課時(shí)分層訓(xùn)練(一)A組基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)(建議用時(shí)：30分鐘)1標(biāo)號(hào)分別為A，B，C的三個(gè)口袋，A袋中有1個(gè)紅色小球，B袋中有2個(gè)白色小球，C袋中有3個(gè)黃色小球，現(xiàn)從中取出兩個(gè)小球(1)若取出的兩個(gè)球顏色不同，有多少種取法？(2)若取出的兩個(gè)球顏色相同，有多少種取法？解(1)若兩個(gè)球顏色不同，則應(yīng)在A，B袋中各取一個(gè)或A，C袋中各取一個(gè)或B，C袋中各取一個(gè)，所以應(yīng)有1×21×32×311種取法(2)若兩個(gè)球顏色相同，則應(yīng)在B或C袋中取出2個(gè)，所以應(yīng)有134種取法2已知集合M3，2，1,0,1,2，P(a，b)表示平面上的點(diǎn)(a，bM)，問(wèn)：(1)P可表示平面上多少個(gè)不同的點(diǎn)？(2)P可表示平面上多少個(gè)第二象限的點(diǎn)？(3)P可表示多少個(gè)不在直線yx上的點(diǎn)？ 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62172316】解(1)確定平面上的點(diǎn)P(a，b)可分兩步完成：第一步確定a的值，共有6種確定方法；第二步確定b的值，也有6種確定方法根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，得到平面上的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是6×636.(2)確定第二象限的點(diǎn)，可分兩步完成：第一步確定a，由于a<0，所以有3種確定方法；第二步確定b，由于b>0，所以有2種確定方法由分步計(jì)數(shù)原理，得到第二象限點(diǎn)的個(gè)數(shù)是3×26.(3)點(diǎn)P(a，b)在直線yx上的充要條件是ab.因此a和b必須在集合M中取同一元素，共有6種取法，即在直線yx上的點(diǎn)有6個(gè)由(1)得不在直線yx上的點(diǎn)共有36630(個(gè))3在校運(yùn)動(dòng)會(huì)上，8名男運(yùn)動(dòng)員參加100米決賽其中甲、乙、丙三人必須在1,2,3,4,5,6,7,8八條跑道的奇數(shù)號(hào)跑道上，則安排這8名運(yùn)動(dòng)員比賽的方式共有多少種？解分兩步安排這8名運(yùn)動(dòng)員第一步：安排甲、乙、丙三人，共有1,3,5,7四條跑道可安排，所以安排方式有4×3×224(種)第二步：安排另外5人，可在2,4,6,8及余下的一條奇數(shù)號(hào)跑道安排，所以安排方式有5×4×3×2×1120(種)所以安排這8人的方式有24×1202 880(種)4如圖57­3所示的五個(gè)區(qū)域中，中心區(qū)域是一幅圖畫(huà)，現(xiàn)在要求在其余四個(gè)區(qū)域中涂色，現(xiàn)有四種顏色可供選擇圖57­3要求每一個(gè)區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域所涂顏色不同，則不同的涂色方法種數(shù)共有多少種？解將四種顏色編號(hào)為，A有4種涂法，設(shè)涂，B有3種涂法，設(shè)涂，下面分3類：若C涂，則D可涂，共3種方法；若C涂，則D可涂，共2種方法；若C涂，則D可涂，共2種方法；于是， 不同的涂法為4×3×(322)84(種)5(2016·全國(guó)卷改編)如圖57­4，小明從街道的E處出發(fā)，先到F處與小紅會(huì)合，再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動(dòng)，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑共有多少條？圖57­4解分兩步，第一步，從EF，有6條可以選擇的最短路徑；第二步，從FG，有3條可以選擇的最短路徑由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知有6×318條可以選擇的最短路程6某外語(yǔ)組有9人，每人至少會(huì)英語(yǔ)和日語(yǔ)中的一門(mén)，其中7人會(huì)英語(yǔ)，3人會(huì)日語(yǔ)，從中選出會(huì)英語(yǔ)和日語(yǔ)的各一人，有多少種不同的選法？解由題意得有1人既會(huì)英語(yǔ)又會(huì)日語(yǔ)，6人只會(huì)英語(yǔ)，2人只會(huì)日語(yǔ)第一類：從只會(huì)英語(yǔ)的6人中選1人說(shuō)英語(yǔ)，共有6種方法，則說(shuō)日語(yǔ)的有213種，此時(shí)共有6×318種；第二類：不從只會(huì)英語(yǔ)的6人中選1人說(shuō)英語(yǔ)，則只有1種方法，則選會(huì)日語(yǔ)的有2種，此時(shí)共有1×22種；所以根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理知共有18220(種)選法B組能力提升(建議用時(shí)：15分鐘)1有一項(xiàng)活動(dòng)需在3名老師，6名男同學(xué)和8名女同學(xué)中選人參加(1)若只需一人參加，有多少種不同選法？(2)若需一名老師，一名學(xué)生參加，有多少種不同選法？(3)若需老師，男同學(xué)、女同學(xué)各一人參加，有多少種不同選法？ 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62172317】解(1)只需一人參加，可按老師、男同學(xué)、女同學(xué)分三類各自有3,6,8種方法，總方法數(shù)為36817(種)(2)分兩步，先選教師共3種選法，再選學(xué)生共6814種選法，由分步計(jì)數(shù)原理知，總方法數(shù)為3×1442(種)(3)教師、男、女同學(xué)各一人可分三步，每步方法依次為3,6,8種由分步計(jì)數(shù)原理知方法數(shù)為3×6×8144(種)2為了做好閱兵人員的運(yùn)輸，從某運(yùn)輸公司抽調(diào)車(chē)輛支援，該運(yùn)輸公司有7個(gè)車(chē)隊(duì)，每個(gè)車(chē)隊(duì)的車(chē)輛均多于4輛現(xiàn)從這個(gè)公司中抽調(diào)10輛車(chē)，并且每個(gè)車(chē)隊(duì)至少抽調(diào)1輛，那么共有多少種不同的抽調(diào)方法？解在每個(gè)車(chē)隊(duì)抽調(diào)1輛車(chē)的基礎(chǔ)上，還需抽調(diào)3輛車(chē)可分成三類：一類是從某1個(gè)車(chē)隊(duì)抽調(diào)3輛，有C種抽調(diào)方法；一類是從2個(gè)車(chē)隊(duì)中抽調(diào)，其中1個(gè)車(chē)隊(duì)抽調(diào)1輛，另1個(gè)車(chē)隊(duì)抽調(diào)2輛，有A種抽調(diào)方法；一類是從3個(gè)車(chē)隊(duì)中各抽調(diào)1輛，有C種抽調(diào)方法故共有CAC84種抽調(diào)方法3將一個(gè)四棱錐S­ABCD的每個(gè)頂點(diǎn)染上一種顏色，并使同一條棱的兩個(gè)端點(diǎn)異色，如果只有5種顏色可供使用，那么不同的染色方法的總數(shù)是多少？解設(shè)想染色按SABCD的順序進(jìn)行，對(duì)S，A，B染色，有5×4×360(種)染色方法由于C點(diǎn)的顏色可能與A同色或不同色，這影響到D點(diǎn)顏色的選取方法數(shù)，故分類討論：C與A同色時(shí)(此時(shí)C對(duì)顏色的選取方法唯一)，D應(yīng)與A(C)，S不同色，有3種選擇；C與A不同色時(shí)，C有2種可選擇的顏色，D也有2種顏色可供選擇從而對(duì)C，D染色有1×32×27(種)染色方法由分步計(jì)數(shù)原理，總的染色方法有60×7420(種)4(2016·揚(yáng)州期末)對(duì)于給定的大于1的正整數(shù)n，設(shè)xa0a1na2n2annn，其中ai0,1,2，n1，i0,1,2，n1，n，且an0，記滿足條件的所有x的和為An.(1)求A2；(2)設(shè)Anf(n)，求f(n)解(1)當(dāng)n2時(shí)，xa02a14a2，a00,1，a10,1，a21，故滿足條件的x共有4個(gè)，分別為x004，x024，x104，x124，它們的和是22.(2)由題意得，a0，a1，a2，an1各有n種取法；an有n1種取法，由分步計(jì)數(shù)原理可得a0，a1，a2，an1，an的不同取法共有n·nn·(n1)nn(n1)，即滿足條件的x共有nn(n1)個(gè)當(dāng)a0分別取i0,1,2，n1時(shí)，a1，a2，an1各有n種取法，an有n1種取法，故An中所有含a0項(xiàng)的和為012(n1)nn1(n1)；同理，An中所有含a1項(xiàng)的和為012(n1)nn1(n1)·n·n；An中所有含a2項(xiàng)的和為012(n1)nn1(n1)·n2·n2；An中所有含an1項(xiàng)的和為012(n1)nn1(n1)·nn1·nn1；當(dāng)an分別取i1,2，n1時(shí)，a0，a1，a2，an1各有n種取法，故An中所有含an項(xiàng)的和為12(n1)nn·nn·nn；所以An(1nn2nn1)·nn··nn(nn1nn1)故f(n)nn1nn1.