第五章三角函數(shù)、解三角形第21課 任意角、弧度制及任意角的三角函數(shù)最新考綱內(nèi)容要求ABC三角函數(shù)的概念1.角的概念的推廣(1)定義：角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所成的圖形(2)分類(3)終邊相同的角：所有與角終邊相同的角，連同角在內(nèi)，可構(gòu)成一個集合S|k·360°，kZ2.弧度制的定義和公式(1)定義：把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫作1弧度的角，弧度記作rad.(2)公式：角度與弧度的換算：a.1° rad；b.1 rad°.弧長公式：lr|.扇形面積公式：Slrr2.3.任意角的三角函數(shù)三角函數(shù)正弦余弦正切定義設(shè)是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x，y)，那么y叫作的正弦，記作sin x叫作的余弦，記作cos 叫作的正切，記作tan 各象限符號三角函數(shù)線有向線段MP為正弦線有向線段OM為余弦線有向線段AT為正切線1.(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯誤的打“×”)(1)小于90°的角是銳角()(2)銳角是第一象限角，反之亦然()(3)角的三角函數(shù)值與終邊上點(diǎn)P的位置無關(guān)()(4)若為第一象限角，則sin cos 1.()答案(1)×(2)×(3)(4)2.(教材改編)已知角的終邊與單位圓的交點(diǎn)為M，則sin _.±由題意知|r|22y21，所以y±.由三角函數(shù)定義知sin y±.3.若cos 0，且sin 20，則角的終邊在第_象限四由cos >0，sin 22sin cos 0得sin 0，則角的終邊在第四象限4.在單位圓中，200°的圓心角所對的弧長為_單位圓的半徑r1,200°的弧度數(shù)是200×，由弧度數(shù)的定義得，所以l.5.已知半徑為120 mm的圓上，有一條弧長是144 mm，則該弧所對的圓心角的弧度數(shù)為_rad.1.2由題意知1.2 rad.角的有關(guān)概念及其集合表示(1)若角是第二象限角，則是第_象限角. 【導(dǎo)學(xué)號：62172118】(2)已知角的終邊在如圖21­1所示陰影部分表示的范圍內(nèi)(不包括邊界)，則角用集合可表示為_圖21­1(1)一或三(2)(kZ)(1)是第二象限角，2k2k，kZ，kk，kZ.當(dāng)k為偶數(shù)時，是第一象限角；當(dāng)k為奇數(shù)時，是第三象限角綜上，是第一或第三象限角(2)在0,2)內(nèi)，終邊落在陰影部分角的集合為，所求角的集合為(kZ)規(guī)律方法1.與角終邊相同的角可以表示為2k(kZ)的形式，是任意角；相等的角終邊一定相同，終邊相同的角不一定相等；角度制與弧度制不能混用2由所在象限，判定所在象限，應(yīng)先確定的范圍，并對整數(shù)k的奇、偶情況進(jìn)行討論變式訓(xùn)練1已知角45°，在區(qū)間720°，0°內(nèi)與角有相同終邊的角_.675°或315°由終邊相同的角的關(guān)系知k·360°45°，kZ，取k2，1，得675°或315°.扇形的弧長、面積公式(1)已知扇形周長為10，面積是4，求扇形的圓心角；(2)已知扇形周長為40，當(dāng)它的半徑和圓心角分別取何值時，扇形的面積最大？ 【導(dǎo)學(xué)號：62172119】解(1)設(shè)圓心角是，半徑是r，則解得(舍去)或扇形的圓心角為.(2)設(shè)圓心角是，半徑是r，則2rr40.又Sr2r(402r)r(20r)(r10)2100100.當(dāng)且僅當(dāng)r10時，Smax100，此時2×101040，2，當(dāng)r10，2時，扇形的面積最大規(guī)律方法1.(1)在弧度制下，計算扇形面積和弧長比在角度制下更方便、簡捷；(2)從扇形面積出發(fā)，在弧度制下把問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于R的二次函數(shù)的最值問題(如本例)或不等式問題來求解2利用公式：(1)lR；(2)SlR；(3)SR2.其中R是扇形的半徑，l是弧長，(02)為圓心角，S是扇形面積，知道兩個量，可求其余量變式訓(xùn)練2若扇形的圓心角120°，弦長AB12 cm，則弧長l_cm.設(shè)扇形的半徑為r cm，如圖由sin 60°，得r4 cm，l|·r×4 cm.三角函數(shù)的定義(1)若tan 0，則下列說法正確的是_(填序號)sin 0；cos 0；sin 20；cos 20.(2)已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)A(，a)，若點(diǎn)A在拋物線yx2的準(zhǔn)線上，則sin _.(1)(2)(1)由tan 0知角是第一或第三象限角，當(dāng)是第一象限角時，sin 22sin cos 0；當(dāng)是第三象限角時，sin 0，cos 0，仍有sin 22sin cos 0，故正確(2)拋物線方程yx2可化為x24y，拋物線的準(zhǔn)線方程為y1.點(diǎn)A在拋物線yx2的準(zhǔn)線上，A(，1)，由三角函數(shù)的定義得sin .規(guī)律方法1.用定義法求三角函數(shù)值的兩種情況(1)已知角終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)，則可先求出點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離r，然后用三角函數(shù)的定義求解；(2)已知角的終邊所在的直線方程，則可先設(shè)出終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)，求出此點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，然后用三角函數(shù)的定義來求相關(guān)問題2確定三角函數(shù)值的符號，可以從確定角的終邊所在象限入手進(jìn)行判斷變式訓(xùn)練3(1)設(shè)是第二象限角，P(x,4)為其終邊上的一點(diǎn)，且cos x，則tan 2_.(2)函數(shù)y的定義域為_(1)(2)(kZ)(1)由三角函數(shù)的定義可得cos .cos x，x，又是第二象限角，x0，故可解得x3，cos ，sin ，tan ，tan 2.(2)2cos x10，cos x.由三角函數(shù)線畫出x滿足條件的終邊范圍(如圖陰影所示)x(kZ)思想與方法1在利用三角函數(shù)定義時，點(diǎn)P(x，y)可取終邊上任意一點(diǎn)，若點(diǎn)P在單位圓上，則sin y，cos x，tan ；若|OP|r，則sin ，cos ，tan .2三角函數(shù)值在各象限的符號規(guī)律：一全正、二正弦、三正切、四余弦3利用單位圓和三角函數(shù)線是解三角不等式的常用方法易錯與防范1第一象限角、銳角、小于90°的角是三個不同的概念，前者是象限角，后兩者是區(qū)間角2角度制與弧度制可利用180° rad進(jìn)行互化，在同一個式子中，采用的度量制必須一致，不可混用3已知三角函數(shù)值的符號確定角的終邊位置不要遺漏終邊在坐標(biāo)軸上的情況課時分層訓(xùn)練(二十一)A組基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)(建議用時：30分鐘)一、填空題1給出下列四個命題：是第二象限角；是第三象限角；400°是第四象限角；315°是第一象限角其中正確的命題是_(填序號)是第三象限角，故錯誤.，從而是第三象限角，正確400°360°40°，從而正確315°360°45°，從而正確2已知2弧度的圓心角所對的弦長為2，則這個圓心角所對的弧長是_由題設(shè)知，圓弧的半徑r，圓心角所對的弧長l2r.3已知點(diǎn)P(cos ，tan )在第三象限，則角的終邊在第_象限二由題意可得則所以角的終邊在第二象限4已知點(diǎn)P在角的終邊上，且0,2)，則的值為_. 【導(dǎo)學(xué)號：62172120】因為點(diǎn)P在第四象限，根據(jù)三角函數(shù)的定義可知tan ，則.5已知角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊在直線y2x上，則cos 2_.取終邊上一點(diǎn)(a,2a)(a0)，根據(jù)任意角的三角函數(shù)定義，可得cos ±，故cos 22cos21.6已知扇形的圓心角為，面積為，則扇形的弧長等于_設(shè)扇形半徑為r，弧長為l，則解得7(2017·無錫期中)已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(10，m)，且tan ，則m的值為_8由題意可知tan ，m8.8(2017·鹽城期中)若sin ，2，3，則_.2，3，.由sin ，可知，即.9若角的終邊在直線yx上，則2sin cos a_. 【導(dǎo)學(xué)號：62172121】±設(shè)P(4a，3a)(a0)是角終邊上任意一點(diǎn)，則OPr5|a|.當(dāng)a>0時，r5a，此時sin ，cos ，則2sin cos .當(dāng)a<0時，r5a，此時，sin ，cos ，所以2sin cos .10已知角2k(kZ)，若角與角的終邊相同，則y的值為_1由2k(kZ)及終邊相同的概念知，角的終邊在第四象限，又角與角的終邊相同，所以角是第四象限角，所以sin <0，cos >0，tan <0.所以y1111.二、解答題11一個扇形OAB的面積是1 cm2，它的周長是4 cm，求圓心角的弧度數(shù)和弦長AB.解設(shè)扇形的半徑為r cm，弧長為l cm，則解得圓心角2.如圖，過O作OHAB于H，則AOH1 rad.AH1·sin 1sin 1(cm)，AB2sin 1(cm)圓心角的弧度數(shù)為2，弦長AB為2sin 1 cm.12已知角的終邊上有一點(diǎn)P(x，1)(x0)，且tan x，求sin cos .解的終邊過點(diǎn)P(x，1)(x0)，tan ，又tan x，x21，即x±1.當(dāng)x1時，sin ，cos ，sin cos 0；當(dāng)x1時，sin ，cos ，sin cos .故sin cos 的值為0或.B組能力提升(建議用時：15分鐘)1在(0,2)內(nèi)，使sin xcos x成立的x的取值范圍為_如圖所示，找出在(0,2)內(nèi)，使sin xcos x的x值，sin cos ，sin cos .根據(jù)三角函數(shù)線的變化規(guī)律找出滿足題中條件的角x.2已知圓O：x2y24與y軸正半軸的交點(diǎn)為M，點(diǎn)M沿圓O順時針運(yùn)動弧長到達(dá)點(diǎn)N，以O(shè)N為終邊的角記為，則tan _.1設(shè)MON為，由弧長公式可知2，tan tan 1.3已知角的終邊在直線y3x上，求10sin 的值. 【導(dǎo)學(xué)號：62172122】解設(shè)終邊上任一點(diǎn)為P(k，3k)，則r|k|.當(dāng)k>0時，rk，sin ，10sin 330；當(dāng)k<0時，rk，sin ，10sin 330.綜上，10sin 0.4已知sin 0，tan 0.(1)求角的集合；(2)求終邊所在的象限；(3)試判斷tan sin cos 的符號解(1)由sin 0，知在第三、四象限或y軸的負(fù)半軸上由tan 0，知在第一、三象限，故角在第三象限，其集合為.(2)由2k2k，kZ，得kk，kZ，故終邊在第二、四象限(3)當(dāng)在第二象限時，tan 0，sin 0，cos 0，所以tan sin cos 取正號；當(dāng)在第四象限時，tan 0，sin 0，cos 0，所以tan sin cos 也取正號因此，tan sin cos 取正號