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湖南大學(xué)本科課程《隨機(jī)過程》習(xí)題集 主講教師：何松華 教授 第一章：概述及概率論復(fù)習(xí) 1.1 設(shè)一批產(chǎn)品共50個(gè)，其中45個(gè)合格，5個(gè)為次品，從這一批產(chǎn)品中任意抽取3個(gè)，求其中有次品的概率。 1.2 設(shè)一批零件共100個(gè)，次品率為10%，每次從其中任取一個(gè)零件，取出的零件不再放回，求第3次才取得合格品的概率。 1.3 設(shè)一袋中有N個(gè)球，其中有M個(gè)紅球，甲、乙兩人先后各從袋中取出一個(gè)球，求乙取得紅球的概率(甲取出的球不放回)。 1.4 設(shè)一批產(chǎn)品有N個(gè)，其中有M個(gè)次品，每次從其中任取一個(gè)來檢查，取出后再放回，求連續(xù)n次取得合格品的概率。 1.5設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布函數(shù)為連續(xù)的，且 其中l(wèi)0為常數(shù)，求常數(shù)A、B的值。 1.6設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為 (1) 求系數(shù)A、B；(2)求隨機(jī)變量落在(-1,1)內(nèi)的概率；(3)求其概率密度函數(shù)。 1.7已知二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度分布函數(shù)為 (1)求條件概率密度函數(shù)、；(2)問X、Y是否相互獨(dú)立？ 1.8已知隨機(jī)變量X的概率密度分布函數(shù)為 隨機(jī)變量Y與X的關(guān)系為 Y=cX+b，其中c，b為常數(shù)。求Y的概率密度分布函數(shù)。 1.9設(shè)X、Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，其概率密度分布函數(shù)分別為 ， 求隨機(jī)變量Z=X+Y的概率密度分布函數(shù)。 1.10設(shè)隨機(jī)變量Y與X的關(guān)系為對(duì)數(shù)關(guān)系，Y=ln(X)，隨機(jī)變量Y服從均值為mY、標(biāo)準(zhǔn)差為sY的正態(tài)分布，求X的概率密度分布。 1.11隨機(jī)變量X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，求隨機(jī)變量(n為正整數(shù))的數(shù)學(xué)期望及方差。 1.12隨機(jī)變量X服從均值為mX、標(biāo)準(zhǔn)差為sX的正態(tài)分布，X通過雙向平方率檢波器，Y=cX2(c>0)，求Y的概率密度分布。 1.13設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度分布函數(shù)為 (1) 求系數(shù)A，(2)求數(shù)學(xué)期望E[X]、E[Y]，方差D[X]、D[Y]；(3)求X、Y的相關(guān)函數(shù)及相關(guān)系數(shù)。 1.14設(shè)X為拉譜拉斯隨機(jī)變量，；求：(1)X的特征函數(shù)，(2)利用特征函數(shù)求X的均值與方差，(3)討論特征函數(shù)實(shí)部與虛部的奇偶性。 第二章：隨機(jī)過程的基本概念 2.1某公共汽車站停放著兩輛公共汽車A、B，從t=1s開始，每隔1s有一名乘客到達(dá)車站。如果每名乘客以概率1/2登上A車，以概率1/2登上B車，各乘客登上哪輛車是相互獨(dú)立的，用Xj表示第j秒到達(dá)的乘客的登車狀態(tài)，即登上A車則Xj=1，登上B車則Xj=0；設(shè)t=n時(shí)A車上的乘客數(shù)為Yn。(1)求離散時(shí)間隨機(jī)過程Yn的一維概率分布率；(2)當(dāng)公共汽車A上的乘客達(dá)到10個(gè)時(shí)，A即開車，求A車出發(fā)時(shí)刻n的概率分布。 2.2一個(gè)正弦振蕩器，由于元器件的熱噪聲和電路分布參數(shù)變化的影響，其輸出的正弦波可以看作一個(gè)隨機(jī)過程，其中A、W、j為相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且 ，， 求隨機(jī)過程X(t)的一維概率密度分布函數(shù)。 2.3用一枚硬幣擲1次的試驗(yàn)定義一個(gè)隨機(jī)過程 設(shè)“出現(xiàn)正面”和“出現(xiàn)反面”的概率各為1/2。(1) 確定X(t)的一維分布函數(shù)FX(x,1/2)、FX(x,1)；(2) 確定X(t)的二維分布函數(shù)FX(x1, x2;1/2,1)；(3)畫出上述分布函數(shù)的圖形。 2.4設(shè)隨機(jī)過程，其中w>0為常數(shù)，X、Y為相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，概率密度分布函數(shù)分別為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布(即均值為0，標(biāo)準(zhǔn)差為1)。若將Z(t)寫成，(1)求隨機(jī)變量V、F的概率密度分布函數(shù)及聯(lián)合概率密度分布函數(shù)，問二者是否統(tǒng)計(jì)獨(dú)立？(2)求隨機(jī)過程的一維概率密度分布函數(shù)。 2.5求4題所給出的隨機(jī)過程的均值及相關(guān)函數(shù)，并判斷該隨機(jī)過程是否為廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程。 2.6設(shè)某信號(hào)源每T(s)產(chǎn)生一個(gè)幅度為A的方波脈沖，脈沖寬度X為均勻分布于[0,T]的隨機(jī)變量。這樣構(gòu)成一個(gè)隨機(jī)過程Y(t)(0t<)。設(shè)不同的脈沖是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的，求隨機(jī)過程Y(t)的一維概率密度分布函數(shù)。 2.7設(shè)隨機(jī)過程X(t)=Ycos(t) (-t2>t1，有 4.17 (與第3章第26題重復(fù))。 4.18設(shè)有二維隨機(jī)矢量[X1,X2]，其概率密度為 在橢圓 上概率密度為常數(shù)，稱該橢圓為等概率橢圓，求隨機(jī)矢量落在等概率橢圓內(nèi)的概率。 4.19設(shè)n維隨機(jī)矢量X=[X1,X2,…,Xn]服從聯(lián)合高斯分布，各個(gè)分量相互獨(dú)立，且均值為0，隨機(jī)矢量的協(xié)方差矩陣為 求其N維特征函數(shù) 4.20 (接上題)若各個(gè)分量的之間的協(xié)方差為 設(shè)另一隨機(jī)變量Y為，求Y的特征函數(shù) 4.21設(shè)3維高斯隨機(jī)矢量X=[X1,X2,X3]各個(gè)分量的均值為0，其協(xié)方差矩陣的元素值為kij(i,j=1,2,3),且k11=k22=k33=s2；求(1) ，(2) ，(3) 4.22設(shè)3維高斯隨機(jī)矢量X=[X1,X2,X3]的概率密度為 (1) 證明經(jīng)過線性變換 得到的隨機(jī)矢量Y=[Y1,Y2,Y3]，則Y1,Y2,Y3是相互統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的隨機(jī)變量；(2)求C的值。 4.23設(shè)X1、X2是相互獨(dú)立的零均值、單位方差高斯隨機(jī)變量，定義二維隨機(jī)矢量Y 證明：(1)Y1、Y2都是高斯分布的，(2)Y不是聯(lián)合高斯分布的。 4.24設(shè)某一線性系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)為 (a>0) 輸入N(t)為零均值白色噪聲，功率譜密度為N0/2，輸出為X(t)；，假設(shè)輸入從-開始，求Y(t)的一維概率密度函數(shù)。 4.25設(shè)隨機(jī)變量X、Y是聯(lián)合高斯隨機(jī)變量，且具有邊緣概率密度、，，，；證明： 4.26設(shè)零均值高斯隨機(jī)過程X(t)的相關(guān)函數(shù)為，對(duì)其進(jìn)行量化處理，得到時(shí)間連續(xù)但取值離散的隨機(jī)過程Y(t)，即 (1)求Y(t)的均值函數(shù)；(2)求Y(t)的一維概率密度函數(shù)。 4.27設(shè)線性系統(tǒng)的輸入過程X(t)為零均值高斯隨機(jī)過程，相關(guān)函數(shù)為(a>0)，系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為 (b>0,ba) X(t)是在t=-接入系統(tǒng)的，(1)求在t=0時(shí)輸出Y(0)大于y的概率；(2)如果在t=-T時(shí)，X(-T)=0，求條件概率(T>0)；(3) 如果在t=T時(shí)，觀察到X(T)=0，求條件概率(T>0)。 4.28 設(shè)有平穩(wěn)高斯隨機(jī)過程X(t)，其均值為0，功率譜密度函數(shù)為 求：(1)該過程在單位時(shí)間內(nèi)取得極大值的平均次數(shù)；(2)極大值的概率密度分布；(3)該過程在單位時(shí)間內(nèi)正穿越X=a(從水平線X=a的下方向上穿過)的次數(shù)。 4.29設(shè)有平穩(wěn)實(shí)高斯過程X(t)，均值為0，相關(guān)函數(shù)為RX(t)，該過程依均方意義可導(dǎo)，其導(dǎo)數(shù)過程為，求在t1,t2兩個(gè)時(shí)刻,,,的四維概率密度。 4.30設(shè)X(n)為均值為0、方差為s2的離散白噪聲，通過一個(gè)單位脈沖響應(yīng)為h(n)的線性時(shí)不變離散時(shí)間線性系統(tǒng)，Y(n)為其輸出，試證： ， 4.31均值為0、方差為s2的離散白噪聲X(n)通過單位脈沖響應(yīng)分別為h1(n)=anu(n)以及h2(n)=bnu(n)的級(jí)聯(lián)系統(tǒng)(|a|<1,|b|<1)，輸出為W(n)，求sW2。 4.32設(shè)離散系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為，輸入為自相關(guān)函數(shù)為的白噪聲，求系統(tǒng)輸出Y(n)的自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度。 4.33序列X(n)和Y(n)滿足差分方程 其中a為整常數(shù)，試用X(n)的相關(guān)函數(shù)表示Y(n)的相關(guān)函數(shù)。 4.34實(shí)值一階自回歸過程X(n)滿足差分方程 其中a1為常數(shù)，V(n)為方差為s2的白噪聲，輸入從n=0開始，。 (1)證明：若V(n)均值非零，則X(n)非平穩(wěn)；(2)證明：若V(n)均值為零、|a1|<1，則當(dāng)n足夠大時(shí)，；(3)若V(n)均值為零，|a1|<1，求X(n)的自相關(guān)函數(shù)的平穩(wěn)解。 4.35考察如下的二階自回歸過程X(n) (1)若已知隨機(jī)過程的相關(guān)函數(shù)值、、，試寫出用于計(jì)算系數(shù)a1,a2以及零均值白色噪聲的方差的Yule-Walker方程；(2)反過來，若已知a1= -1,a2=0.5, ，求、、的值；(3)求相關(guān)函數(shù)的通解。 4.36察如下的二階自回歸過程X(n) 零均值白色噪聲的方差為，；求：(1)X(n)的功率譜密度；(2)根據(jù)Wold分解求X(n)的自相關(guān)函數(shù)；(3)求Yule-Walker方程 4.37考察如下的二階MA模型，輸入X(n)的功率譜密度為，求Y(n)的自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度。 4.38考察如下的ARMA模型 其中V(n)為零均值、單位方差離散白色噪聲，求X(n)的自相關(guān)函數(shù)。 第五章：窄帶隨機(jī)過程 5.1證明：偶函數(shù)的希爾伯特變換為奇函數(shù)，奇函數(shù)的希爾伯特變換為偶函數(shù)。 5.2設(shè)一個(gè)線性系統(tǒng)的輸入為時(shí)，相應(yīng)的輸出為，證明：若該系統(tǒng)的輸入為的希爾伯特，則其輸出為的希爾伯特。 5.3設(shè)功率譜密度為的零均值高斯白噪聲通過一個(gè)理想帶通濾波器，此濾波器的增益為1，中心頻率為，帶寬為（），濾波器輸出為，求的自相關(guān)函數(shù)以及其同相分量與正交分量的自相關(guān)函數(shù)。 5.4設(shè)與為低頻信號(hào)，即當(dāng)時(shí)，其頻譜值為0，，證明 5.5證明廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程與其希爾伯特的相關(guān)函數(shù)存在如下關(guān)系 ， ，為奇函數(shù) 5.6設(shè)的解釋信號(hào)(復(fù)信號(hào)表示)為，證明： 并用的功率譜密度函數(shù)來表示的功率譜密度函數(shù)。 5.7在復(fù)隨機(jī)過程中，如果其均值為復(fù)常數(shù)，且其自相關(guān)函數(shù)為僅與有關(guān)的復(fù)函數(shù)，則稱為復(fù)平穩(wěn)隨機(jī)過程，設(shè)是個(gè)實(shí)隨機(jī)變量，是個(gè)實(shí)數(shù)。試問：以及之間應(yīng)滿足什么條件，才能使是一個(gè)復(fù)平穩(wěn)隨機(jī)過程。 5.8考慮窄帶高斯過程，假定其物理功率譜密度對(duì)稱于載頻，求概率密度。 5.9設(shè)復(fù)隨機(jī)過程為，其中、為相互獨(dú)立的零均值實(shí)隨機(jī)變量，，對(duì)于任意的，、以及、相互正交，求該復(fù)隨機(jī)過程的自相關(guān)函數(shù)。 5.10設(shè)窄帶信號(hào)的物理帶寬為()，證明其復(fù)包絡(luò)模平方的物理帶寬為()。 5.11設(shè)窄帶平穩(wěn)隨機(jī)過程，證明： 5.12對(duì)于調(diào)頻信號(hào)，設(shè)，即為窄帶信號(hào)，求該信號(hào)的復(fù)包絡(luò)與包絡(luò)的表示式。 5.13設(shè)窄帶平穩(wěn)隨機(jī)過程，證明其自相關(guān)函數(shù)為 5.14設(shè)窄帶平穩(wěn)隨機(jī)過程，若滿足： 證明的功率譜密度為 5.15將相關(guān)函數(shù)為的窄帶平穩(wěn)隨機(jī)過程表示為 試在(1) ，(2) 的條件下，分別求出相關(guān)函數(shù)、以及。 5.16考慮隨機(jī)相位正弦波與窄帶平穩(wěn)實(shí)高斯隨機(jī)過程之和 其中、為常數(shù)，為窄帶實(shí)平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度的中心頻率，為上均勻分布的隨機(jī)變量，、，并假設(shè)、相互獨(dú)立； (1)對(duì)每一個(gè)固定的值，求的均值和相關(guān)函數(shù)，判斷是否為高斯過程以及平穩(wěn)過程；(2)當(dāng)為上均勻分布的隨機(jī)變量時(shí)，求的均值和相關(guān)函數(shù)，判斷是否為高斯過程以及平穩(wěn)過程。 5.17考慮圖示RLC帶通濾波器，設(shè)其品質(zhì)因素，輸入是功率譜密度為的零均值高斯白噪聲，求濾波器輸出端的窄帶過程及其同相分量、正交分量的功率譜密度、、，并以圖示之。 5.18設(shè)為窄帶平穩(wěn)高斯平穩(wěn)隨機(jī)過程的包絡(luò)，試證： 、 其中為該窄帶隨機(jī)過程的方差。 5.19設(shè)窄帶信號(hào)，其中為高斯過程，為[]上均勻分布隨機(jī)變量，且 證明的包絡(luò)平方的相關(guān)函數(shù)為 5.20變量為卡方分布變量的的平方根，證明n個(gè)自由度的變量的概率密度為 5.21證明n個(gè)自由度的卡方分布變量的m階原點(diǎn)矩為 第六章：隨機(jī)過程的非線性變換 6.1給定實(shí)數(shù)和一個(gè)平穩(wěn)隨機(jī)過程，定義理想門限系統(tǒng)的特性為 試證：(1) ；(2) 6.2設(shè)平方律檢波器的傳輸特性為，在檢波器輸入端加入一窄帶高斯隨機(jī)過程，其概率密度函數(shù)為 在檢波器后聯(lián)接一個(gè)理想低通濾波器，求低通濾波器輸出過程的一維概率密度和均值；當(dāng)時(shí)結(jié)果有何變化。 6.3設(shè)對(duì)稱限幅器的特性為 (1)已知輸入隨機(jī)過程的一維概率密度，求輸出隨機(jī)過程的一維概率密度。(2)當(dāng)輸入隨機(jī)過程為零均值平穩(wěn)高斯過程、自相關(guān)函數(shù)為時(shí)，求輸出過程的相關(guān)函數(shù)。 6.4設(shè)有理想限幅器 假定輸入為零均值平穩(wěn)高斯隨機(jī)過程。(1)求的一維概率密度和均值；(2)用Price定理證明：。 6.5設(shè)有零均值高斯平穩(wěn)隨機(jī)過程，其自相關(guān)函數(shù)為，它的一維概率分布函數(shù)為，定義一個(gè)無記憶非線性系統(tǒng)，試用Price定理證明的相關(guān)函數(shù)為 6.6平方律檢波器的傳輸特性為，在檢波器輸入端加入一零均值平穩(wěn)高斯隨機(jī)過程，其方差為，相關(guān)函數(shù)為，求檢波器輸出過程的一維概率密度、均值及相關(guān)函數(shù)。 6.7全波線性檢波器的傳輸特性為，在檢波器輸入端加入一零均值平穩(wěn)高斯隨機(jī)過程，其方差為，相關(guān)函數(shù)為，(1)求檢波器輸出過程的一維概率密度、均值；(2)用Price定理求輸出過程的相關(guān)函數(shù)及方差。 6.8半波線性檢波器的傳輸特性為 在檢波器輸入端加入一零均值平穩(wěn)高斯隨機(jī)過程，其方差為，相關(guān)函數(shù)為，(1)求檢波器輸出過程的一維概率密度、均值；(2)用Price定理求輸出過程的相關(guān)函數(shù)及方差。 6.9圖示非線性系統(tǒng)。輸入為零均值、功率譜密度為的高斯白噪聲，求輸出隨機(jī)過程的自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度。 6.10設(shè)隨機(jī)變量和是零均值、方差為的聯(lián)合高斯隨機(jī)變量，其概率密度分布函數(shù)分別為和，且，證明： 6.11設(shè)功率譜密度為的白噪聲通過一個(gè)物理帶寬為的理想低通濾波器，在低通濾波器后接一個(gè)傳輸特性為的平方律檢波器，求檢波器輸出隨機(jī)信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度，并將功率譜密度函數(shù)用圖表示。 6.12設(shè)為均值為、相關(guān)函數(shù)為的平穩(wěn)高斯過程，將其加入到模型為 的理想限幅器輸入端，求限幅器輸出過程的自相關(guān)函數(shù)。 6.13平方律檢波器的傳輸特性為，在檢波器輸入端加入一窄帶隨機(jī)信號(hào)，其中包絡(luò)服從瑞利分布 求檢波器輸出過程的一維概率密度、均值和方差。 6.14同步檢波器如下圖所示，設(shè)為窄帶平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)，其相關(guān)函數(shù)為 求檢波器輸出端的相關(guān)函數(shù)及平均功率。 6.15設(shè)全波線性檢波器的傳輸特性為，檢波器的輸入為，其中為直流電平信號(hào)，為零均值平穩(wěn)高斯隨機(jī)過程，其方差為，求檢波器輸入、輸出端的信噪比(考慮高信噪比情況)。 第七章：馬爾可夫過程 7.1設(shè)由獨(dú)立隨機(jī)序列構(gòu)成一個(gè)新的序列，且定義為 試證明隨機(jī)序列為馬爾可夫序列。 7.2設(shè)為馬爾可夫過程，又設(shè)，試證明 即一個(gè)馬爾可夫過程的反向也具有馬爾可夫性。 7.3試證明對(duì)于任何一個(gè)馬爾可夫過程，如果“現(xiàn)在”的值為已知，則該過程的“過去”和“將來”是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的，即如果，其中代表“現(xiàn)在”，、代表“過去”和“將來”，若為已知，試證明 7.4設(shè)齊次馬爾可夫鏈有四個(gè)狀態(tài)、、、，其轉(zhuǎn)移概率矩陣為 (1)如果該鏈在第n時(shí)刻處于狀態(tài)，求在n+2時(shí)刻處于狀態(tài)的概率；(2) 如果該鏈在第n時(shí)刻處于狀態(tài)，求在n+3時(shí)刻處于狀態(tài)的概率。 7.5為馬爾可夫過程，又設(shè)，試證明 7.6一個(gè)質(zhì)點(diǎn)沿標(biāo)有整數(shù)的直線移動(dòng)，經(jīng)過一步從點(diǎn)移動(dòng)到的概率為，停止在點(diǎn)的概率為，移動(dòng)到的概率為，且。(1)求該馬爾可夫過程的一步轉(zhuǎn)移概率矩陣以及二步轉(zhuǎn)移概率矩陣；(2)若該質(zhì)點(diǎn)在n時(shí)刻位于點(diǎn)，求該質(zhì)點(diǎn)在n+2時(shí)刻位于各點(diǎn)的概率。 7.7若質(zhì)點(diǎn)M在(0,1,2)三個(gè)位置隨機(jī)徘徊，每經(jīng)一單位時(shí)間按下列概率規(guī)則改變一次位置：自0出發(fā)，下一步停留在0的概率為q，來到1的概率為p；自1出發(fā)到達(dá)0,2的概率分別為p和q；自2出發(fā)停留在2及到達(dá)1的概率分別為p和q。該馬爾可夫過程的一步轉(zhuǎn)移概率矩陣以及二步轉(zhuǎn)移概率矩陣。 7.8若質(zhì)點(diǎn)M在圖示的反射壁間四個(gè)位置上隨機(jī)游動(dòng)，在處向右移動(dòng)一步的概率為1；在處向左移動(dòng)一步的概率為1；在、處向左或向右移動(dòng)一步的概率為1/4、停留的概率為1/2，試求在平穩(wěn)情況下，質(zhì)點(diǎn)處于各狀態(tài)的概率。 7.9設(shè)為相互統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的零均值隨機(jī)變量構(gòu)成的序列，各自的概率密度分布函數(shù)分別為，定義另外一個(gè)隨機(jī)變量序列{}如下 試證明：(1) 序列{}具有馬爾可夫性 (2) 7.10設(shè)齊次馬爾可夫鏈的一步轉(zhuǎn)移矩陣為，請(qǐng)應(yīng)用該過程的遍歷性證明： 7.11從1，2，3，4，5，6六個(gè)數(shù)中等可能地取一個(gè)數(shù)，然后還原，不斷獨(dú)立地連續(xù)下去，如果在前n次中所取的最大數(shù)為，就說質(zhì)點(diǎn)在第n步時(shí)的位置處于狀態(tài)。質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)構(gòu)成馬爾可夫鏈，試寫出其轉(zhuǎn)移概率矩陣。 7.12設(shè)有隨機(jī)過程X(n)，n=1,2,3,…；它的狀態(tài)空間I：{x,00} X(1),X(2),…,X(m)的聯(lián)合概率密度函數(shù)為 (1)求邊際概率密度分布、；(2)求邊際概率密度 ；(3)求轉(zhuǎn)移概率密度，并問該過程是否為馬爾可夫過程。 7.16三個(gè)黑球與三個(gè)白球，將這6個(gè)球任意等分兩個(gè)袋中，并將甲袋中的白球數(shù)定義為隨機(jī)過程的狀態(tài)，則有四種狀態(tài)：0，1，2，3；現(xiàn)每次從甲、乙袋中各取一球，然后相互交換，經(jīng)過n次交換，過程的狀態(tài)為X(n)，n=1,2,3，…； (1)該過程是否為馬爾可夫鏈；(2)計(jì)算其一步轉(zhuǎn)移概率矩陣；(3)該鏈的平穩(wěn)分布是否存在，為什么？若存在，求其平穩(wěn)分布；(4)若X(0)=0，求經(jīng)過三次交換后甲袋中有三個(gè)白球的概率。 7.17設(shè){X(n)}是一馬爾可夫鏈，其狀態(tài)空間為I：{0,1,2}，初始狀態(tài)概率分布為 一步轉(zhuǎn)移概率矩陣為 (1)計(jì)算概率；(2)計(jì)算 7.18設(shè)有馬爾可夫鏈，它的狀態(tài)空間為I：{0，1，2}，它的一步轉(zhuǎn)移概率矩陣為 (1)試求，并證明； (2)求，。 7.19設(shè){X(n)}是一馬爾可夫鏈，其狀態(tài)空間為I：{0,1}，其一步轉(zhuǎn)移概率矩陣為 證明： 7.20天氣預(yù)報(bào)問題。假設(shè)今日是否下雨依賴于前3天是否有雨，請(qǐng)將這一問題歸結(jié)為馬爾可夫鏈。如果過去一連3天有雨，今天有雨的概率為0.8，連續(xù)3天為晴，今天有雨的概率為0.2；在其他天氣情況下，今日的天氣與昨日相同的概率為0.6，求這個(gè)馬爾可夫鏈的轉(zhuǎn)移矩陣。 7.21設(shè){}為馬爾可夫鏈，其狀態(tài)空間，轉(zhuǎn)移矩陣為 (1)求 (2)求 7.22設(shè){}為馬爾可夫鏈，其狀態(tài)空間，轉(zhuǎn)移概率矩陣為 ，求其閉集。 7.23確定下列馬爾可夫鏈的狀態(tài)分類，哪些屬于常返的，哪些屬于非常返的。其一步轉(zhuǎn)移概率矩陣分別為。 (1) ；(2) ； (4) ；(5) 7.24設(shè)為具有比率為的泊松記數(shù)過程，其相應(yīng)的概率分布為 試求該過程的特征函數(shù)，并根據(jù)特征函數(shù)求其均值、方差。 7.25設(shè)為具有比率為的泊松記數(shù)過程，以如下方式產(chǎn)生一個(gè)新的隨機(jī)過程，，在過程中，每發(fā)生一事件，就變化一隨機(jī)數(shù)量，對(duì)應(yīng)第n次事件的隨機(jī)變量為，并且對(duì)應(yīng)不同的事件，這些變化之間以及與間是相互獨(dú)立的，這樣 假設(shè)每個(gè)隨機(jī)變量具有相同的概率密度函數(shù)，對(duì)應(yīng)的均值、均方值分別為、，試求該過程的特征函數(shù)，并根據(jù)特征函數(shù)求其均值、方差。 7.26設(shè)與是兩個(gè)相互獨(dú)立的、比率分別為和的泊松過程 (1)證明是比率為的泊松過程； (2)證明不是泊松過程 7.27設(shè)在時(shí)間t內(nèi)向電話總機(jī)呼喚k次的概率為，其中為常數(shù)，在任意相鄰的時(shí)間間隔內(nèi)的呼喚次數(shù)是相互獨(dú)立的，求在2t時(shí)間內(nèi)呼喚n次的概率。 7.28設(shè)、、…、是相互獨(dú)立、分別服從參數(shù)為、、…、的泊松分布隨機(jī)變量，證明隨機(jī)變量服從參數(shù)為的泊松分布。 7.29電子管中的電子發(fā)射問題。設(shè)單位時(shí)間內(nèi)到達(dá)陽極的電子數(shù)目N服從泊松分布，即，每個(gè)電子攜帶的能量構(gòu)成隨機(jī)序列、、…、；已知各間相互獨(dú)立且與N相互獨(dú)立，、；，求均值與方差。 7.30給定一個(gè)隨機(jī)過程的任意兩個(gè)時(shí)刻和，若對(duì)于任意時(shí)刻，與統(tǒng)計(jì)獨(dú)立，試證明為馬爾可夫過程。 7.31多級(jí)單調(diào)諧電流放大器的頻率響應(yīng)特性為 其輸入端接入電流，為電子的電荷，已知泊松脈沖序列 的相關(guān)函數(shù)為，如果中頻放大器輸出電流的均值和方差都可以測出，求輸入脈沖列每秒的平均個(gè)數(shù)。 7.32已知為泊松過程，如果，且和為非負(fù)整數(shù)，證明： 7.33一質(zhì)點(diǎn)沿圓周運(yùn)動(dòng)，圓周按順時(shí)針等距排列3個(gè)點(diǎn)(0,1,2)將圓周分成3格，質(zhì)點(diǎn)每次移動(dòng)或順時(shí)針或逆時(shí)針移動(dòng)一格，順時(shí)針前進(jìn)一格的概率為，逆時(shí)針退一格的概率為。設(shè)代表質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過n次游動(dòng)后所處的位置，為齊次馬爾可夫鏈。試求：(1)一步轉(zhuǎn)移概率矩陣，(2)極限概率分布。 7.34一質(zhì)點(diǎn)沿圓周運(yùn)動(dòng)，圓周按順時(shí)針等距排列5個(gè)點(diǎn)(0,1,2,3,4)將圓周分成5格，質(zhì)點(diǎn)每次移動(dòng)或順時(shí)針或逆時(shí)針移動(dòng)一格，順時(shí)針前進(jìn)一格的概率為，逆時(shí)針退一格的概率為。設(shè)代表質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過n次游動(dòng)后所處的位置，為齊次馬爾可夫鏈。試求：(1)一步轉(zhuǎn)移概率矩陣，(2)極限概率分布。