A級(jí)基礎(chǔ)通關(guān)一、選擇題1(2019·北京卷)下列函數(shù)中，在區(qū)間(0，)上單調(diào)遞增的是()AyxBy2xCylogx Dy解析：易知y2x與ylogx，在(0，)上是減函數(shù)，由冪函數(shù)性質(zhì)，y在(0，)上遞減，yx在(0，)上遞增答案：A2已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足當(dāng)x0時(shí)，f(x)2x2x4，則f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是()A2B3C4D5解析：由于函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，故f(0)0.由于f ·f(2)0，而函數(shù)f(x)在(0，)上單調(diào)遞增，故當(dāng)x0時(shí)有1個(gè)零點(diǎn)，根據(jù)奇函數(shù)的對(duì)稱性可知，當(dāng)x0時(shí)，也有1個(gè)零點(diǎn)故一共有3個(gè)零點(diǎn)答案：B3(2018·天津卷)已知alog2e，bln 2，clog，則a，b，c的大小關(guān)系是()Aabc BbacCcba Dcab解析：cloglog23，alog2e，由ylog2x在(0，)上是增函數(shù)，知ca1.又bln 21，故cab.答案：D4若函數(shù)ya|x|(a0，且a1)的值域?yàn)閥|y1，則函數(shù)yloga|x|的圖象大致是()解析：由于ya|x|的值域?yàn)閥|y1，所以a1，則ylogax在(0，)上是增函數(shù)，又函數(shù)yloga|x|的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱因此yloga|x|的圖象大致為選項(xiàng)B.答案：B5(2019·衡水質(zhì)檢)若函數(shù)f(x)|logax|3x(a0，a1)的兩個(gè)零點(diǎn)是m，n，則()Amn1 Bmn1Cmn1 D無法判斷解析：令f(x)0，得|logax|，則y|logax|與y的圖象有2個(gè)交點(diǎn)，不妨設(shè)a1，mn，作出兩函數(shù)的圖象(如圖)所以，即logamlogan，所以loga(mn)0，則mn1.答案：C6(2018·全國卷)設(shè)alog0.20.3，blog20.3，則()Aabab0 Babab0Cab0ab Dab0ab解析：由alog0.20.3得log0.30.2，由blog20.3得log0.32.所以log0.30.2log0.32log0.30.4，則01，即01.又a0，b0，知ab0，所以abab0.答案：B二、填空題7(2018·全國卷)函數(shù)f(x)cos在0，的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為_解析：由題意知，cos(3x)0，所以3xk，kZ，所以x，kZ，當(dāng)k0時(shí)，x；當(dāng)k1時(shí)，x；當(dāng)k2時(shí)，x，均滿足題意，所以函數(shù)f(x)在0，的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3.答案：38將甲桶中的a升水緩慢注入空桶乙中，t min后甲桶剩余的水量符合指數(shù)衰減曲線yaent.假設(shè)過5 min后甲桶和乙桶的水量相等，若再過m min甲桶中的水只有升，則m的值為_解析：因?yàn)? min后甲桶和乙桶的水量相等，所以函數(shù)yf(t)aent滿足f(5)ae5na，可得nln ，所以f(t)a·，因此，當(dāng)k min后甲桶中的水只有 L時(shí)，f(k)a·a，即，所以k10，由題可知mk55.答案：59設(shè)函數(shù)f(x)ln(x21)，則不等式f(2x)f(x1)的解集為_解析：依題意ln(2x)21ln(x1)21所以4x2(x1)2，解之得x1或x.答案：(1，)三、解答題10經(jīng)測(cè)算，某型號(hào)汽車在勻速行駛過程中每小時(shí)耗油量y(單位：升)與速度x(單位：千米/時(shí))(50x120)的關(guān)系可近似表示為：y(1)該型號(hào)汽車速度為多少時(shí)，可使得每小時(shí)耗油量最低？(2)已知A，B兩地相距120千米，假定該型號(hào)汽車勻速從A地駛向B地，則汽車速度為多少時(shí)總耗油量最少？解：(1)當(dāng)x50，80)時(shí)，y(x2130x4 900)(x65)2675，當(dāng)x65時(shí)，y有最小值×6759.當(dāng)x80，120時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，故當(dāng)x120時(shí)，y有最小值10.因?yàn)?10，故當(dāng)x65時(shí)每小時(shí)耗油量最低(2)設(shè)總耗油量為l，由題意可知ly·.當(dāng)x50，80)時(shí)，ly·(2130)16，當(dāng)且僅當(dāng)x，即x70時(shí)，l取得最小值16.當(dāng)x80，120時(shí)，ly·2為減函數(shù)，當(dāng)x120時(shí)，l取得最小值10.因?yàn)?016，所以當(dāng)速度為120千米/時(shí)時(shí)，總耗油量最少B級(jí)能力提升11已知函數(shù)f(x)若方程f(x)ax有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍是_解析：在同一坐標(biāo)系內(nèi)，作函數(shù)yf(x)與yax的圖象，當(dāng)yax是yln x的切線時(shí)，設(shè)切點(diǎn)P(x0，y0)，所以y0ln x0，a(ln x)|xx0，所以y0ax01ln x0，x0e，故a.故yax與yf(x)的圖象有三個(gè)交點(diǎn)時(shí)，0a.答案：12(2018·江蘇卷節(jié)選)記f(x)，g(x)分別為函數(shù)f(x)，g(x)的導(dǎo)函數(shù)若存在x0R，滿足f(x0)g(x0)且f(x0)g(x0)，則稱x0為函數(shù)f(x)與g(x)的一個(gè)“S點(diǎn)”(1)證明：函數(shù)f(x)x與g(x)x22x2不存在“S點(diǎn)”；(2)若函數(shù)f(x)ax21與g(x)ln x存在“S點(diǎn)”，求實(shí)數(shù)a的值(1)證明：函數(shù)f(x)x，g(x)x22x2，則f(x)1，g(x)2x2.由f(x)g(x)且f(x)g(x)，得此方程組無解，因此，f(x)與g(x)不存在“S點(diǎn)”(2)解：函數(shù)f(x)ax21，g(x)ln x，則f(x)2ax，g(x).設(shè)x0為f(x)與g(x)的“S點(diǎn)”，由f(x0)g(x0)且f(x0)g(x0)，得即(*)得ln x0，即x0e，則a.當(dāng)a時(shí)，x0e滿足方程組(*)，即x0為f(x)與g(x)的“S點(diǎn)”因此，a的值為.