第25練基本初等函數(shù)、函數(shù)的應(yīng)用小題提速練明晰考情1.命題角度：考查二次函數(shù)、分段函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)；以基本初等函數(shù)為依托，考查函數(shù)與方程的關(guān)系、函數(shù)零點(diǎn)存在性定理；能利用函數(shù)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.2.題目難度：中檔偏難.考點(diǎn)一基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì)方法技巧(1)指數(shù)函數(shù)的圖象過(guò)定點(diǎn)(0，1)，對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象過(guò)定點(diǎn)(1，0).(2)應(yīng)用指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，要注意底數(shù)的范圍，底數(shù)不同的盡量化成相同的底數(shù).(3)解題時(shí)要注意把握函數(shù)的圖象，利用圖象研究函數(shù)的性質(zhì).1.已知函數(shù)f(x)則f(2 019)等于()A.2 018 B.2C.2 020 D.答案D解析f(2 019)f(2 018)1f(0)2 019f(1)2 020212 020.2.函數(shù)yln|x|x2的圖象大致為()答案A解析f(x)yln|x|x2，定義域?yàn)?，0)(0，)且f(x)ln|x|(x)2ln|x|x2f(x)，故函數(shù)yln|x|x2為偶函數(shù)，排除B，D；當(dāng)x>0時(shí)，yln xx2，則y2x，當(dāng)x時(shí)，y2x>0，yln xx2單調(diào)遞增，排除C.故選A.3.(2017·全國(guó))設(shè)x，y，z為正數(shù)，且2x3y5z，則()A.2x<3y<5z B.5z<2x<3yC.3y<5z<2x D.3y<2x<5z答案D解析令t2x3y5z，x，y，z為正數(shù)，t>1.則xlog2t，同理，y，z.2x3y>0，2x>3y.又2x5z<0，2x<5z，3y<2x<5z.故選D.4.設(shè)函數(shù)f(x)則滿足f(f(t)2f(t)的t的取值范圍是_.答案解析若f(t)1，顯然成立，則有或解得t.若f(t)<1，由f(f(t)2f(t)，可知f(t)1，所以t1，得t3.綜上，實(shí)數(shù)t的取值范圍是.考點(diǎn)二函數(shù)與方程方法技巧(1)判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的主要方法解方程f(x)0，直接求零點(diǎn)；利用零點(diǎn)存在性定理；數(shù)形結(jié)合法：通過(guò)分解轉(zhuǎn)化為兩個(gè)能畫(huà)出的函數(shù)圖象交點(diǎn)問(wèn)題.(2)解由函數(shù)零點(diǎn)的存在情況求參數(shù)的值或取值范圍問(wèn)題，關(guān)鍵是利用函數(shù)與方程思想或數(shù)形結(jié)合思想，構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的方程或不等式求解.5.函數(shù)f(x)log2x的零點(diǎn)所在的區(qū)間為()A. B.C.(1，2) D.(2，3)答案C解析函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，)，且函數(shù)f(x)在(0，)上為增函數(shù).f(1)log2101<0， f(2)log221>0， f(1)·f(2)<0，函數(shù)f(x)log2x的零點(diǎn)在區(qū)間(1，2)內(nèi).6.已知函數(shù)f(x)lnx3，若函數(shù)yf(x)f(kx2)有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是()A. B.C. D.答案B解析因?yàn)閒(x)lnx3在區(qū)間(1，1)上單調(diào)遞增，且是奇函數(shù)，令yf(x)f(kx2)0，則f(x)f(kx2)f(x2k).由函數(shù)yf(x)f(kx2)有兩個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于方程x2xk0在區(qū)間(1，1)上有兩個(gè)不相等的實(shí)根，令g(x)x2xk，則滿足解得<k<0.7.已知函數(shù)f(x)若函數(shù)g(x)f(x)kx2k有五個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為()A. B.C. D.答案C解析當(dāng)x1時(shí)，f(x)呈現(xiàn)周期性.作函數(shù)y1f(x)和y2k(x2)的圖象.直線l：yk(x2)過(guò)定點(diǎn)A(2，0)，點(diǎn)A與點(diǎn)B(5，1)連線的斜率kAB，點(diǎn)A與點(diǎn)C(6，1)連線的斜率kAC.由圖可知，要使兩函數(shù)圖象有五個(gè)交點(diǎn)，則kACkkAB，所以k，故選C.8.已知函數(shù)f(x) 若方程f(x)xa有2個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_.答案a|a1或0a<1或a>1解析當(dāng)直線yxa與曲線yln x相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為(t，ln t)，則切線斜率k(ln x)|xt1，所以t1，切點(diǎn)坐標(biāo)為(1，0)，代入yxa，得a1.又當(dāng)x0時(shí)，f(x)xa(x1)(xa)0，所以當(dāng)a1時(shí)，ln xxa(x>0)有1個(gè)實(shí)根，此時(shí)(x1)(xa)0(x0)有1個(gè)實(shí)根，滿足題意；當(dāng)a<1時(shí)，ln xxa(x>0)有2個(gè)實(shí)根，此時(shí)(x1)(xa)0(x0)有1個(gè)實(shí)根，不滿足題意；當(dāng)a>1時(shí)，ln xxa(x>0)無(wú)實(shí)根，此時(shí)要使(x1)(xa)0(x0)有2個(gè)實(shí)根，應(yīng)有a0且a1，即a0且a1，綜上得實(shí)數(shù)a的取值范圍是a|a1或0a<1或a>1.考點(diǎn)三函數(shù)的綜合應(yīng)用方法技巧(1)函數(shù)實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題解決的關(guān)鍵是通過(guò)讀題建立函數(shù)模型，要合理選取變量，尋找兩個(gè)變量之間的關(guān)系.(2)基本初等函數(shù)與不等式的交匯問(wèn)題是高考的熱點(diǎn)，突破此類問(wèn)題的關(guān)鍵在于準(zhǔn)確把握函數(shù)的圖象和性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)的圖象尋求突破點(diǎn).9.某公司為激勵(lì)創(chuàng)新，計(jì)劃逐年加大研發(fā)資金投入，若該公司2015年全年投入研發(fā)資金130萬(wàn)元，在此基礎(chǔ)上，每年投入的研發(fā)資金比上一年增長(zhǎng)12%，則該公司全年投入的研發(fā)資金開(kāi)始超過(guò)200萬(wàn)元的年份是(參考數(shù)據(jù)：lg 1.120.05，lg 1.30.11，lg 20.30)()A.2018年 B.2019年C.2020年 D.2021年答案B解析設(shè)2015年后的第n年該公司投入的研發(fā)資金為y萬(wàn)元，則y130(112%)n.依題意130(112%)n>200，得1.12n>.兩邊取對(duì)數(shù)，得n·lg 1.12>lg 2lg 1.3，n>，n4，從2019年開(kāi)始，該公司投入的研發(fā)資金開(kāi)始超過(guò)200萬(wàn)元.10.已知函數(shù)f(x)ex1，g(x)x24x3，若存在f(a)g(b)，則實(shí)數(shù)b的取值范圍為()A.1，3 B.(1，3)C.2，2 D.(2，2)答案D解析函數(shù)f(x)ex1的值域?yàn)?1，)，g(x)x24x3的值域?yàn)?，1，若存在f(a)g(b)，則需g(b)1，即b24b31，所以b24b20，解得2b2.11.已知函數(shù)f(x)且關(guān)于x的方程f(x)xa0有且只有一個(gè)實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_.答案(1，)解析畫(huà)出函數(shù)yf(x)與yax的圖象如圖所示，所以a>1.12.已知f(x)則f(x)2的解集是_.答案(0，4解析當(dāng)x0時(shí)，f(x)2，即2，可轉(zhuǎn)化為1x2x，得x；當(dāng)x0時(shí)，f(x)2，即2，可轉(zhuǎn)化為解得0x4.綜上可知不等式的解集為(0，4.1.函數(shù)f(x)2x2的圖象大致為()答案A解析因?yàn)閒(x)2(x)2f(x)，所以函數(shù)yf(x)是偶函數(shù).當(dāng)x>0時(shí)，f(x)2x4x2x(2)，若x(0，)，f(x)<0，函數(shù)yf(x)單調(diào)遞減；若x(，)，f(x)>0，函數(shù)yf(x)單調(diào)遞增，則f(x)minf()22ln 2>0，結(jié)合圖象的對(duì)稱性可知，故選A.2.如果函數(shù)ya2x2ax1(a>0且a1)在區(qū)間1，1上的最大值是14，則a的值為()A. B.1C.3 D.或3答案D解析令axt(t>0)，則ya2x2ax1t22t1(t1)22.當(dāng)a>1時(shí)，因?yàn)閤1，1，所以t，又函數(shù)y(t1)22在上單調(diào)遞增，所以ymax(a1)2214，解得a3(負(fù)值舍去)；當(dāng)0<a<1時(shí)，因?yàn)閤1，1，所以t，又函數(shù)y(t1)22在上單調(diào)遞增，則ymax2214，解得a(負(fù)值舍去).綜上知a3或a.3.(2018·全國(guó))已知函數(shù)f(x)g(x)f(x)xa.若g(x)存在2個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是()A.1，0) B.0，) C.1，) D.1，)答案C解析令h(x)xa，則g(x)f(x)h(x).在同一坐標(biāo)系中畫(huà)出yf(x)，yh(x)圖象的示意圖，如圖所示.若g(x)存在2個(gè)零點(diǎn)，則yf(x)的圖象與yh(x)的圖象有2個(gè)交點(diǎn)，平移yh(x)的圖象可知，當(dāng)直線yxa過(guò)點(diǎn)(0，1)時(shí)，有2個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)10a，a1.當(dāng)yxa在yx1上方，即a1時(shí)，僅有1個(gè)交點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)yxa在yx1下方，即a1時(shí)，有2個(gè)交點(diǎn)，符合題意.綜上，a的取值范圍為1，).故選C.4.已知函數(shù)f(x)若|f(x)|ax，則a的取值范圍是_.答案2，0解析由y|f(x)|的圖象知，當(dāng)x0時(shí)，只有當(dāng)a0時(shí)，才能滿足|f(x)|ax.當(dāng)x0時(shí)，y|f(x)|x22x|x22x.故由|f(x)|ax，得x22xax.當(dāng)x0時(shí)，不等式為00成立.當(dāng)x0時(shí)，不等式等價(jià)于x2a.因?yàn)閤22，所以a2.綜上可知，a2，0.解題秘籍(1)基本初等函數(shù)的圖象可根據(jù)特殊點(diǎn)及函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判定.(2)與指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)，可使用換元法，解題中要優(yōu)先考慮函數(shù)的定義域.(3)數(shù)形結(jié)合是解決方程、不等式的重要工具，指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)要討論.1.已知實(shí)數(shù)a，b滿足ab，則()A.b2 B.b2C.a D.a答案B解析ab2，1a2，b24(ba)b24b4ab24b40，b24(ba)，b2，故選B.2.若函數(shù)f(x)a|2x4|(a>0，且a1)滿足f(1)，則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是()A.(，2 B.2，)C.2，) D.(，2答案B解析由f(1)，得a2，解得a或a(舍去)，即f(x)|2x4|.由于y|2x4|在(，2上單調(diào)遞減，在2，)上單調(diào)遞增，所以f(x)在(，2上單調(diào)遞增，在2，)上單調(diào)遞減.3.函數(shù)f(x)|x2|ln x在定義域內(nèi)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為()A.0 B.1C.2 D.3答案C解析由題意，函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，)，由函數(shù)零點(diǎn)的定義，f(x)在(0，)內(nèi)的零點(diǎn)即是方程|x2|ln x0的根.令y1|x2|，y2ln x(x0)，在同一坐標(biāo)系中畫(huà)出兩個(gè)函數(shù)的圖象.由圖得兩個(gè)函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，故方程有兩個(gè)根，即對(duì)應(yīng)函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).4.函數(shù)y(0x3)的值域是()A.(0，1 B.(e3，eC.e3，1 D.1，e答案B解析y(0x3)，當(dāng)0x3時(shí)，3(x1)211，e3e1，即e3ye，函數(shù)的值域是(e3，e.5.函數(shù)f(x)axloga(x1)在0，1上的最大值和最小值之和為a，則a的值為()A. B.C.2 D.4答案B解析當(dāng)a1時(shí)，由aloga21a，得loga21，所以a，與a1矛盾；當(dāng)0a1時(shí)，由1aloga2a，得loga21，所以a.6.已知函數(shù)f(x)設(shè)m>n1，且f(m)f(n)，則m·f(m)的最小值為()A.4 B.2C. D.2答案D解析當(dāng)1x<1時(shí)，f(x)5·2x，f(0)5；當(dāng)x1時(shí)，f(x)15，f(4)，1m<4.m·f(m)m2，當(dāng)且僅當(dāng)m時(shí)取等號(hào)，故選D.7.若函數(shù)f(x)aexx2a有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A. B.C.(，0) D.(0，)答案D解析函數(shù)f(x)aexx2a的導(dǎo)函數(shù)f(x)aex1，當(dāng)a0時(shí)，f(x)<0恒成立，函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞減，不可能有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)a0時(shí)，令f(x)0，得xln ，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，f(x)的最小值為f1ln 2a1ln a2a.令g(a)1ln a2a(a0)，則g(a)2.當(dāng)a時(shí)，g(a)單調(diào)遞增，當(dāng)a時(shí)，g(a)單調(diào)遞減，g(a)maxgln 20，f(x)的最小值f0，函數(shù)f(x)aexx2a有兩個(gè)零點(diǎn).綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(0，).8.函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論成立的是()A.a>0，b>0，c<0B.a<0，b>0，c>0C.a<0，b>0，c<0D.a<0，b<0，c<0答案C解析由f(x)及圖象可知，xc，c0，則c0；當(dāng)x0時(shí)，f(0)0，所以b0；當(dāng)f(x)0時(shí)，axb0，所以x0，所以a0，故選C.9.已知冪函數(shù)f(x)(n22n2)(nZ)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，且在(0，)上是減函數(shù)，那么n的值為_(kāi).答案1解析由于f(x)為冪函數(shù)，所以n22n21，解得n1或n3，經(jīng)檢驗(yàn)，只有n1符合題意.10.已知函數(shù)f(x)若函數(shù)g(x)f(f(x)a有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_.答案1，)解析設(shè)tf(x)，令f(f(x)a0，則af(t).在同一坐標(biāo)系內(nèi)作ya，yf(t)的圖象(如圖).當(dāng)a1時(shí)，ya與yf(t)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn).設(shè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為t1，t2(不妨設(shè)t2>t1)且t1<1，t21，當(dāng)t1<1時(shí)，t1f(x)有一解；當(dāng)t21時(shí)，t2f(x)有兩解.當(dāng)a<1時(shí)，只有一個(gè)零點(diǎn).綜上可知，當(dāng)a1時(shí)，函數(shù)g(x)f(f(x)a有三個(gè)不同的零點(diǎn).11.設(shè)函數(shù)f(x)則函數(shù)yf(f(x)1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為_(kāi).答案2解析當(dāng)x0時(shí)，yf(f(x)1f(2x)1log22x1x1，令x10，則x1，顯然與x0矛盾，所以當(dāng)x0時(shí)，yf(f(x)1無(wú)零點(diǎn).當(dāng)x0時(shí)，分兩種情況：當(dāng)x1時(shí)，log2x0，yf(f(x)1f(log2x)1log2(log2x)1，令log2(log2x)10，得log2x2，解得x4；當(dāng)0x1時(shí)，log2x0，yf(f(x)1f(log2x)11x1，令x10，解得x1.綜上，函數(shù)yf(f(x)1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.12.函數(shù)f(x)的圖象與函數(shù)g(x)2sin x在區(qū)間0，4上的所有交點(diǎn)為(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，則f(y1y2yn)g(x1x2xn)_.答案解析如圖，畫(huà)出函數(shù)f(x)和g(x)在0，4上的圖象，可知有4個(gè)交點(diǎn)，并且關(guān)于點(diǎn)(2，0)對(duì)稱，所以y1y2y3y40，x1x2x3x48，所以f(y1y2y3y4)g(x1x2x3x4)f(0)g(8)0.