第七章 向量代數(shù)與空間解析幾何 空間解析幾何是多元函數(shù)微積分學必備的基礎知識.本章首先建立空間直角坐標系，然后引進有廣泛應用的向量代數(shù)，以它為工具，討論空間的平面和直線，最后介紹空間曲面和空間曲線的部分內(nèi)容. 第一節(jié) 空間直角坐標系 平面解析幾何是我們已經(jīng)熟悉的，所謂解析幾何就是用解析的，或者說是代數(shù)的方法來研究幾何問題.坐標法把代數(shù)與幾何結合起來.代數(shù)運算的基本對象是數(shù),幾何圖形的基本元素是點.正如我們在平面解析幾何中所見到的那樣，通過建立平面直角坐標系使幾何中的點與代數(shù)的有序數(shù)之間建立一一對應關系.在此基礎上,引入運動的觀點,使平面曲線和方程對應,從而使我們能夠運用代數(shù)方法去研究幾何問題.同樣,要運用代數(shù)的方法去研究空間的圖形——曲面和空間曲線,就必須建立空間內(nèi)點與數(shù)組之間的對應關系. 一、空間直角坐標系 空間直角坐標系是平面直角坐標系的推廣.過空間一定點O，作三條兩兩互相垂直的數(shù)軸，它們都以O為原點.這三條數(shù)軸分別叫做x軸（橫軸）、y軸（縱軸）、z軸（豎軸），統(tǒng)稱坐標軸.它們的正方向按右手法則確定，即以右手握住z軸，右手的四個手指指向x軸的正向以角度轉(zhuǎn)向y軸的正向時，大拇指的指向就是z軸的正向（圖7-1），這樣的三條坐標軸就組成了一空間直角坐標系Oxyz，點O叫做坐標原點. 圖7-1 三條坐標軸兩兩分別確定一個平面，這樣定出的三個相互垂直的平面:xOy,yOz,zOx,統(tǒng)稱為坐標面.三個坐標面把空間分成八個部分，稱為八個卦限，上半空間（z＞0）中，從含有x軸、y軸、z軸正半軸的那個卦限數(shù)起，按逆時針方向分別叫做Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ卦限，下半空間（z＜0）中，與Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四個卦限依次對應地叫做Ⅴ，Ⅵ，Ⅶ，Ⅷ卦限（圖7-2）. 圖7-2 確定了空間直角坐標系后，就可以建立起空間點與數(shù)組之間的對應關系. 設M為空間的一點，過點M作三個平面分別垂直于三條坐標軸，它們與x軸、y軸、z軸的交點依次為P、Q、R（圖7-3）.這三點在x軸、y軸、z軸上的坐標依次為x，y，z.這樣，空間的一點M就惟一地確定了一個有序數(shù)組（x，y，z），它稱為點M的直角坐標，并依次把x,y和z叫做點M的橫坐標，縱坐標和豎坐標.坐標為（x,y,z）的點M通常記為M（x,y,z）. 圖7-3 反過來，給定了一有序數(shù)組（x,y,z），我們可以在x軸上取坐標為x的點P，在y軸上取坐標為y的點Q，在z軸上取坐標為z的點R，然后通過P、Q與R分別作x軸，y軸與z軸的垂直平面，這三個平面的交點M就是具有坐標（x,y,z）的點（圖7-3）.從而對應于一有序數(shù)組（x,y,z），必有空間的一個確定的點M.這樣，就建立了空間的點M和有序數(shù)組（x,y,z）之間的一一對應關系. 如圖7-3所示x軸，y軸和z軸上的點的坐標分別為P（x,0,0），Q（0,y,0）,R（0,0,z）；xOy面，yOz面和zOx面上的點的坐標分別為A（x,y,0），B（0，y,z）,C（x,0,z）；坐標原點O的坐標為O（0,0,0）.它們各具有一定的特征，應注意區(qū)分. 二、空間兩點間的距離 設M1（x1,y1,z1）、M2（x2,y2,z2）為空間兩點，為了用兩點的坐標來表達它們間的距離d，我們過M1，M2各作三個分別垂直于三條坐標軸的平面.這六個平面圍成一個以M1，M2為對角線的長方體（圖7-4）.根據(jù)勾股定理，有 圖7-4 ｜M1M2｜2＝｜M1N｜2＋｜NM2｜2 ＝｜M1P｜2＋｜M1Q｜2＋｜M1R｜2. 由于 ｜M1P｜＝｜P1P2｜＝｜x2－x1｜, ｜M1Q｜＝｜Q1Q2｜＝｜y2－y1｜, ｜M1R｜＝｜R1R2｜＝｜z2－z1｜, 所以d＝｜M1M2｜＝，這就是兩點間的距離公式. 特別地，點M（x,y,z）與坐標原點O（0,0,0）的距離為 d＝｜OM｜＝。 第二節(jié) 向量代數(shù) 一、向量及其線性運算 1.向量概念 我們曾經(jīng)遇到的物理量有兩種：一種是只有大小的量，叫做數(shù)量，如時間、溫度、距離、質(zhì)量等；另一種是不僅有大小而且還有方向的量，叫做向量或矢量，如速度、加速度、力等. 在數(shù)學上，往往用一條有向線段來表示向量，有向線段的長度表示向量的大小，有向線段的方向表示向量的方向.如圖7-5所示，以M1為始點、M2為終點的有向線段所表示的向量，用記號表示.有時也用一個黑體字母或上面加箭頭的字母來表示向量.例如向量a，b，i，u或 ，，，等. 圖7-5 向量的大小叫做向量的模，向量，a的模分別記為｜｜，｜a｜. 在研究向量的運算時，將會用到以下幾個特殊向量： 單位向量 模等于1的向量稱為單位向量. 逆向量（或負向量） 與向量a的模相等而方向相反的向量稱為a的逆向量，記為－a. 零向量 模等于0的向量稱為零向量，記作0，零向量沒有確定的方向，也可以說它的方向是任意的. 相等向量 兩個向量a與b，如果它們平行、同向且模相等，就說這兩個向量相等，記作a＝b. 自由向量 與始點位置無關的向量稱為自由向量（即向量可以在空間平行移動，所得向量與原向量相等）.我們研究的向量均為自由向量，今后，必要時我們可以把一個向量平行移動到空間任一位置 2．向量的線性運算 （1） 向量的加（減）法 仿照物理學中力的合成，我們可如下規(guī)定向量的加（減）法. 定義1 設a，b為兩個（非零）向量，把a，b平行移動使它們的始點重合于M，并以a，b為鄰邊作平行四邊形，把以點M為一端的對角線向量定義為a，b的和，記為a＋b（圖7-6）.這樣用平行四邊形的對角線來定義兩個向量的和的方法叫做平行四邊形法則. 圖7-6 由于平行四邊形的對邊平行且相等，所以從圖7-6可以看出，a＋b也可以按下列方法得出：把b平行移動，使它的始點與a的終點重合，這時，從a的始點到b的終點的有向線段就表示向量a與b的和a＋b（圖7-7）.這個方法叫做三角形法則. 圖7-7 定義2 向量a與b的差規(guī)定為a與b的逆向量（－b）的和 a－b＝a＋（－b）. 按定義容易用作圖法得到向量a與b的差.把向量a與b的始點放在一起，則由b的終點到a的終點的向量就是a與b的差a－b（圖7-8）. 圖7-8 向量的加法滿足下列性質(zhì)： a＋b＝b＋a; （交換律） （a＋b）＋c＝a＋（b＋c）;（結合律） a＋0＝a; a＋（－a）＝0. （2） 向量與數(shù)量的乘法 定義3 設λ是一實數(shù)，向量a與λ的乘積λa是一個這樣的向量： 當λ＞0時，λa的方向與a的方向相同，它的模等于｜a｜的λ倍，即｜λa｜＝λ ｜a｜； 當λ＜0時，λa的方向與a的方向相反，它的模等于｜a｜的｜λ｜倍，即. 當λ＝0時，λa是零向量，即λa＝0. 向量與數(shù)量的乘法滿足下列性質(zhì)（λ, μ為實數(shù)）： λ（μa）＝（λμ）a; （結合律） （λ＋μ）a＝λa＋μa;（分配律） λ（a＋b）＝λa＋λb.（分配律） 設ea是方向與a相同的單位向量，則根據(jù)向量與數(shù)量乘法的定義，可以將a寫成 a＝｜a｜ea 這樣就把一個向量的大小和方向都明顯地表示出來.由此也有 ea＝ 就是說把一個非零向量除以它的模就得到與它同方向的單位向量. 二、向量的坐標表示 1.向量在軸上的投影 為了用分析方法來研究向量，需要引進向量在軸上的投影的概念. （1） 兩向量的夾角. 設有兩個非零向量a，b，任取空間一點O，作＝a，＝b，則稱這兩向量正向間的夾角θ為兩向量a與b的夾角（圖7-9），記作 圖7-9 θ＝（）或θ=（），0≤θ≤π. 當a與b同向時，θ＝0；當a與b反向時，θ＝π. （2） 點A在軸u上的投影 過點A作與軸u垂直的平面，交軸u于點A′，則點A′稱為點A在軸u上的投影（圖7-10）. 圖7-10 圖7-11 （3） 向量在軸u上的投影 首先我們引進軸上的有向線段的值的概念 設有一軸u, 是軸u上的有向線段.如果數(shù)λ滿足 |λ|=||,且當與u軸同向時λ是正的，當與u軸反向時λ是負的，那么數(shù)λ叫做軸u上有向線段的值，記作AB，即λ=AB. 設A、B兩點在軸u上的投影分別為A′，B′（圖711），則有向線段的值A′B′稱為向量在軸u上的投影，記作Prju＝A′B′,它是一個數(shù)量.軸u叫做投影軸. 這里應特別指出的是：投影不是向量，也不是長度，而是數(shù)量，它可正，可負，也可以是零. 關于向量的投影有下面兩個定理： 定理1 向量在軸u上的投影等于向量的模乘以u與向量的夾角α的余弦，即 Prju＝｜｜cosα. 證 過A作與軸u平行且有相同正向的軸u′，則軸u與向量間的夾角α等于軸u′與向量間的夾角（圖7-12）.從而有 圖7-12 Prju ＝Prju′＝AB″＝｜｜cosα.. 顯然，當α是銳角時，投影為正值；當α是鈍角時，投影為負值；當α是直角時，投影為0. 定理2 兩個向量的和在某軸上的投影等于這兩個向量在該軸上投影的和，即 Prju（a1＋a2）＝Prjua1＋Prjua2. 證 設有兩個向量a1，a2及某軸u,由圖7-13可以看到 圖7-13 Prju（a1＋a2）＝Prju（ + ）＝Prju＝A′C′, 而 Prjua1+Prjua2＝Prju+Prju＝A′B′＋B′C′＝A′C′， 所以 Prju（a1＋a2）＝Prjua1＋Prjua2. 顯然，定理2可推廣到有限個向量的情形，即 Prju（a1＋a2＋…+an）＝Prjua1＋Prjua2＋…＋Prjuan. 2.向量的坐標表示 （1） 向量的分解 設空間直角坐標系Oxyz，以i，j，k分別表示沿x軸、y軸、z軸正向的單位向量，并稱它們?yōu)檫@一坐標系的基本單位向量.始點固定在原點O、終點為M的向量r＝稱為點M的向徑. 設向徑的終點M的坐標為（x,y,z）.過點M分別作與三個坐標軸垂直的平面，依次交坐標軸于P，Q，R（圖7-14），根據(jù)向量的加法，有 圖7-14 r＝＝＋＋， 但 ＝，＝， 所以 r＝＋＋. 向量，，分別稱為向量r＝在x，y，z軸上的分向量，根據(jù)數(shù)與向量的乘法得 ＝xi, ＝y(tǒng)j，＝zk. 因此有 ＝r＝xi＋yj＋zk. 這就是向量r在坐標系中的分解式.其中x,y,z三個數(shù)是向量r＝在三個坐標軸上的投影. 一般地，設向量a＝,M1、M2的坐標分別為M1（x1,y1,z1）及M2（x2, y2,z2），如圖7-15所示，由于 圖7-15 ＝－＝r2－r1, 而 r2＝x2i＋y2j＋z2k, r1＝x1i＋y1j＋z1k, 所以 a＝＝（x2i＋y2j＋z2k）－（x1i＋y1j＋z1k） ＝（x2－x1）i＋（y2－y1）j＋（z2－z1）k. 這個式子稱為向量按基本單位向量的分解式.其中三個數(shù)量ax＝x2－x1,ay＝y(tǒng)2－y1,az＝z2－z1是向量a＝在三個坐標軸上的投影.我們也可以將向量a的分解式寫成 a＝axi＋ayj＋azk. （2） 向量的坐標表示. 向量a在三個坐標軸上的投影ax，ay，az叫做向量a的坐標，并將a表示為 a＝（ax,ay,az）， 上式叫做向量a的坐標表示式. 從而基本單位向量的坐標表示式是 i＝（1,0,0）, j＝（0,1,0）, k＝（0,0,1）. 零向量的坐標表示式為0=（0,0,0）. 起點為M1（x1,y1,z1）、終點為M2（x2,y2,z2）的向量的坐標表示式為 ＝（x2－x1,y2－y1,z2－z1）， 特別地，向徑的坐標就是終點的坐標，即 ＝（x,y,z） （3） 向量的模與方向余弦的坐標表示式. 向量可以用它的模和方向來表示，也可以用它的坐標來表示，為了找出向量的坐標與向量的模、方向之間的聯(lián)系，我們先介紹一種表達空間方向的方法. 與平面解析幾何里用傾角表示直線對坐標軸的傾斜程度相類似，我們可以用向量a＝與三條坐標軸（正向）的夾角α，β，γ來表示此向量的方向，并規(guī)定0≤α≤π、0≤β≤π、0≤γ≤π（圖7-16），α，β，γ叫做向量a的方向角. 過點M1，M2各作垂直于三條坐標軸的平面，如圖7-16所示，可以看出由于∠PM1M2＝α,又M2P⊥M1P，所以 圖7-16 同理 ax＝M1P＝｜｜cosα＝｜a｜cosα， ay＝M1Q＝｜｜cosβ＝｜a｜cosβ， （7-2-1） az＝M1R＝｜｜cosγ＝｜a｜cosγ. 公式（7-2-1）中出現(xiàn)的不是方向角α，β，γ本身而是它們的余弦，因而，通常也用數(shù)組cosα、cosβ、cosγ來表示向量a的方向，叫做向量a的方向余弦. 把公式（7-2-1）代入向量的坐標表示式，就可以用向量的模及方向余弦來表示向量： a＝｜a｜（cosαi＋cosβj＋cosγk）， （7-2-2） 而向量a的模為 ｜a｜＝｜｜＝ 由此得向量a的模的坐標表示式 ｜a｜＝ （7-2-3） 再把上式代入（7-2-1）式，可得向量a的方向余弦的坐標表示式 cosα＝， cosβ＝， （7-2-4） cosγ＝. 把公式（7-2-4）的三個等式兩邊分別平方后相加，便得到 cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1， 即任一向量的方向余弦的平方和等于1.由此可見，由任一向量a的方向余弦所組成的向量（cosα,cosβ,cosγ）是單位向量，即 ea＝cosαi＋cosβj＋cosγk. 例1 已知兩點P1（2,－2,5）及P2（－1,6，7），試求： ①在三個坐標軸上的投影及分解表達式； ②的模； ③的方向余弦； ④上的單位向量 解 ①設＝（ax,ay,az），則在三個坐標軸上的投影分別為： ax＝－1－2＝－3， ay＝6－（－2）＝8, az＝7－5＝2， 于是 的分解表達式為 ＝－3i＋8j＋2k. ② ｜｜＝ ＝＝. ③ cosα＝＝, cosβ＝＝, cosγ＝＝. ④ ＝（－3i＋8j＋2k）. （4） 用坐標進行向量的線性運算 利用向量的分解式，向量的線性運算可以化為代數(shù)運算. 設λ是一數(shù)量，a＝axi＋ayj＋azk, b＝bxi＋byj＋bzk; 則 a±b＝（axi＋ayj＋azk）±（bxi＋byj＋bzk） ＝（ax±bx）i＋（ay±by）j＋（az±bz）k; λa＝λ（axi＋ayj＋azk）＝λaxi＋λayj＋λazk 或 （ax,ay,az）±（bx,by,bz）＝（ax±bx,ay±by,az±bz）, λ（ax,ay,az）＝（λax,λay,λaz）. 這就是說，兩向量之和（差）的坐標等于兩向量同名坐標之和（差）；數(shù)與向量之積，等于此數(shù)乘上向量的每一個坐標. 例2 從點A（2，－1,7）沿向量a＝8i＋9j－12k的方向取線段AB，使｜｜＝34，求點B的坐標. 解 設點B的坐標為（x,y,z），則 ＝（x－2）i＋（y＋1）j＋（z－7）k. 按題意可知上的單位向量與a上的單位向量相等，即 eAB＝ea. 而｜｜＝34,｜a｜＝＝17,所以 eAB＝＝ i＋j＋ k, ea= ＝ i＋ j- k 比較以上二式得： ＝, ＝, ＝－. 解得 x＝18,y＝17,z＝－17. 所以點B的坐標為（18，17，－17）. 例3 已知a＝2i－j＋2k,b＝3i＋4j－5k,求3a－b方向的單位向量. 解 因為c＝3a－b＝3（2i－j＋2k）－（3i＋4j－5k） =3i－7j＋11k 于是 ｜c｜＝＝, 所以 ec＝＝＝（3i－7j＋11k）. 三、向量的數(shù)量積與向量積 1.兩向量的數(shù)量積 在物理學中，我們知道當物體在力F的作用下（圖7-17），產(chǎn)生位移s時，力F所作的功 圖7-17 W＝｜F｜cos（）·｜s｜ =｜F｜｜s｜cos（）. 這樣，由兩個向量F和s決定了一個數(shù)量｜F｜｜s｜cos（）.根據(jù)這一實際背景，我們把由兩個向量F和s所確定的數(shù)量｜F｜｜s｜cos（）定義為兩向量F與s的數(shù)量積. 定義4 兩向量a與b的模與它們的夾角余弦的乘積，叫做a與b的數(shù)量積，記為a·b，即 a·b＝｜a｜｜b｜cos（）. 因其中的｜b｜cos（）是向量b在向量a的方向上的投影，故數(shù)量積又可表示為 a·b＝｜a｜Prjab， 同樣 a·b＝｜b｜Prjba. 數(shù)量積滿足下列運算性質(zhì)： （1） a·b＝b ·a； （交換律） （2） a·（b＋c）＝a·b＋a·c； （分配律） （3） （λa）·b＝λ（a·b）＝a·（λb）. （結合律） 由數(shù)量積的定義，容易得出下面的結論： （1） a·a＝｜a｜2； （2） 兩個非零向量a與b互相垂直的充要條件是a·b＝0. 數(shù)量積的坐標表示式 設a＝axi＋ayj＋azk, b＝bxi＋byj＋bzk,根據(jù)數(shù)量積的性質(zhì)可得 a·b＝（axi＋ayj＋azk）·（bxi＋byj＋bzk） =axbxi·i＋axbyi·j＋axbzi·k ＋aybxj·i+aybyj·j＋aybzj·k +azbxk·i＋azbyk·j＋azbzk·k. 由于基本單位向量i,j,k兩兩互相垂直，從而，i·j＝j·k＝k·i=j·i＝k·j＝i·k＝0.又因為i,j,k的模都是1，所以 i·i＝j·j＝k·k＝1， 因此 a·b＝axbx＋ayby＋azbz. 即兩向量的數(shù)量積等于它們同名坐標的乘積之和. 由于a·b＝｜a｜｜b｜cos（），當a，b都是非零向量時有 cos（）＝＝. 這就是兩向量夾角余弦的坐標表示式.從這個公式可以看出，兩非零向量互相垂直的充要條件為 axbx＋ayby＋azbz＝0. 例4 求向量a＝（3,－2,2）和b＝（3,0,0）的夾角. 解 因為a·b＝3·3＋（－2）·0＋2 ·0＝9， ｜a｜＝＝5， ｜b｜＝3， 所以 cos（）＝＝＝. 故其夾角 （）＝arccos≈53°8′. 例5 求向量a＝（4,－1,2）在b＝（3,1,0）上的投影. 解 因為 a·b＝4·3＋（－1）·1＋2·0＝11, ｜b｜＝＝， 所以 Prjba＝＝＝. 例6 在xOy平面上求一單位向量與p＝（－4,3,7）垂直. 解 設所求向量為(a,b,c)，因為它在xOy平面上，所以c＝0.又（a ,b ,0）與p＝（－4,3,7）垂直，且是單位向量，故有 －4a＋3b＝0，a2＋b2＝1. 由此求得 a＝±, b＝±， 因此所求向量為 (±,±,0). 2.兩向量的向量積 在研究物體轉(zhuǎn)動問題時，不但要考慮此物體所受的力，還要分析這些力所產(chǎn)生的力矩.下面舉例說明表示力矩的方法. 設O為杠桿L的支點，有一個力F作用于這杠桿上P點處，F(xiàn)與的夾角為θ（圖7-18）.由物理學知道，力F對支點O的力矩是一向量M，它的模 圖7-18 ｜M｜＝｜OQ｜｜F｜＝｜｜｜F｜sinθ. 而M的方向垂直于與F所確定的平面（即M既垂直于，又垂直于F），M的指向按右手規(guī)則，即當右手的四個手指從以不超過π的角轉(zhuǎn)向F握拳時，大拇指的指向就是M的指向. 由兩個已知向量按上述規(guī)則來確定另一向量，在其他物理問題中也會遇到，抽象出來，就是兩個向量的向量積的概念. 定義5 兩向量a與b的向量積是一個向量c，記為c＝a×b，它的大小與方向規(guī)定如下： （1） ｜a×b｜＝｜a｜｜b｜sin（），即等于以a,b為鄰邊的平行四邊形的面積； （2） a×b垂直于a,b所確定的平面，并且按順序a，b，a×b符合右手法則（見圖7-19）. 圖7-19 向量積滿足下列規(guī)律： （1） a×b＝－b×a（向量積不滿足交換律）. （2） （a＋b）×c＝a×c＋b×c. （3） （λa）×b＝a×（λb）＝λ（a×b）. 由向量積的定義，容易得出下面的結論： （1） a×a＝0. （2） 兩個非零向量a與b互相平行的充要條件是a×b＝0. 3.向量積的坐標表示式 設a＝axi＋ayj＋azk, b＝bxi＋byj＋bzk.則 a×b＝（axi＋ayj＋azk）×（bxi＋byj＋bzk） ＝axbx（i×i）＋axby（i×j）＋axbz（i×k） ＋aybx（j×i）＋ayby（j×j）＋aybz（j×k） ＋azbx（k×i）＋azby（k×j）＋azbz（k×k）. 由于 i×i＝j×j＝k×k＝0， i×j＝k, j×k＝i, k×i＝j， j×i＝－k， k×j＝－i, i×k＝－j. 所以 a×b＝（aybz－azby）i＋（azbx－axbz）j＋（axby－aybx）k. 這就是向量積的坐標表示式.這個公式可以用行列式（行列式的定義及簡單運算見本書后附錄）寫成下列便于記憶的形式： a×b＝ 從這個公式可以看出，兩非零向量a和b互相平行的條件為 aybz－azby＝0, azbx－axbz＝0, axby－aybx＝0, 或 . 例7 設a＝2i＋j－k,b＝i－j＋2k.計算a×b. 解 a×b＝ ＝［1·2－（－1）2］i＋［（－1）·1－2·2］j＋［2·（－1）－1·1］k ＝i－5j－3k. 例8 求以A（1，2，3），B（3，4，5），C（2,4,7）為頂點的三角形的面積S. 解 根據(jù)向量積的定義，可知所求三角形的面積S等于 ｜×｜. 因為 ＝2i＋2j＋2k, ＝i+2j＋4k, ×＝ ＝4i－6j+2k, 所以 S＝｜×｜ ＝ ＝. 例9 已知a＝（2,1,1）, b＝（1,－1,1），求與a和b都垂直的單位向量. 解 設c＝a×b,則c同時垂直于a和b，于是，c上的單位向量是所求的單位向量.因 c＝a×b＝2i－j－3k, ｜c｜＝＝, 所以， ec=＝(,,) 及 －ec＝(,,) 都是所求的單位向量. 第三節(jié) 平面與直線 本節(jié)將以向量為工具，在空間直角坐標系中討論最簡單的空間圖形——平面和直線. 一、曲面方程的概念 平面解析幾何把曲線看作動點的軌跡，類似地，空間解析幾何可把曲面當作是一個動點或一條動曲線按一定規(guī)律而運動產(chǎn)生的軌跡. 一般地，如果曲面S與三元方程F（x,y,z）＝0之間存在如下關系： （1） 曲面S上任一點的坐標都滿足方程F（x,y,z）＝0； （2） 不在曲面S上的點的坐標都不滿足這個方程，滿足方程的點都在曲面上. 那末稱F（x,y,z）＝0為曲面S的方程，而曲面S稱為方程的圖形. 二、平面及其方程 1平面的點法式方程 垂直于平面的非零向量叫做該平面的法向量.容易看出，平面上的任一向量都與該平面的法向量垂直. 圖7-20 我們知道，過空間一點可以作而且只能作一平面垂直于一已知直線，所以當平面Π上的一點M0（x0,y0,z0）和它的法向量n＝（A,B,C）為已知時，平面Π的位置就完全確定了. 設M0（x0,y0,z0）是平面Π上一已知點，n＝（A,B,C）是它的法向量（圖7-20），M（x,y,z）是平面Π上的任一點，那么向量必與平面Π的法向量n垂直，即它們的數(shù)量積等于零：n·＝0. 由于n＝（A,B,C）, ＝（x－x0,y－y0,z－z0）,所以有 A（x－x0）＋B（y－y0）＋C（z－z0）＝0. （7-3-1） 平面Π上任一點的坐標都滿足方程（7-3-1），不在平面Π上的點的坐標都不滿足方程（7-3-1）.所以方程（7-3-1）就是所求平面的方程.因為所給的條件是已知一定點M0（x0,y0,z0）和一個法向量n＝（A,B,C），方程（7-3-1）叫做平面的點法式方程. 例 1 求過點（2，－3,0）及法向量n＝（1,－2,3）的平面方程. 解 根據(jù)平面的點法式方程（7-3-1），得所求平面的方程為 （x－2）－2（y＋3）＋3z＝0 或x－2y＋3z－8＝0. 2平面的一般式方程 將方程（7-3-1）化簡，得 Ax＋By＋Cz＋D＝0, 其中D＝－Ax0－By0－Cz0，由于方程（7-3-1）是x，y，z的一次方程，所以任何平面都可以用三元一次方程來表示. 反過來，對于任給的一個三元一次方程 Ax＋By＋Cz＋D＝0, （7-3-2） 我們?nèi)M足該方程的一組解x0,y0,z0，則 Ax0＋By0＋Cz0＋D＝0. （7-3-3） 由方程（7-3-2）減去方程（7-3-3），得 A（x－x0）＋B（y－y0）＋C（z－z0）＝0. （7-3-4） 圖7-21 把它與方程（7-3-1）相比較，便知方程（7-3-4）是通過點M0（x0,y0,z0）且以n＝（A，B，C）為法向量的平面方程.因為方程（7-3-2）與（7-3-4）同解，所以任意一個三元一次方程（7-3-2）的圖形是一個平面.方程（7-3-2）稱為平面的一般式方程.其中x,y,z的系數(shù)就是該平面的法向量n的坐標，即n＝（A，B，C）. 例 2 已知平面Π在三坐標軸上的截距分別為a，b，c，求此平面的方程（設a≠0,b≠0,c≠0）（圖7-21）. 解 因為a，b，c分別表示平面Π在x軸、y軸、z軸上的截距，所以平面Π通過三點A（a,0,0）,B（0,b,0）,C（0,0,c），且這三點不在一直線上. 先找出這平面的法向量n，由于法向量n與向量、都垂直，可取n＝×，而＝（－a,b,0）, ＝（－a,0,c）,所以得 n＝×＝＝bci＋acj＋abk. 再根據(jù)平面的點法式方程（7-3-1），得此平面的方程為 bc（x－a）＋ac（y－0）＋ab（z－0）＝0. 由于a≠0,b≠0,c≠0，上式可改寫成 ＋＋＝1. （7-3-5） （7-3-5）式叫做平面的截距式方程. 3.特殊位置的平面方程 （1） 過原點的平面方程 因為平面通過原點，所以將x＝y(tǒng)＝z＝0代入方程（7-3-2），得D＝0.故過原點的平面方程為 Ax＋By＋Cz＝0. （7-3-6） 其特點是常數(shù)項D＝0. （2） 平行于坐標軸的平面方程 如果平面平行于x軸，則平面的法向量n＝（A，B，C）與x軸的單位向量i＝（1,0,0）垂直，故 n·i＝0, 即 A·1＋B·0＋C·0＝0. 由此，有 A＝0. 從而得到平行于x軸的平面方程為 By＋Cz＋D＝0. 其方程中不含x. 類似地，平行于y軸的平面方程為 Ax＋Cz＋D＝0. 平行于z軸的平面方程為： Ax+By+D=0. （3） 過坐標軸的平面方程 因為過坐標軸的平面必過原點，且與該坐標軸平行，根據(jù)上面討論的結果，可得過x軸的平面方程為 By＋Cz＝0; 過y軸的平面方程為 Ax＋Cz＝0; 過z軸的平面方程為 Ax＋By＝0. （4） 垂直于坐標軸的平面方程 如果平面垂直于z軸，則該平面的法向量n可取與z軸平行的任一非零向量（0,0,C），故平面方程為Cz＋D＝0. 類似地，垂直于x軸的平面方程為Ax+D=0；垂直于y軸的平面方程為By+D=0；而z＝0表示xOy坐標面；x＝0表示yOz坐標面；y＝0表示zOx坐標面. 例3 指出下列平面位置的特點，并作出其圖形： （1） x＋y＝4; （2） z＝2. 解（1） x＋y＝4，由于方程中不含z的項，因此平面平行于z軸（圖7-22）. （2） z＝2，表示過點（0，0，2）且垂直于z軸的平面（圖7-23）. 圖7-22 圖7-23 4兩平面的夾角及平行、垂直的條件 設平面Π1與Π2的方程分別為A1x＋B1y＋C1z＋D1＝0和A2x＋B2y＋C2z＋D2＝0，它們的法向量分別為n1＝（A1,B1,C1）和n2＝（A2,B2,C2）.如果這兩個平面相交，它們之間有兩個互補的二面角（見圖7-24），其中一個二面角與向量n1與n2的夾角相等.所以我們把兩平面的法兩平面的法向量的夾角中的銳角稱為兩平面的夾角.根據(jù)兩向量夾角余弦的公式，有 cosθ=|cos（）|＝. （7-3-7） 圖7-24 從兩非零向量垂直、平行的條件立即推得兩平面垂直、平行的條件. 兩平面Π1，Π2互相垂直的充要條件是 A1A2＋B1B2＋C1C2＝0. 兩平面Π1，Π2互相平行的充要條件是 ＝＝ 例4 設平面Π1與Π2的方程分別為x-y+2z-6=0及2x+y+z-5=0,求它們的夾角. 解 根據(jù)公式（7-3-7）得 cosθ＝＝ ， 所以平面Π1與Π2的夾角為θ= . 例5 一平面通過點P1（1,1,1）和P2（0,1,－1），且垂直于平面x＋y＋z＝0，求這平面的方程. 解 平面x＋y＋z＝0的法向量為n1＝（1,1,1），又向量＝（－1,0,－2）在所求平面上，設所求平面的法向量為n，則n同時垂直于向量及n1, 所以可取 n＝n1×＝（1,1,1）×（－1,0,－2）＝（－2,1,1）， 故所求平面方程為 －2（x－1）＋（y－1）＋（z－1）＝0， 或 2x－y－z＝0. 三、直線及其方程 1一般式方程 空間直線L可以看作兩個平面Π1和Π2的交線.如果平面Π1和Π2的方程分別為A1x＋B1y＋C1z＋D1＝0和A2x＋B2y＋C2z＋D2＝0，那末空間直線L上點的坐標應同時滿足這兩個平面方程，即應滿足方程組  （7-3-8） 反過來，如果點M不在直線L上，那末它不可能同時在平面Π1和Π2上，所以它的坐標不滿足方程組（7-3-8）. 因此，直線L可以用方程組（7-3-8）來表示.方程組（7-3-8）叫做空間直線的一般方程. 2標準式方程 為了建立直線的標準式方程，我們先引入直線的方向向量的概念. 直線的方向向量 與已知直線平行的非零向量稱為該直線的方向向量.顯然，直線上任一向量都平行于該直線的方向向量. 我們知道，過空間一點可作且只可作一條直線平行于一已知直線，所以當直線L上一點M0（x0,y0,z0）和它的方向向量s＝（m,n,p）為已知時，直線L的位置就完全確定了（圖7-25）.下面我們來建立此直線的方程. 圖7-25 設點M（x,y,z）是直線L上的任意一點，那末向量與L的方向向量s平行.所以兩向量的對應坐標成比例，由于＝（x－x0,y－y0,z－z0）, s＝（m,n,p），從而有 ＝＝ （7-3-9） 當m,n,p中有一個為零時，例如m＝0，這時方程組應理解為 當m,n,p中有兩個為零時，例如m＝n＝0，應理解為 反過來，如果點M不在直線L上，那末由于與s不平行，這兩向量的對應坐標就不成比例. 因此，方程組（7-3-9）就是直線L的方程，叫做直線的標準式方程. 3參數(shù)式方程 直線L上點的坐標x,y,z還可以用另一變量t（稱為參數(shù)）的函數(shù)來表達.如設 那么 即 （7-3-10） 稱為直線的參數(shù)式方程. 例6 求過兩點M1（x1,y1,z1），M2（x2,y2,z2）的直線的方程. 解 可以取方向向量 s＝＝（x2－x1,y2－y1,z2－z1）. 由直線的標準式方程可知，過兩點M1,M2的直線方程為  （7-3-11） （7-3-11）稱為直線的兩點式方程. 例7 用標準式方程及參數(shù)式方程表示直線  解 先找出此直線上的一點（x0,y0,z0）.例如，可以取x0＝1，代入題中的方程組，得 解此二元一次方程組，得 y0＝0,z0＝－2. 即（1，0，－2）是此直線上的一點. 為尋找這直線的方向向量s，注意到兩平面的交線與這兩平面的法向量n1＝（1,1,1）,n2＝（2,1,3）都垂直，所以有 s＝n1×n2＝＝2i－j－k, 即 s＝（2,－1,－1）. 因此，所給直線的標準式方程為 . 令比值等于t，又可得所給直線的參數(shù)方程為 ， 注意：本例提供了化直線的一般方程為標準方程和參數(shù)方程的方法. 4兩直線的夾角及平行、垂直的條件 設兩直線L1和L2的標準式方程分別為 和 ， 兩直線的方向向量s1＝（m1,n1,p1）與s2＝（m2,n2,p2）的夾角(這里指銳角或直角)稱為兩直線的夾角，記為θ，則 cosθ＝ （7-3-12） 由此推出，兩直線互相垂直的充要條件是 m1m2＋n1n2＋p1p2＝0； （7-3-13） 兩直線互相平行的充要條件是 . （7-3-14） 例8 求直線L1：和直線L2：的夾角. 解 直線L1的方向向量s1＝（1，－4，1）；直線L2的方向向量為s2＝（2，－2，－1）；故直線L1與L2的夾角θ的余弦為 cosθ＝ ＝＝. 所以 θ＝. 例9 求經(jīng)過點（2，0，－1）且與直線 平行的直線方程. 解 所求直線與已知直線平行，其方向向量可取為： s＝n1×n2＝（2,－3,1）×（4,－2,3）=（－7,－2,8）. 根據(jù)直線的標準式方程，得所求直線的方程為 . 例10 求過點（2，1，3）且與直線垂直相交的直線方程. 解 先作一平面過點（2，1，3）且垂直于已知直線，那么這平面的方程應為 3（x－2）＋2（y－1）－（z－3）＝0. 再求已知直線與這平面的交點.把已知直線的參數(shù)方程 代入平面方程，解之得t＝,再將求得的t值代入直線參數(shù)方程中，即得 x＝, y＝,z＝－. 所以交點的坐標是(,,－). 于是，向量（－2, －1,－－3）是所求直線的一個方向向量，故所求直線的方程為 , 即 . 5直線與平面的夾角及平行、垂直的條件 直線L與它在平面Π上的投影所成的角稱為直線L與平面Π的夾角，一般取銳角（圖7-26） 圖7-26 設直線L的方程為 , 其方向向量s＝（m,n,p）; 平面Π的方程為Ax＋By＋Cz＋D＝0，其法向量n＝（A，B，C），則 cos（）＝， 即 sinθ＝. （7-3-15） 從而得直線L與平面Π平行的充要條件是 Am＋Bn＋Cp＝0； （7-3-16） 直線L與平面Π垂直的充要條件是 . （7-3-17） 例11設平面Π的方程為Ax＋By＋Cz＋D＝0,M1（x1,y1,z1）是平面外的一點，試求M1到平面Π的距離. 解 在平面Π上取一點M0（x0，y0，z0）（見圖7-27）.則點M1到平面Π的距離 圖7-27 d＝｜Prjn｜＝ 而 ｜n·｜＝｜A（x1－x0）＋B（y1－y0）＋C（z1－z0）｜ ＝｜Ax1＋By1＋Cz1－Ax0-By0-Cz0｜. 由于點（x0，y0，z0）在平面Π上，有 Ax0＋By0＋Cz0＋D＝0， 即 Ax0＋By0＋Cz0＝－D， 得 ｜n·｜=｜Ax1＋By1＋Cz1＋D｜， 所以 d＝ （7-3-18） 公式（7-3-18）稱為點到平面的距離公式. 第四節(jié)曲面與空間曲線 一、曲面及其方程 上一節(jié)我們考察了最簡單的曲面——平面，以及最簡單的空間曲線——直線，建立了它們的一些常見形式的方程.在這一節(jié)里，我們將介紹幾種類型的常見曲面. 1. 球面方程 到空間一定點M0之間的距離恒定的動點的軌跡為球面. 例1 建立球心在點M0（x0,y0,z0），半徑為R的球面的方程. 解 將球面看作空間中與定點等距離的點的軌跡.設M（x,y,z）是球面上的任一點，則 ｜M0M｜＝R. 由于 ｜M0M｜＝， 所以 ＝R. 兩邊平方，得 （x－x0）2＋（y－y0）2＋（z－z0）2＝R2 （7-4-1） 顯然，球面上的點的坐標滿足這個方程；而不在球面上的點的坐標不滿足這個方程，所以方程（7-4-1）就是以M0（x0,y0,z0）為球心，以R為半徑的球面方程. 如果M0為原點，即x0＝y(tǒng)0＝z0＝0，這時球面方程為 x2＋y2＋z2＝R2 （7-4-2） 方程（7-4-1）也可以寫為 x2＋y2＋z2－2x0x－2y0y－2z0z＋－R2＝0. 若記A= -2x0，B= -2y0，C= -2z0，D =，則有 x2+y2+z2+Ax+By+Cz+D=0 （7-4-3） （7-4-3）稱為球面的一般方程. 由（7-4-3）式可以看出，球面的方程是關于x,y,z的二次方程，它的x2，y2，z2三項系數(shù)相等，并且方程中沒有xy,yz,zx的項. 利用配方，方程（7-4-3）變成 . ①當A2+B2+C2-4D＞0時，上式為一球面方程； ②當A2+B2+C2-4D=0時，上式只表示一個點； ③當A2+B2+C2-4D＜0時，上式表示一個虛球，或者說它不代表任何圖形. 例2 方程x2＋y2＋z2－2x＋4y＝0表示怎樣的曲面? 解 通過配方，原方程可以改寫為 （x－1）2＋（y＋2）2＋z2＝5. 圖7-28 與（7-4-1）式比較，可知原方程表示球心在點M0（1,－2,0）、半徑R＝的球面. 2柱面 設給定一條曲線C及直線l.則平行于直線l且沿曲線C移動的直線l所形成的曲面叫做柱面.定曲線C叫做柱面的準線，動直線l叫做柱面的母線（見圖7-28）. 如果柱面的準線是xOy面上的曲線C，其方程為 f（x,y）＝0， （7-4-4） 柱面的母線平行于z軸，則方程f（x,y）＝0就是這柱面的方程（見圖7-29）.因為在此柱面上任取一點M（x,y,z），過點M作直線平行于z軸，此直線與xOy面相交于點M0（x,y,0），點M0就是點M在xOy面上的投影，于是點M0必落在準線上，它在xOy面上的坐標（x,y）必滿足方程f（x,y）＝0,這個方程不含z的項，所以點M的坐標（x,y,z）也滿足方程f（x,y）＝0. 圖7-29 因此，在空間直角坐標系中，方程f（x,y）＝0所表示的圖形就是母線平行于z軸的柱面. 同理可知，只含y、z而不含x的方程φ（y,z）＝0和只含x、z而不含y的方程ψ（x,z）＝0分別表示母線平行于x軸和y軸的柱面. 注意到在上述三個柱面方程中都缺少一個變量，缺少哪一個變量，該柱面的母線就平行于哪一個坐標軸. 例如，方程x2＋y2＝a2, ,，x2＝2py分別表示母線平行于z軸的圓柱面、橢圓柱面、雙曲柱面和拋物柱面（見圖7-30）,因為它們的方程都是二次的，所以統(tǒng)稱為二次柱面. 圖7-30 二、旋轉(zhuǎn)曲面 一平面曲線C繞著該平面內(nèi)一定直線l旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)曲面.曲線C叫 做旋轉(zhuǎn)曲面的母線，直線l叫做旋轉(zhuǎn)曲面的軸. 設在yOz面上有一已知曲線C，它的方程為f（y,z）＝0，將這曲線繞z軸旋轉(zhuǎn)一周，就得到一個以z軸為軸的旋轉(zhuǎn)曲面.現(xiàn)在來求這個旋轉(zhuǎn)曲面的方程（見圖7-31）. 圖7-31 在旋轉(zhuǎn)曲面上任取一點M（x,y,z），設這點是母線C上的點M1（0,y1,z1）繞z軸旋轉(zhuǎn)而得到的.點M與M1的z坐標相同，且它們到z軸的距離相等，所以  因為點M1在曲線C上，所以 f（y1,z1）＝0. 將上述關系代入這個方程中，得 f（±,z）＝0. （7-4-5） 因此，旋轉(zhuǎn)曲面上任何點M的坐標x,y,z都滿足方程（7-4-5）.如果點M（x,y,z）不在旋轉(zhuǎn)曲面上，它的坐標就不滿足方程（7-4-5）.所以方程（7-4-5）就是所求旋轉(zhuǎn)曲面的方程. 在上述推導過程中可以發(fā)現(xiàn)：只要在曲線C的方程f（y，z）=0中，將變量y換成±，便可得曲線C繞z軸旋轉(zhuǎn)而形成的旋轉(zhuǎn)曲面方程 f（±,z）＝0. 同理，如果曲線C繞y軸旋轉(zhuǎn)一周，所得旋轉(zhuǎn)曲面方程為 f（y,±）＝0. （7-4-6） 對于其他坐標面上的曲線，繞該坐標面內(nèi)任一坐標軸旋轉(zhuǎn)所得到的旋轉(zhuǎn)曲面的方程可用類似的方法求得. 特別地，一直線繞與它相交的一條定直線旋轉(zhuǎn)一周就得到圓錐面，動直線與定直線的交點叫做圓錐面的頂點（見圖7-32）. 圖7-32 例3 求yOz面上的直線z＝ky繞z軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程. 解 因為旋轉(zhuǎn)軸為z軸，所以只要將方程z＝ky中的y改成±，便得到旋轉(zhuǎn)曲面——圓錐面的方程. z＝±k 或 z2＝k2（x2＋y2）. 三、二次曲面舉例 在空間直角坐標系中，方程F（x,y,z）＝0一般代表曲面，若F（x,y,z）＝0為一次方程，則它代表一次曲面，即平面；若F（x,y,z）＝0為二次方程，則它所表示的曲面稱為二次曲面.如何通過方程去了解它所表示的曲面的形狀?我們可以利用坐標面或平行于坐標面的平面與曲面相截，通過考察其交線（截痕）的方法，從不同的角度去了解曲面的形狀，然后加以綜合，從而了解整個曲面的形狀，這種方法叫做截痕法.下面我們用截痕法來研究幾個二次曲面的形狀. 1橢球面 方程： （7-4-7） 所表示的曲面叫做橢球面. 由方程（7-4-7）可知： ≤1, ≤1, ≤1， 即 ｜x｜≤a, ｜y｜≤b, ｜z｜≤c. 這說明橢球面（7-4-7）完全包含在x＝±a,y＝±b,z＝±c這6個平面所圍成的長方體內(nèi).a，b，c叫做橢球面的半軸. 用三個坐標面截這橢球面所得的截痕都是橢圓： , , 用平行于xOy坐標面的平面z＝h（｜h｜≤c）截這橢球面所得交線為橢圓： 這橢圓的半軸為與.當｜h｜由0逐漸增大到c時，橢圓由大變小，最后（當｜h｜＝c時）縮成一個點(即頂點：（0,0,c）,（0,0,－c）).如果｜h｜＞c，平面z＝h不與橢球面相交. 用平行于yOz面或zOx面的平面去截橢球面，可得到類似的結果. 容易看出，橢球面關于各坐標面、各坐標軸和坐標原點都是對稱的.綜合以上討論可知橢球面的圖形如圖7-33所示. 圖7-33 2雙曲面 （1） 單葉雙曲面. 方程 （7-4-8） 所表示的曲面叫做單葉雙曲面. 下面討論的形狀： 用xOy坐標面（z＝0）截此曲面，所得的截痕為中心在原點，兩個半軸分別為a，b的橢圓： . 用平行于坐標面xOy的平面z＝z1截此曲面，所得截痕是中心在z軸上的橢圓： 它的兩個半軸分別為和.當｜z1｜由0逐漸增大時，橢圓的兩個半軸分別從a，b逐漸增大. 用zOx坐標面（y＝0）截此曲面，所得的截痕為中心在原點的雙曲線： . 它的實軸與x軸相合，虛軸與z軸相合. 用平行于坐標面zOx的平面y＝y(tǒng)1截此曲面，所得的截痕是中心在y軸上的雙曲線,即 . 當＜b2時，雙曲線的實軸平行于x軸，虛軸平行于z軸； 當＞b2時，雙曲線的實軸平行于z軸，虛軸平行于x軸； 當＝b2時，所得的截痕為兩條相交的直線. 類似地，用yOz坐標面（x＝0）和平行于yOz面的平面x＝x1截此曲面，所得的截痕也是雙曲線. 因此.單葉雙曲面的形狀如圖7-34所示. （2） 雙葉雙曲面. 方程 （7-4-9） 所表示的曲面叫做雙葉雙曲面. 同樣可用截痕法討論得曲面形狀如圖7-35所示. 圖7-34 圖7-35 3拋物面 （1） 橢圓拋物面 方程 （7-4-10） 所表示的曲面叫做橢圓拋物面（見圖7-36，其中p＞0,q＞0）. 圖7-36 （2） 雙曲拋物面. 方程 （7-4-11） 所表示的曲面叫做雙曲拋物面或鞍形曲面（見圖7-37，其中p＞0,q＞0）. 圖7-37 四、空間曲線 1空間曲線的一般方程 空間曲線可以看作兩個曲面的交線.設兩曲面方程分別為F1（x，y,z）＝0和F2（x,y,z）＝0，則它們的交線c上的點同時在這兩個曲面上，其坐標必同時滿足這兩個方程.反之，坐標同時滿足這兩個方程的點也一定在這兩曲面的交線C上.因此，聯(lián)立方程組 （7-4-12） 即為空間曲線C的方程，稱為空間曲線的一般方程. 例如方程