專題9幾何問題探究 幾何問題探究是新中考命題中的一大亮點(diǎn) 往往設(shè)計(jì)成一個(gè)小課題 以 鏈?zhǔn)?問題鏈的形式出現(xiàn) 圖形運(yùn)動(dòng)與證明的結(jié)合 常把點(diǎn)的運(yùn)動(dòng) 線段的運(yùn)動(dòng)與全等 相似的證明 特殊三角形的判定 特殊四邊形的判定結(jié)合起來 挖掘變中之不變 將問題圖形中的某個(gè)圖形進(jìn)行平移 翻折 旋轉(zhuǎn)等運(yùn)動(dòng) 使其中某些元素或圖形的結(jié)構(gòu)產(chǎn)生了規(guī)律性的變化 針對(duì)這種規(guī)律性的變化形式或特定的結(jié)論設(shè)計(jì)逐步遞進(jìn)的問題串來形成探究問題 由于涉及圖形較復(fù)雜 關(guān)注知識(shí)點(diǎn)較多 各知識(shí)板塊之間的聯(lián)系較為密切 讓學(xué)生在一定的情景中完成探究 先用類比 而后歸納悟出規(guī)律 從特殊到得出一般規(guī)律 再到利用規(guī)律求解 使學(xué)生的才能得到充分的展示 條件開放 1 如圖 AC與BD相交于點(diǎn)O 且AB CD 請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件 使得 ABO CDO 解析 已有條件是AB CD 以及 AOB COD 從全等三角形判定定理出發(fā)添加條件 A C 或AB CD或 B D 2 2016 河南 如圖 在Rt ABC中 ABC 90 點(diǎn)M是AC的中點(diǎn) 以AB為直徑作 O分別交AC BM于點(diǎn)D E 1 求證 MD ME 2 若AB 6 當(dāng)AD 2DM時(shí) 求DE的長(zhǎng) 連結(jié)OD OE 當(dāng) A的度數(shù)為多少時(shí) 四邊形ODME是菱形 解析 當(dāng) A 60 時(shí) 四邊形ODME是菱形 只要證明 ODE DEM都是等邊三角形即可 解 1 ABC 90 AM MC BM AM MC A ABM 四邊形ABED是圓內(nèi)接四邊形 ADE ABE 180 又 ADE MDE 180 MDE MBA 同理證明 MED A MDE MED MD ME 3 如圖 點(diǎn)B E C F在一條直線上 AB DE BE CF 請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件 使 ABC DEF AB DE 解 1 F為BE中點(diǎn) BF EF AB CD MBF CEF BMF ECF BMF ECF AAS MB CE AB CD CE DE MB AM AM CE 條件開放題是指結(jié)論給定 條件未知或不全 需探求與結(jié)論相對(duì)應(yīng)的條件 解這種開放問題的一般思路是 由已知的結(jié)論反向思考題目應(yīng)具備怎樣的條件 即從題目的結(jié)論出發(fā) 逆向追索 逐步探求 結(jié)論開放 C 6 2017 預(yù)測(cè) 如圖 點(diǎn)E是正方形ABCD外一點(diǎn) 點(diǎn)F是線段AE上一點(diǎn) EBF是等腰直角三角形 其中 EBF 90 連結(jié)CE CF 1 求證 ABF CBE 2 判斷 CEF的形狀 并說明理由 7 2017 預(yù)測(cè) 如圖1 在正方形ABCD內(nèi)作 EAF 45 AE交BC于點(diǎn)E AF交CD于點(diǎn)F 連結(jié)EF 過點(diǎn)A作AH EF 垂足為H 1 如圖2 將 ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90 得到 ABG 求證 AGE AFE 若BE 2 DF 3 求AH的長(zhǎng) 2 如圖3 連結(jié)BD交AE于點(diǎn)M 交AF于點(diǎn)N 請(qǐng)?zhí)骄坎⒉孪?線段BM MN ND之間有什么數(shù)量關(guān)系 并說明理由 給出問題的條件 根據(jù)條件探索相應(yīng)的結(jié)論 符合條件的結(jié)論往往呈現(xiàn)多樣性 這些問題都是結(jié)論開放問題 這類問題的解題思路是 利用已知條件或圖形特征 進(jìn)行猜想 類比 聯(lián)想 歸納 分析出給定條件下可能存在的結(jié)論 然后經(jīng)過論證做出取舍 條件和結(jié)論開放 9 如圖 在 ABC中 ACB 90 AC BC AD 1 作 A的角平分線交CD于E 2 過B作CD的垂線 垂足為F 3 請(qǐng)寫出圖中兩對(duì)全等三角形 不添加任何字母 并選擇其中一對(duì)加以證明 利用已知條件或圖形特征 進(jìn)行猜想 并證明 幾何結(jié)論的判斷 D 猜想與證明 解析 1 先用 SAS 證明 CAF BAD 再用全等三角形的性質(zhì)即可得BD CF成立 2 利用 HFN與 AND的內(nèi)角和以及它們的等角 得到 NHF 90 即可得 的結(jié)論 3 連結(jié)DF 延長(zhǎng)AB 與DF交于點(diǎn)M 利用 BMD FHD求解 解 1 BD CF成立 理由如下 AC AB CAF BAD AF AD ABD ACF SAS BD CF 2 由 1 得 ABD ACF HFN ADN 在 HFN與 ADN中 HFN ADN HNF AND NHF NAD 90 HD HF 即BD CF 13 2016 衢州 如圖1 我們把對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形 1 概念理解 如圖2 在四邊形ABCD中 AB AD CB CD 問四邊形ABCD是垂美四邊形嗎 請(qǐng)說明理由 2 性質(zhì)探究 試探索垂美四邊形ABCD兩組對(duì)邊AB CD與BC AD之間的數(shù)量關(guān)系 猜想結(jié)論 要求用文字語(yǔ)言敘述 寫出證明過程 先畫出圖形 寫出已知 求證 3 問題解決 如圖3 分別以Rt ACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE 連結(jié)CE BG GE 已知AC 4 AB 5 求GE長(zhǎng) 垂美四邊形兩組對(duì)邊的平方和相等 解 1 四邊形ABCD是垂美四邊形 證明 AB AD 點(diǎn)A在線段BD的垂直平分線上 CB CD 點(diǎn)C在線段BD的垂直平分線上 直線AC是線段BD的垂直平分線 AC BD 即四邊形ABCD是垂美四邊形 2 猜想結(jié)論 垂美四邊形的兩組對(duì)邊的平方和相等 如圖2 四邊形ABCD中 AC BD 垂足為E 求證 AD2 BC2 AB2 CD2 證明 AC BD AED AEB BEC CED 90 由勾股定理得 AD2 BC2 AE2 DE2 BE2 CE2 AB2 CD2 AE2 BE2 CE2 DE2 AD2 BC2 AB2 CD2 解決這類問題的方法 一是根據(jù)條件 結(jié)合已學(xué)的知識(shí) 數(shù)學(xué)思維方法 通過分析 歸納 逐步得出結(jié)論 或通過觀察 實(shí)驗(yàn) 猜想 論證的方法求解 二是關(guān)注前面幾個(gè)小題在求解過程的解題思路和方法 這些思路和方法往往會(huì)對(duì)最后一小題的求解有一定的模仿和提示作用