第3節(jié) 數(shù)列的綜合題型76 等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合1. （2013江蘇19）設(shè)是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，是其前項(xiàng)和.記，其中為實(shí)數(shù).（1）若，且成等比數(shù)列，證明：（）；（2）若是等差數(shù)列，證明：.1.分析 （1）利用將表示出來(lái)，然后根據(jù)成等比數(shù)列，得到與的關(guān)系，可驗(yàn)證；（2）先由成等差數(shù)列，得到關(guān)于的等式，求得的值后再代入驗(yàn)證.解析 （1）由，得.又因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，所以，即，化簡(jiǎn)得因?yàn)?，所?因此，對(duì)于所有的，有.從而對(duì)于所有的，有.（2）設(shè)數(shù)列的公差是，則，即，代入的表達(dá)式，整理得，對(duì)于所有的，有.令，則對(duì)于所有的，有. （*）在（*）式中分別取得，從而有由得，代入方程，得，從而，即.若，則由，得，與題設(shè)矛盾，所以.又因?yàn)?，所?2(2013福建文17）已知等差數(shù)列的公差，前項(xiàng)和為.（1）若成等比數(shù)列，求；（2）若，求的取值范圍.2.分析（1）利用等比中項(xiàng)求解；（2）利用通項(xiàng)公式與求和公式將不等式轉(zhuǎn)化為含有首項(xiàng)的不等式求解.解析（1）因?yàn)閿?shù)列的公差，且成等比數(shù)列，所以，即，解得.（2）因?yàn)閿?shù)列的公差，且，所以，即，解得.3. (2013天津文19）已知首項(xiàng)為的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為， 且成等差數(shù)列. （1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式; （2）證明. 3.分析 （1）利用等差數(shù)列的性質(zhì)求出等比數(shù)列的公比，寫(xiě)出通項(xiàng)公式；（2）求出前項(xiàng)和，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明.解析 （1）設(shè)等比數(shù)列的公比為.因?yàn)槌傻炔顢?shù)列，所以即可得于是又因?yàn)樗缘缺葦?shù)列的通項(xiàng)公式為（2）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，隨的增大而減小，所以當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，隨的增大而減小，所以故對(duì)于有4.（2013湖北文19）已知是等比數(shù)列的前項(xiàng)和，成等差數(shù)列，且（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）是否存在正整數(shù)，使得？若存在，求出符合條件的所有的集合；若不存在，說(shuō)明理由4.分析 首先由成等差數(shù)列，且，求得和公比，進(jìn)而得通項(xiàng)公式；然后根據(jù)等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式列出關(guān)于的不等式，通過(guò)解不等式進(jìn)而做出判斷.解析 （1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，則.由題意得即解得故數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）由（1）有.假設(shè)存在，使得，則，即.當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，上式不成立；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，即，即.綜上，存在符合條件的正整數(shù)，且所有這樣的的集合為.5.（2014天津文5）設(shè)是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，為其前項(xiàng)和，若成等比數(shù)列，則=（ ）.A. B. C. D . 6.（2014新課標(biāo)文5）等差數(shù)列的公差為，若成等比數(shù)列，則的前項(xiàng)和（ ）.A. B. C. D.7.（2014北京文15）（本小題滿分13分）已知是等差數(shù)列，滿足，數(shù)列滿足，且是等比數(shù)列.（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.7. 解析 （I）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意得.所以.設(shè)等比數(shù)列的公比為，由題意得，解得.所以.從而.（II）由（I）知.數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列的前項(xiàng)和為.所以數(shù)列的前項(xiàng)和為.評(píng)注 本題主要考查等差數(shù)列與等比數(shù)列通項(xiàng)同時(shí)及前項(xiàng)和公式，考查數(shù)列綜合應(yīng)用.屬基礎(chǔ)題.8（2014湖北文19）（本小題滿分12分）已知等差數(shù)列滿足：，且，成等比數(shù)列. （）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，是否存在正整數(shù)，使得？若存在，求的最小值；若不存在，說(shuō)明理由.9.（2014重慶文16）（本小題滿分13分.（I）小問(wèn)6分，（II）小問(wèn)5分）已知是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，表示的前項(xiàng)和.（I）求及；（II）設(shè)是首項(xiàng)為2的等比數(shù)列，公比滿足，求的通項(xiàng)公式及其前項(xiàng)和.10.（2016北京文15）已知是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，且，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè) ，求數(shù)列的前項(xiàng)和.10.解析 （1）等比數(shù)列的公比，所以，.設(shè)等差數(shù)列的公差為.因?yàn)?，所以，?所以.（2）由（1）知，.因此.從而數(shù)列的前項(xiàng)和.11.（2016全國(guó)乙文17）已知是公差為3的等差數(shù)列，數(shù)列滿足.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求的前n項(xiàng)和.11.解析 （1）由題意令中，即，解得，故.（2）由（1）得，即，故是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，即，所以的前項(xiàng)和為.12.（2016四川文19）已知數(shù)列的首項(xiàng)為，為數(shù)列的前項(xiàng)和，其中，.（1）若，成等差數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)雙曲線的離心率為，且，求.12.解析 （1）由已知，兩式相減得到，.又由，得到，故對(duì)所有都成立.所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列.從而.由，成等差數(shù)列，可得，所以，故.所以.（2）由（1）可知，.所以雙曲線的離心率.由，解得.所以13.（2016天津文18）已知是等比數(shù)列，前項(xiàng)和為，且.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若對(duì)任意的，是和的等差中項(xiàng)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.13.解析 （1）數(shù)列的公比為，由已知有，解得.又由知，所以，解得，所以.（2）由題意得，即數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則.14.（2017天津文18）已知為等差數(shù)列，前項(xiàng)和為，是首項(xiàng)為2的等比數(shù)列，且公比大于0，,，.（1）求和的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和.14.解析 （1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為.由已知，得，而，所以.又因?yàn)?，解得，所?由，可得 由，可得 聯(lián)立式，解得，由此可得.所以的通項(xiàng)公式為，的通項(xiàng)公式為.（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，由，有，上述兩式相減，得，得.所以數(shù)列的前項(xiàng)和為.題型77 數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合1.（2014四川文19）(本小題滿分12分) 設(shè)等差數(shù)列的公差為，點(diǎn)在函數(shù)的圖像上.（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）若，函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線在軸上的截距為，求數(shù)列的前項(xiàng)和.2.（2015陜西文21）設(shè)（1）求.（2）證明：在內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)（記為），且.2.解析 (1)由題設(shè)，所以，所以，由錯(cuò)位相減法求得：，所以；(2)因?yàn)?，所以在?nèi)至少存在一個(gè)零點(diǎn).又，所以在內(nèi)單調(diào)遞增，因此，在內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，由于，所以，由此可得，故，所以.3.（2016上海文14）無(wú)窮數(shù)列由個(gè)不同的數(shù)組成，為的前項(xiàng)和，若對(duì)任意，則的最大值為 .3.解析 由題意或，或，依此類推，又與具備等價(jià)性，因此不妨考慮設(shè)，若，則；若，則.按照這種邏輯，可以出現(xiàn)序列，或者序列因此最大化處理可以出現(xiàn)，所以最大值為.4.（2016上海文22）對(duì)于無(wú)窮數(shù)列與，記，若同時(shí)滿足條件：，均單調(diào)遞增；且，則稱與是無(wú)窮互補(bǔ)數(shù)列.（1）若，判斷與是否為無(wú)窮互補(bǔ)數(shù)列，并說(shuō)明理由；（2）若=且與是無(wú)窮互補(bǔ)數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)的和；（3）若與是無(wú)窮互補(bǔ)數(shù)列，為等差數(shù)列且，求與的通項(xiàng)公式.4.解析 （1）易知，而，所以，從而與不是無(wú)窮互補(bǔ)數(shù)列.（2）由題意，因?yàn)?，所?數(shù)列的前項(xiàng)的和為.（3）設(shè)的公差為，則.由，得或.若，則，與“與是無(wú)窮互補(bǔ)數(shù)列”矛盾，因?yàn)榇藭r(shí)不是無(wú)窮數(shù)列；若，則，.綜上所述，.5.（2016江蘇20）記.對(duì)數(shù)列和的子集，若，定義；若，定義.假如：時(shí)，.現(xiàn)設(shè)是公比為的等比數(shù)列，且當(dāng)時(shí)，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）對(duì)任意正整數(shù)，若，求證：；（3）設(shè)，求證：.5. 解析 （1）當(dāng)時(shí)，因此，從而，.（2）.（3）下面分三種情況給予證明.若是的子集，則.若是的子集，則.若不是的子集，且不是的子集.令，則，.于是，進(jìn)而由得.設(shè)為中的最大數(shù)，為中的最大數(shù)，則，.由（2）知，.于是，所以，即.又，故.從而 ，故，所以，即.綜合得，.6.（2017浙江22）已知數(shù)列滿足：，.證明：當(dāng)時(shí).（1）；（2）；（3）.6.解析 （1）用數(shù)學(xué)歸納法證明：.當(dāng)時(shí)，假設(shè)時(shí)，那么時(shí)，若，則，矛盾，故. 因此，所以.因此.（2）由，得.記函數(shù).，知函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，因此，即.（3）因?yàn)?，得，以此類推，所以，?由（2）知，即，所以，故.綜上，.題型80 數(shù)列的應(yīng)用題暫無(wú)