第二節(jié)平面向量的基本定理及坐標表示1理解平面向量的基本定理及其意義2掌握平面向量的正交分解及其坐標表示3會用坐標表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運算4理解用坐標表示的平面向量共線的條件一、兩個向量的夾角定義范圍已知兩個 向量a，b，作 ，則AOB叫做向量a與b的夾角(如圖)向量夾角的范圍是 ，當 時，兩向量共線，當 時，兩向量垂直，記作ab.非零0或0，二、平面向量基本定理及坐標表示1平面向量基本定理定理：如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個 向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量a， 一對實數(shù)1，2，使a .其中，不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組 不共線有且只有基底1e12e22平面向量的正交分解把一個向量分解為兩個 的向量，叫做把向量正交分解3平面向量的坐標表示(1)在平面直角坐標系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i，j作為基底，對于平面內(nèi)的一個向量a，有且只有一對實數(shù)x，y，使axiyi，把有序數(shù)對 叫做向量a的坐標，記作a ，其中 叫做a在x軸上的坐標， 叫做a在y軸上的坐標互相垂直(x，y)(x，y)xy(x，y)點A1向量的坐標與點的坐標有何不同？三、平面向量的坐標運算1加法、減法、數(shù)乘運算向量abababa坐標(x1，y1)(x2，y2)(x1x2，y1y2)(x1x2，y1y2)(x1，y1)(x2x1，y2y1) 始終3平面向量共線的坐標表示設a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中b0，則a與b共線ab .x1y2x2y10答案：B2設向量a(1，3)，b(2,4)，c(1，2)若表示向量4a、4b2c、2(ac)、d的有向線段首尾相接能構成四邊形，則向量d為()A(2,6) B(2,6)C(2，6) D(2，6)解析：由題知4a(4，12)，4b2c(6,20)，2(ac)(4，2)，由題意知：4a4b2c2(ac)d0，則(4，12)(6,20)(4，2)d0，即(2,6)d0，故d(2，6)，選D.答案：D答案：B4在平面直角坐標系xOy中，四邊形ABCD的邊ABDC，ADBC.已知A(2,0)，B(6,8)，C(8,6)，則D點的坐標為_答案：(0，2)答案：01.以平面內(nèi)任意兩個不共線的向量為一組基底，該平面內(nèi)的任意一個向量都可表示成這組基底的線性組合，基底不同，表示也不同2對于兩個向量a，b，將它們用同一組基底表示，我們可通過分析這兩個表示式的關系，來反映a，b.3利用已知向量表示未知向量，實質(zhì)就是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加減運算或進行數(shù)乘運算【特別提醒】(1)由于基底向量不共線，所以0不能作為一個基底向量(2)基底一旦確定，則定向量沿基底的分解是唯一的1.向量的坐標運算主要是利用向量加減、數(shù)乘運算的法則進行，若已知有向線段兩端點的坐標，則應先求向量的坐標2解題過程中，常利用向量相等，則其坐標相同這一原則，通過列方程(組)來進行，并注意方程思想的應用3向量的坐標運算，使得向量的線性運算都可用坐標來進行，實現(xiàn)了向量運算完全代數(shù)化，將數(shù)與形緊密結(jié)合起來，就可以使很多幾何問題的解答轉(zhuǎn)化為我們熟知的數(shù)量運算【思路點撥】利用向量的坐標運算及向量的坐標與其起點、終點坐標的關系求解ab的充要條件有兩種表達形式：(1)ab(b0)ab(R)；(2)設a(x1，y1)，b(x2，y2)，則abx1y2x2y10.兩種充要條件的表達形式不同，第(1)種是用線性關系的形式表示的，而且有前提條件b0.而第(2)種是用坐標形式表示的，且沒有b0的限制【思路點撥】(1)由兩向量相等的充要條件可求得實數(shù)m、n的值；(2)由兩向量平行的充要條件列出關于k的方程，進而求得k的值；(3)由兩向量平行及向量的模列方程組求解【活學活用】 3.已知a(3,2)，b(1,2)，c(4,1)(1)求滿足axbyc的實數(shù)x，y的值；(2)若(akc)(2ba)，求實數(shù)k的值錯源：忽視平面向量基本定理的使用條件致誤【糾錯】本題可以根據(jù)向量共線的充要條件列出等式解決，但在得出等式后根據(jù)平面向量基本定理列式解決時，容易忽視平面向量基本定理的使用條件，出現(xiàn)漏解，漏掉了當a，b共線時，t可為任意實數(shù)這個解【心得】如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對該平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對實數(shù)1、2，使a1e12e2，特別地，當a0時，120，本題在a，b不共線時，就是根據(jù)這個定理得出的方程組在平面向量的知識體系里，平面向量基本定理是基石，共線向量定理是重要工具，在學習這部分內(nèi)容時要充分注意這兩個定理在解決問題中的作用，在使用平面向量基本定理時要注意其使用條件是兩個基向量不共線