用兩種方法證明符號函數(shù)不存在原函數(shù).證明：法一設存在原函數(shù)，即，則且，由于，由達布定理，使，矛盾，所以無原函數(shù)法二由單側導數(shù)極限定理，導函數(shù)不存在第一類間斷點，而有第一類間斷點，從而無原函數(shù)習 題5-1 .1. 設函數(shù)在上可導. （1）若，.證明存在使；證明：令，則，且，由廣義洛爾定理，使，即，所以 (2) 若，證明存在使得； 證明：令，則，且，由廣義洛爾定理，使，即，所以習 題5-21 設在上可導，且，其中為常數(shù).證明：存在，使.證明：由積分中值定理，使令，則，且，由洛爾定理，使，即，從而2 設在上可導，且證明：存在，使 證明：由積分中值定理，使令，則，且，由洛爾定理，使，即，從而3 設在上可導，且.證明：存在使 證明：由積分中值定理，使令，則，且，由洛爾定理，使，即，從而習 題6-11.若在區(qū)間上是凸函數(shù)，證明對任意四點，有. 其逆是否成立？證明：因為在區(qū)間上是凸函數(shù)，由三弦不等式，且，所以成立。其逆成立2. 設均為區(qū)間上的凸函數(shù)，證明：也是上凸函數(shù).證明：設，則對，有，且，從而，由凸函數(shù)的定義，也是上凸函數(shù)習 題6-21. 驗證下列函數(shù)是（嚴格）凸函數(shù).（1） 解：，（），所以是上的嚴格凸函數(shù)（2）解：，（），所以是上的嚴格凹函數(shù)習 題6-31證明不等式（1） 證：設，則（），所以是上的嚴格凸函數(shù)；從而，有，即（2） 證：設，則（），所以是上的嚴格凸函數(shù)；從而，有，可得，即，又因為，所以 習 題 9-11. 求下列函數(shù)項級數(shù)的收斂域(1) ； 解：，從而當時，級數(shù)絕對收斂；當時，級數(shù)絕對收斂；當時，發(fā)散；當時，發(fā)散，所以，級數(shù)的收斂域為 (2) .解：，所以當時，級數(shù)發(fā)散；當時，級數(shù)發(fā)散；當時，級數(shù)絕對收斂；當時，級數(shù)絕對收斂；當時，級數(shù)發(fā)散；當時，級數(shù)發(fā)散；當時，級數(shù)收斂；所以原級數(shù)的收斂域為習 題 9-21. 證明函數(shù)項級數(shù)在上一致收斂.證明：，從而所以對任意的，由，得對，取，當時，對任意的成立，因此，在上一致收斂到2. 設在區(qū)間上一致收斂于,且對任意有.試問是否存在,使當時,對任意有?解：答案不正確；例 在內一致收斂到，且，有；但，和，使習 題 9-31. 利用定理9.3.1證明下列函數(shù)項級數(shù)不一致收斂.(1) , 證：，級數(shù)的部分和，從而，在不連續(xù)，故級數(shù)不一致收斂。(2) ,.證：，級數(shù)的部分和，從而，在不連續(xù)，故級數(shù)不一致收斂。2. 設試問在上是否一致收斂?是否有解：對，但對，都，使，所以在上不一致收斂另外，所以3. 設試問在上是否一致收斂?是否有? 其中解：對，有，從而但對，都，使所以在上不一致收斂又，所以4. 求的收斂域，并討論和函數(shù)的連續(xù)性.解：設，則，有根值判別法，當時，級數(shù)絕對收斂；當時，級數(shù)發(fā)散；當時，級數(shù)發(fā)散；所以級數(shù)的收斂域為。對，總，使，從而在上連續(xù)，且在一致收斂，從而在上連續(xù)，故在上連續(xù)，由得在上連續(xù)習 題 9-41. 討論下列函數(shù)序列在指定區(qū)間上的一致收斂性.（1） ， ；解：對，又在處取得最大值，從而對，取，則對，有，所以在一致收斂（2）； （i）， 解：對，對，取，則對，有，所以在一致收斂（ii）；解：對，對，使，所以在不一致收斂2. 討論下列函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性.（1） ，； 解：對任意的，而收斂，由M判別法，原級數(shù)一致收斂。（2） ，. 解：對任意的，而收斂，由M判別法，原級數(shù)一致收斂。3. 設，. 證明函數(shù)項級數(shù)在上一致收斂，并討論其和函數(shù)在上的連續(xù)性、可積性與可微性. 解：由對任意的成立，從而而收斂，由M判別法知在上一致收斂（1），在上一致收斂，所以和函數(shù)在連續(xù)（定理1）（2），在上一致收斂，所以和函數(shù)在可積（定理2）（3）由，收斂，由M判別法知在上一致收斂，從而和函數(shù)在可微。（定理3）習 題10-11一塊金屬板平底鍋在平面上占據(jù)的區(qū)域是, 已知板上點處的溫度為.鍋底上點處的螞蟻為了逃向溫度更低的地方, 它的逃逸方向為( D ).； ； ； .解：，而梯度方向是溫度降低最快的方向2一個高為的柱體儲油罐，底面是長軸為，短軸為的橢圓，現(xiàn)將儲油罐平放，當油罐中油面高度為時，計算油的質量。（長度單位為m，質量為kg，油的密度為常數(shù)）.解：儲油罐平放一般指長軸平行與地面，當油罐中油面高度為時，垂直地面的截面面積為（平方米）所以4 在一個形狀為旋轉拋物面的容器內，已經盛有的水，現(xiàn)又倒入的水，問水面比原來升高多少.解：旋轉拋物面容器的體積是深度的函數(shù)，從而，所以題中水面升高的高度為習 題10-31. 設，證明：（1）當時，；證明：取，則，所以為上的嚴格凸函數(shù)，從而對，由定理6.2.3，恒有，即所以（2）當或時， 證明：取，則，所以為上的嚴格凸函數(shù)，從而對，由定理6.2.3，恒有，即2. 設 證明: 證明：令，利用單調性可證（略）