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第九講：重疊問題 【知識要點】： 三（1）班準備給參加班級繪畫比賽的16位同學(xué)和參加朗讀比賽的12位同學(xué)每人發(fā)一份紀念品，當中隊長玲玲將28份紀念品發(fā)下去時，卻多出5份，這是怎么回事？對了，因為有5位同學(xué)既參加了繪畫比賽，又參加了朗讀比賽，所以獎品就多出了5份。數(shù)學(xué)中，我們將這樣的問題稱為重疊問題。 解答重疊問題要用到數(shù)學(xué)中的一個重要原理——包含與排除原理，即當兩個計數(shù)部分有重復(fù)包含時，為了不重復(fù)計數(shù)，應(yīng)從它們的和中排除重復(fù)部分。 解答重疊問題的應(yīng)用題，必須從條件入手進行認真的分析，有時還要畫出圖示，借助圖形進行思考，找出哪些是重復(fù)的，重復(fù)了幾次？明確求的是哪一部分，從而找出解答方法。 【例1】 六一兒童節(jié)，學(xué)校門口掛了一行彩旗。小張從前數(shù)起，紅旗是第8面；從后數(shù)起，紅旗是第10面。這行彩旗共多少面？ 【思路導(dǎo)航】根據(jù)題意畫出下圖。 從圖上可以看出，從前數(shù)起紅旗是第______面，從后數(shù)起是第______面，這樣紅旗就數(shù)了______次，重復(fù)了______次，所以這行彩旗共有[ 　] ＋[ 　]－[ 　]＝[ 　]面。 【課堂反饋1】 1、小朋友排隊做操，小明從前數(shù)起排在第4個，從后數(shù)起排在第7個。這隊小朋友共有多少人？ 2、學(xué)校組織看文藝演出，冬冬的座位從左數(shù)起是第12個，從右數(shù)起是第21個。這一行座位有多少個？ 【例2】 同學(xué)們排隊做操，每行人數(shù)同樣多。小明的位置從左數(shù)起是第4個，從右數(shù)起是第3個，從前數(shù)起是第5個，從后數(shù)起是第6個。做操的同學(xué)共有多少個？ 【思路導(dǎo)航】根據(jù)題意畫出下圖。 由圖可看出： 小明的位置從左數(shù)第____個，從右數(shù)第____個，說明橫行有[ ]＋[ ]－[ 　]＝[ ]個人； 從前數(shù)第_____個，從后數(shù)第_____個，說明豎行有[ 　]＋[ 　]－[ 　]＝[ 　]人。 所以做操的同學(xué)共有：[ 　][ 　]＝[ 　]人。 【課堂反饋2】 1、同學(xué)們排隊跳舞，每行、每列人數(shù)同樣多。小紅的位置無論從前數(shù)從后數(shù)，從左數(shù)還是從右數(shù)起都是第4個。跳舞的共有多少人？ 2、為慶?！傲弧?，同學(xué)們排成每行人數(shù)相同的鮮花隊，小華的位置從左數(shù)第2個，從右數(shù)第4個；從前數(shù)第3個，從后數(shù)第5個。鮮花隊共多少人？ 【例3】 把兩塊一樣長的木板像下圖這樣釘在一起成了一塊木板。如果這塊釘在一起的木板長120厘米，中間重疊部分是16厘米，這兩塊木板各長多少厘米？ 【思路導(dǎo)航】把等長的兩塊木板的一端釘起來，釘在一起的長度就是重疊部分，重疊的部分是____ _厘米，所以這兩塊木板的總長度是[ 　]＋[ 　]＝[ 　]厘米，每塊木板的長度是[ 　][ 　]＝[ 　]厘米。 【課堂反饋3】 1、把兩段一樣長的紙條粘合在一起，形成一段更長的紙條。這段更長的紙條長30厘米，中間重疊部分是6厘米，原來兩段紙條各長多少厘米？ 2、兩根木棍放在一起（如圖），從頭到尾共長66厘米，其中一根木棍長48厘米，中間重疊部分長12厘米。另一根木棍長多少厘米？ 【例4】 一次數(shù)學(xué)測試，全班36人中，做對第一道聰明題的有21人，做對第二道聰明題的有18人，每人至少做對一道。問兩道聰明題都做對的有幾人？ 【思路導(dǎo)航】根據(jù)題意，畫出下圖： 圖中間重疊部分表示兩道題都做對的人數(shù)，把做第一道題和做對第二道題的人數(shù)加起來得[ 　]＋[ 　]＝[ 　]人，這____ _人比全班總?cè)藬?shù)____ _多出了[ 　]－[ 　]＝[ 　]人，這多出的____ _人既在做對第一題的人數(shù)中算過，也在做對第二道題的人數(shù)中算過，即表示兩道題都做對的人數(shù)。 【課堂反饋4】 1、三（1）班有學(xué)生55人，每人至少參加賽跑和跳繩比賽中的一種。已知參加賽跑的有36人，參加跳繩的有38人。兩項比賽都參加的有幾人？ 2、兩塊木板各長75厘米，像下圖這樣釘成一塊長130厘米的木板，中間重合部分是多少厘米？ 【例5】 三（1）班訂《數(shù)學(xué)報》的有32人，訂《閱讀報》的有30人，兩份報紙都訂的有10人，全班每人至少訂一種報紙。三（1）班有學(xué)生多少人？ 【思路導(dǎo)航】根據(jù)題意，畫出下圖： 從上圖可以看出，中間重疊部分表示兩份報紙都訂的____ _人，這10人既被包括在訂《數(shù)學(xué)報》的____ _人內(nèi)，又被包括在訂《閱讀報》的____ _人內(nèi)，重復(fù)算了____ _次，所以要算出全班人數(shù)，必須從[ 　]＋[ 　]＝[ 　]人中去掉被重復(fù)算過的____ _人。所以全班人數(shù)應(yīng)是[ 　]－[ 　]＝[ 　]人。 【課堂反饋5】 1、三（4）班做完語文作業(yè)的有37人，做完數(shù)學(xué)作業(yè)的有42人，兩種作業(yè)都完成的有31人，每人至少完成一種作業(yè)。三（4）班共有學(xué)生多少人？ 2、兩塊木板各長90厘米，像下圖這樣釘成一塊木板，中間重合部分是15厘米，這塊釘在一起的木板總長多少厘米？ 【課后作業(yè)】 1、同學(xué)們排隊去參觀展覽，無論從前數(shù)還是從后起起，李華都排在第8個。這一排共有多少個同學(xué)？ 2、三（4）班排成每行人數(shù)相同的隊伍入場參加校運動會，梅梅的位置從前數(shù)是第6個，從后數(shù)是第5個；從左數(shù)、從右數(shù)都是第3個。三（4）班共有學(xué)生多少人？ 3、把兩塊一樣長的木板釘在一起，釘成一塊長35厘米的木板。中間重合部分長11厘米，這兩塊木板各長多少厘米？ 4、三（5）班有42名同學(xué)，會下象棋的有21名同學(xué)，會下圍棋的有17名，兩種棋都不會的有10名。兩種棋都會下的有多少名？ 5、三年級有107個小朋友去春游，帶礦泉水的有78人，帶水果的有77人，每人至少帶一種。三年級既帶礦泉水又帶水果的小朋友有多少人？